湖北省荆门市两校2020届高三9月月考数学（理）试题（龙泉中学宜昌一中） 26页

龙泉中学、宜昌一中2020届高三年级9月联合考试 理科数学试题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据诱导公式可转化为求解，利用两角和差正切公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查利用诱导公式和两角和差正切公式求解三角函数值的问题，考查对于基础公式的应用.‎ ‎2.已知集合， ，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求解出集合和集合，根据交集定义求得结果.‎ ‎【详解】，‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，关键是能够根据分式不等式运算和对数型函数定义域的要求求解出两个集合.‎ ‎3.命题“对任意”为真命题的一个充分不必要条件可以是(　 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在命题为真命题的情况下求得的范围，在选项中找到所得范围的真子集即可.‎ ‎【详解】命题为真命题，则对恒成立 ‎ 是的真子集 是命题为真的充分不必要条件 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查充分不必要条件的求解问题，关键是明确充分不必要条件与集合包含关系之间的关系.‎ ‎4.函数在区间上的大致图象为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析函数的奇偶性可得函数f（x）为偶函数，据此可以排除A、D；又由x→0时，xsinx+lnx＜0，分析可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，f（x）＝xsinx+ln|x|，其定义域为{x|x≠0}，‎ 有f（﹣x）＝（﹣x）sin（﹣x）+ln|（﹣x）|＝xsinx+ln|x|＝f（x），即函数f（x）为偶函数，‎ 在区间[﹣2π，0）∪（0，2π]上关于y轴对称，排除A、D；‎ 又由x→0时，xsinx+lnx＜0，排除C；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的判断，考查函数的奇偶性，此类题目一般用排除法分析．‎ ‎5.已知上的单调函数满足，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可求得，可知在时单调递减，从而得到在上单调递减；根据对数函数单调性和临界点的大小关系可得到不等式组，解不等式组求得结果.‎ ‎【详解】 当时，单调递减 为上的单调函数 ，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据分段函数的单调性求解参数范围的问题，关键是明确分段函数在上单调需保证在每一段上单调，且在临界点位置大小关系满足单调性，属于常考题型.‎ ‎6.电流强度(安)随时间(秒)变化的函数 的图象如图所示,则当秒时,电流强度是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由函数最值可得：，函数的最小正周期为：，‎ 则，当时函数取得最大值，‎ 即：，‎ 则，令可得：，‎ 函数的解析式为：，‎ 则当秒时,电流强度是.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛： 已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：‎ ‎(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.‎ ‎(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.‎ ‎7.标准的围棋棋盘共行列，个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是 （）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，对取对数可得，即可得，分析选项即可得答案．‎ ‎【详解】据题意，对取对数可得，即可得 分析选项：B中与其最接近，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查对数的计算，关键是掌握对数的运算性质．‎ ‎8.如图，四边形是边长为2的正方形，曲线段所在的曲线方程为，现向该正方形内抛掷1枚豆子，则该枚豆子落在阴影部分的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 根据条件可知，，阴影部分的面积为， ‎ 所以，豆子落在阴影部分的概率为.故选A.‎ ‎9. (　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式将化为，通分后可利用二倍角公式和辅助角公式将所求式子化为，由可约分得到结果.‎ ‎【详解】‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换中的化简求值问题，涉及到诱导公式、二倍角公式和辅助角公式的应用.‎ ‎10.已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由是偶函数，得到关于直线对称；进而得出单调性，再分别讨论和，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为是偶函数，所以关于直线对称；‎ 因此，由得；‎ 又在上单调递减，则在上单调递增；‎ 所以，当即时，由得，所以，‎ 解得；‎ 当即时，由得，所以，‎ 解得；‎ 因此，的解集是.