2019届二轮复习（文）第九章平面解析几何第4节课件（28张）（全国通用） 28页

第 4 节　直线与圆、圆与圆的位置关系 最新考纲　 1. 能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系； 2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题； 3. 初步了解用代数方法处理几何问题的思想 . 1. 直线与圆的位置关系 知 识 梳 理 方法 位置关系 几何法 代数法 相交 d < r Δ >0 相切 d ＝ r Δ ＝ 0 相离 d > r Δ <0 2. 圆与圆的位置关系 设两个圆的半径分别为 R ， r ， R ＞ r ，圆心距为 d ，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 d ＞ R ＋ r d ＝ R ＋ r R － r ＜ d ＜ R ＋ r d ＝ R － r d ＜ R － r 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 [ 常用结论与微点提醒 ] 1. 圆的切线方程常用结论 (1) 过圆 x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 上一点 P ( x 0 ， y 0 ) 的圆的切线方程为 x 0 x ＋ y 0 y ＝ r 2 . (2) 过圆 ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 上一点 P ( x 0 ， y 0 ) 的圆的切线方程为 ( x 0 － a )( x － a ) ＋ ( y 0 － b )( y － b ) ＝ r 2 . (3) 过圆 x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 外一点 M ( x 0 ， y 0 ) 作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x 0 x ＋ y 0 y ＝ r 2 . 2. 过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解 . 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×”) (1)“ k ＝ 1” 是 “ 直线 x － y ＋ k ＝ 0 与圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 相交 ” 的必要不充分条件 .( 　　 ) (2) 如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切 .( 　　 ) (3) 如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交 .( 　　 ) (4) 过圆 O ： x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 外一点 P ( x 0 ， y 0 ) 作圆的两条切线，切点分别为 A ， B ，则 O ， P ， A ， B 四点共圆且直线 AB 的方程是 x 0 x ＋ y 0 y ＝ r 2 .( 　　 ) 诊 断 自 测 解析 　 (1) “ k ＝ 1 ” 是 “ 直线 x － y ＋ k ＝ 0 与圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 相交 ” 的充分不必要条件； (2) 除外切外，还有可能内切； (3) 两圆还可能内切或内含 . 答案　 (1)× 　 (2)× 　 (3)× 　 (4)√ 2. 圆 ( x ＋ 2) 2 ＋ y 2 ＝ 4 与圆 ( x － 2) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 9 的位置关系为 ( 　　 ) A . 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 答案 　 B 解析 　将 y ＝ mx 代入 x 2 ＋ y 2 － 4 x ＋ 2 ＝ 0 ，得 (1 ＋ m 2 ) x 2 － 4 x ＋ 2 ＝ 0 ，因为直线与圆相切，所以 Δ ＝ ( － 4) 2 － 4(1 ＋ m 2 ) × 2 ＝ 8(1 － m 2 ) ＝ 0 ，解得 m ＝ ±1. 答案 　 D 5. ( 必修 2P133A9 改编 ) 圆 x 2 ＋ y 2 － 4 ＝ 0 与圆 x 2 ＋ y 2 － 4 x ＋ 4 y － 12 ＝ 0 的公共弦长为 ________. 考点一　直线与圆的位置关系 【例 1 】 (1) (2018· 青岛测试 ) 已知点 M ( a ， b ) 在圆 O ： x 2 ＋ y 2 ＝ 1 外，则直线 ax ＋ by ＝ 1 与圆 O 的位置关系是 ( 　　 ) A . 相切 B. 相交 C . 相离 D . 不确定 ( 2) ( 一题多解 ) 圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 与直线 y ＝ kx ＋ 2 没有公共点的充要条件是 ________. 规律方法 　判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1) 几何法：利用 d 与 r 的关系 . (2) 代数法：联立方程之后利用 Δ 判断 . (3) 点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交 . 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题 . 答案 　 (1)B 　 (2)C 考点二　圆的切线、弦长问题 (2) 当直线的斜率不存在时，直线方程为 x ＝ 2 ， 此时 ，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意 ； 当 直线的斜率存在时，设直线方程为 y － 4 ＝ k ( x － 2) ，即 kx － y ＋ 4 － 2 k ＝ 0 ， ∵ 直线与圆相切， ∴ 圆心到直线的距离等于半径， 综上，切线方程为 x ＝ 2 或 4 x － 3 y ＋ 4 ＝ 0. 答案 　 (1)4π 　 (2) x ＝ 2 或 4 x － 3 y ＋ 4 ＝ 0 【训练 2 】 (1) (2018· 合肥测试 ) 过点 (3 ， 1) 作圆 ( x － 2) 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 4 的弦，其中最短弦的长为 ________. ( 2) 过原点 O 作圆 x 2 ＋ y 2 － 6 x － 8 y ＋ 20 ＝ 0 的两条切线，设切点分别为 P ， Q ，则线段 PQ 的长为 ________. 考点三　圆与圆的位置关系 【例 3 】 (2017· 郑州调研 ) 已知两圆 x 2 ＋ y 2 － 2 x － 6 y － 1 ＝ 0 ， x 2 ＋ y 2 － 10 x － 12 y ＋ m ＝ 0. ( 1) m 取何值时两圆外切？ ( 2) m 取何值时两圆内切？ ( 3) 当 m ＝ 45 时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长 . 解 　因为两圆的标准方程分别为 ( x － 1) 2 ＋ ( y － 3) 2 ＝ 11 ， ( x － 5) 2 ＋ ( y － 6) 2 ＝ 61 － m ， (3) 由 ( x 2 ＋ y 2 － 2 x － 6 y － 1) － ( x 2 ＋ y 2 － 10 x － 12 y ＋ 45) ＝ 0 ， 得 两圆的公共弦所在直线的方程为 4 x ＋ 3 y － 23 ＝ 0. 规律方法 　 1. 判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法 . 2. 若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 x 2 ， y 2 项得到 . ∴ M (0 ， 2) ， r 1 ＝ 2. 又圆 N 的圆心坐标 N (1 ， 1) ，半径 r 2 ＝ 1 ， ∴ r 1 － r 2 ＜ | MN | ＜ r 1 ＋ r 2 ， ∴ 两圆相交，故选 B. 答案 　 (1)B 　 (2)C