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- 2021-06-19 发布
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第
4
节 直线与圆、圆与圆的位置关系
最新考纲
1.
能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系;
2.
能用直线和圆的方程解决一些简单的问题;
3.
初步了解用代数方法处理几何问题的思想
.
1.
直线与圆的位置关系
知
识
梳
理
方法
位置关系
几何法
代数法
相交
d
<
r
Δ
>0
相切
d
=
r
Δ
=
0
相离
d
>
r
Δ
<0
2.
圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为
R
,
r
,
R
>
r
,圆心距为
d
,则两圆的位置关系可用下表来表示:
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
d
>
R
+
r
d
=
R
+
r
R
-
r
<
d
<
R
+
r
d
=
R
-
r
d
<
R
-
r
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0
[
常用结论与微点提醒
]
1.
圆的切线方程常用结论
(1)
过圆
x
2
+
y
2
=
r
2
上一点
P
(
x
0
,
y
0
)
的圆的切线方程为
x
0
x
+
y
0
y
=
r
2
.
(2)
过圆
(
x
-
a
)
2
+
(
y
-
b
)
2
=
r
2
上一点
P
(
x
0
,
y
0
)
的圆的切线方程为
(
x
0
-
a
)(
x
-
a
)
+
(
y
0
-
b
)(
y
-
b
)
=
r
2
.
(3)
过圆
x
2
+
y
2
=
r
2
外一点
M
(
x
0
,
y
0
)
作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为
x
0
x
+
y
0
y
=
r
2
.
2.
过圆上一点作圆的切线有且只有一条;过圆外一点作圆的切线有且只有两条,若仅求得一条,除了考虑运算过程是否正确外,还要考虑斜率不存在的情况,以防漏解
.
1.
思考辨析
(
在括号内打
“√”
或
“×”)
(1)“
k
=
1”
是
“
直线
x
-
y
+
k
=
0
与圆
x
2
+
y
2
=
1
相交
”
的必要不充分条件
.(
)
(2)
如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切
.(
)
(3)
如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交
.(
)
(4)
过圆
O
:
x
2
+
y
2
=
r
2
外一点
P
(
x
0
,
y
0
)
作圆的两条切线,切点分别为
A
,
B
,则
O
,
P
,
A
,
B
四点共圆且直线
AB
的方程是
x
0
x
+
y
0
y
=
r
2
.(
)
诊
断
自
测
解析
(1)
“
k
=
1
”
是
“
直线
x
-
y
+
k
=
0
与圆
x
2
+
y
2
=
1
相交
”
的充分不必要条件;
(2)
除外切外,还有可能内切;
(3)
两圆还可能内切或内含
.
答案
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√
2.
圆
(
x
+
2)
2
+
y
2
=
4
与圆
(
x
-
2)
2
+
(
y
-
1)
2
=
9
的位置关系为
(
)
A
.
内切
B.
相交
C.
外切
D.
相离
答案
B
解析
将
y
=
mx
代入
x
2
+
y
2
-
4
x
+
2
=
0
,得
(1
+
m
2
)
x
2
-
4
x
+
2
=
0
,因为直线与圆相切,所以
Δ
=
(
-
4)
2
-
4(1
+
m
2
)
×
2
=
8(1
-
m
2
)
=
0
,解得
m
=
±1.
答案
D
5.
(
必修
2P133A9
改编
)
圆
x
2
+
y
2
-
4
=
0
与圆
x
2
+
y
2
-
4
x
+
4
y
-
12
=
0
的公共弦长为
________.
考点一 直线与圆的位置关系
【例
1
】
(1)
(2018·
青岛测试
)
已知点
M
(
a
,
b
)
在圆
O
:
x
2
+
y
2
=
1
外,则直线
ax
+
by
=
1
与圆
O
的位置关系是
(
)
A
.
相切
B.
相交
C
.
相离
D
.
不确定
(
2)
(
一题多解
)
圆
x
2
+
y
2
=
1
与直线
y
=
kx
+
2
没有公共点的充要条件是
________.
规律方法
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)
几何法:利用
d
与
r
的关系
.
(2)
代数法:联立方程之后利用
Δ
判断
.
(3)
点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交
.
上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题
.
答案
(1)B
(2)C
考点二 圆的切线、弦长问题
(2)
当直线的斜率不存在时,直线方程为
x
=
2
,
此时
,圆心到直线的距离等于半径,直线与圆相切,符合题意
;
当
直线的斜率存在时,设直线方程为
y
-
4
=
k
(
x
-
2)
,即
kx
-
y
+
4
-
2
k
=
0
,
∵
直线与圆相切,
∴
圆心到直线的距离等于半径,
综上,切线方程为
x
=
2
或
4
x
-
3
y
+
4
=
0.
答案
(1)4π
(2)
x
=
2
或
4
x
-
3
y
+
4
=
0
【训练
2
】
(1)
(2018·
合肥测试
)
过点
(3
,
1)
作圆
(
x
-
2)
2
+
(
y
-
2)
2
=
4
的弦,其中最短弦的长为
________.
(
2)
过原点
O
作圆
x
2
+
y
2
-
6
x
-
8
y
+
20
=
0
的两条切线,设切点分别为
P
,
Q
,则线段
PQ
的长为
________.
考点三 圆与圆的位置关系
【例
3
】
(2017·
郑州调研
)
已知两圆
x
2
+
y
2
-
2
x
-
6
y
-
1
=
0
,
x
2
+
y
2
-
10
x
-
12
y
+
m
=
0.
(
1)
m
取何值时两圆外切?
(
2)
m
取何值时两圆内切?
(
3)
当
m
=
45
时,求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长
.
解
因为两圆的标准方程分别为
(
x
-
1)
2
+
(
y
-
3)
2
=
11
,
(
x
-
5)
2
+
(
y
-
6)
2
=
61
-
m
,
(3)
由
(
x
2
+
y
2
-
2
x
-
6
y
-
1)
-
(
x
2
+
y
2
-
10
x
-
12
y
+
45)
=
0
,
得
两圆的公共弦所在直线的方程为
4
x
+
3
y
-
23
=
0.
规律方法
1.
判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法
.
2.
若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去
x
2
,
y
2
项得到
.
∴
M
(0
,
2)
,
r
1
=
2.
又圆
N
的圆心坐标
N
(1
,
1)
,半径
r
2
=
1
,
∴
r
1
-
r
2
<
|
MN
|
<
r
1
+
r
2
,
∴
两圆相交,故选
B.
答案
(1)B
(2)C
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