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  • 2021-06-19 发布

2019届二轮复习(文)第九章平面解析几何第4节课件(28张)(全国通用)

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第 4 节 直线与圆、圆与圆的位置关系 最新考纲  1. 能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系; 2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题; 3. 初步了解用代数方法处理几何问题的思想 . 1. 直线与圆的位置关系 知 识 梳 理 方法 位置关系 几何法 代数法 相交 d < r Δ >0 相切 d = r Δ = 0 相离 d > r Δ <0 2. 圆与圆的位置关系 设两个圆的半径分别为 R , r , R > r ,圆心距为 d ,则两圆的位置关系可用下表来表示: 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 d > R + r d = R + r R - r < d < R + r d = R - r d < R - r 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 [ 常用结论与微点提醒 ] 1. 圆的切线方程常用结论 (1) 过圆 x 2 + y 2 = r 2 上一点 P ( x 0 , y 0 ) 的圆的切线方程为 x 0 x + y 0 y = r 2 . (2) 过圆 ( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = r 2 上一点 P ( x 0 , y 0 ) 的圆的切线方程为 ( x 0 - a )( x - a ) + ( y 0 - b )( y - b ) = r 2 . (3) 过圆 x 2 + y 2 = r 2 外一点 M ( x 0 , y 0 ) 作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为 x 0 x + y 0 y = r 2 . 2. 过圆上一点作圆的切线有且只有一条;过圆外一点作圆的切线有且只有两条,若仅求得一条,除了考虑运算过程是否正确外,还要考虑斜率不存在的情况,以防漏解 . 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×”) (1)“ k = 1” 是 “ 直线 x - y + k = 0 与圆 x 2 + y 2 = 1 相交 ” 的必要不充分条件 .(    ) (2) 如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切 .(    ) (3) 如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交 .(    ) (4) 过圆 O : x 2 + y 2 = r 2 外一点 P ( x 0 , y 0 ) 作圆的两条切线,切点分别为 A , B ,则 O , P , A , B 四点共圆且直线 AB 的方程是 x 0 x + y 0 y = r 2 .(    ) 诊 断 自 测 解析   (1) “ k = 1 ” 是 “ 直线 x - y + k = 0 与圆 x 2 + y 2 = 1 相交 ” 的充分不必要条件; (2) 除外切外,还有可能内切; (3) 两圆还可能内切或内含 . 答案  (1)×   (2)×   (3)×   (4)√ 2. 圆 ( x + 2) 2 + y 2 = 4 与圆 ( x - 2) 2 + ( y - 1) 2 = 9 的位置关系为 (    ) A . 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 答案   B 解析  将 y = mx 代入 x 2 + y 2 - 4 x + 2 = 0 ,得 (1 + m 2 ) x 2 - 4 x + 2 = 0 ,因为直线与圆相切,所以 Δ = ( - 4) 2 - 4(1 + m 2 ) × 2 = 8(1 - m 2 ) = 0 ,解得 m = ±1. 答案   D 5. ( 必修 2P133A9 改编 ) 圆 x 2 + y 2 - 4 = 0 与圆 x 2 + y 2 - 4 x + 4 y - 12 = 0 的公共弦长为 ________. 考点一 直线与圆的位置关系 【例 1 】 (1) (2018· 青岛测试 ) 已知点 M ( a , b ) 在圆 O : x 2 + y 2 = 1 外,则直线 ax + by = 1 与圆 O 的位置关系是 (    ) A . 相切 B. 相交 C . 相离 D . 不确定 ( 2) ( 一题多解 ) 圆 x 2 + y 2 = 1 与直线 y = kx + 2 没有公共点的充要条件是 ________. 规律方法  判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1) 几何法:利用 d 与 r 的关系 . (2) 代数法:联立方程之后利用 Δ 判断 . (3) 点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交 . 上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题 . 答案   (1)B   (2)C 考点二 圆的切线、弦长问题 (2) 当直线的斜率不存在时,直线方程为 x = 2 , 此时 ,圆心到直线的距离等于半径,直线与圆相切,符合题意 ; 当 直线的斜率存在时,设直线方程为 y - 4 = k ( x - 2) ,即 kx - y + 4 - 2 k = 0 , ∵ 直线与圆相切, ∴ 圆心到直线的距离等于半径, 综上,切线方程为 x = 2 或 4 x - 3 y + 4 = 0. 答案   (1)4π   (2) x = 2 或 4 x - 3 y + 4 = 0 【训练 2 】 (1) (2018· 合肥测试 ) 过点 (3 , 1) 作圆 ( x - 2) 2 + ( y - 2) 2 = 4 的弦,其中最短弦的长为 ________. ( 2) 过原点 O 作圆 x 2 + y 2 - 6 x - 8 y + 20 = 0 的两条切线,设切点分别为 P , Q ,则线段 PQ 的长为 ________. 考点三 圆与圆的位置关系 【例 3 】 (2017· 郑州调研 ) 已知两圆 x 2 + y 2 - 2 x - 6 y - 1 = 0 , x 2 + y 2 - 10 x - 12 y + m = 0. ( 1) m 取何值时两圆外切? ( 2) m 取何值时两圆内切? ( 3) 当 m = 45 时,求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长 . 解  因为两圆的标准方程分别为 ( x - 1) 2 + ( y - 3) 2 = 11 , ( x - 5) 2 + ( y - 6) 2 = 61 - m , (3) 由 ( x 2 + y 2 - 2 x - 6 y - 1) - ( x 2 + y 2 - 10 x - 12 y + 45) = 0 , 得 两圆的公共弦所在直线的方程为 4 x + 3 y - 23 = 0. 规律方法   1. 判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法 . 2. 若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 x 2 , y 2 项得到 . ∴ M (0 , 2) , r 1 = 2. 又圆 N 的圆心坐标 N (1 , 1) ,半径 r 2 = 1 , ∴ r 1 - r 2 < | MN | < r 1 + r 2 , ∴ 两圆相交,故选 B. 答案   (1)B   (2)C