‎ ‎【点睛】本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型.‎ ‎11.已知函数的图像上有且仅有四个不同的关于直线对称的点在的图像上，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对称关系可将问题转化为与有且仅有四个不同的交点；利用导数研究的单调性从而得到的图象；由直线恒过定点，通过数形结合的方式可确定；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得和，进而得到结果.‎ ‎【详解】关于直线对称的直线方程为：‎ 原题等价于与有且仅有四个不同的交点 由可知，直线恒过点 当时，‎ 在上单调递减；在上单调递增 由此可得图象如下图所示：‎ 其中、为过点的曲线的两条切线，切点分别为 由图象可知，当时，与有且仅有四个不同的交点 设，，则，解得：‎ 设，，则，解得：‎ ‎，则 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解.‎ ‎12.若对任意的，存在实数，使恒成立，则实数的最大值为( )‎ A. 9 B. 10 C. 11 D. 12‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将不等式化为，令，，可在平面直角坐标系中作出两函数图象，由图象可知若 最大，则恒过且与相切；联立直线与方程，利用求出切线斜率，即为的值，从而求得的最大值.‎ ‎【详解】由时，恒成立可得：‎ 令，‎ 可得，图象如下图所示：‎ 要使最大，则必过，且与相切于点 则此时，即直线方程为：‎ 联立得：‎ ‎，解得：‎ 由图象可知 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查恒成立问题的求解，关键是能够将不等式转化为三个函数之间的位置关系，通过数形结合的方式找到最大值取得的情况，利用切线的求解方法求得切线斜率，从而得到所求最值.‎ 二、填空题。‎ ‎13.在平面直角坐标系中，以轴为始边作角，角的终边经过点.则____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据任意角三角函数定义可得；根据，利用二倍角公式即可求得结果.‎ ‎【详解】由题意得：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换中的三角函数值的求解问题，涉及到诱导公式的应用、任意角三角函数的定义、二倍角公式应用等知识.‎ ‎14.已知，，，则 _____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用诱导公式化简可得，根据角所处的范围和同角三角函数关系可求得和；根据，利用两角和差余弦公式可求得，根据可求得结果.‎ ‎【详解】 ‎ ‎ ，则 ‎ ，又 ‎ ‎ ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式求解角度的问题，涉及到诱导公式的应用、同角三角函数值的求解、两角和差余弦公式的应用等知识；关键是能够通过构造的方式，将所求角用已知角表示出来.‎ ‎15.已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将有两个不同的零点转化为直线与图象有两个不同的交点；利用导数得到图象，结合直线过定点，利用数形结合可知当与相切时，只需即可；利用过一点曲线切线斜率的求解方法求出切线斜率，从而得到的范围.‎ ‎【详解】由题意得：的定义域为：‎ 由有两个不同的零点可知：方程有两个不同的解 令 直线与图象有两个不同的交点 又 则当时，；当时，‎ 在上单调递增；在上单调递减 又时，；时，‎ 可得图象如下图所示：‎ 恒过点 如图所示，当与相切时，只需即可使得直线与图象有两个不同的交点 设切点 ，解得：‎ ‎，即 当时，直线与图象有两个不同的交点 即时，有两个不同的零点 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，常用方法是将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过数形结合的方式来进行求解；关键是能够通过直线恒过定点，确定临界状态，进而利用过某点切线斜率的求解方法求得临界值.‎ ‎16.已知函数，对于任意实数，当时，记的最大值为.‎ ‎①若，则_______； ‎ ‎②若则的取值范围是_______．‎ ‎【答案】 (1). 3 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①根据定义可知，求出时，的取值范围，从而可得，即为结果；②根据定义将化为；画出的图象，根据区间长度为且可得到临界值为和，由此可确定取值范围.‎ ‎【详解】①由得：，‎ ‎ 当时，，‎ ‎，即 ‎②由题意得： ，‎ 又，可得图象如下图所示：‎ ‎ 区间长度为 当时，‎ 当时，‎ 的取值范围为：‎ 本题正确结果：①；②‎ ‎【点睛】本题考查新定义运算的求解，关键是明确新定义的含义为含绝对值的函数最值的求解；难点是在区间不确定时，能够根据区间长度确定上下限的情况，从而可具体求解出临界状态的值.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知和是方程的两个实根，不等式对任意的恒成立，关于的方程的解集有唯一子集，若或为真，且为假，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当为真时，利用韦达定理可求得，可得，解不等式求得的范围；当为真时，根据方程无解可求得的范围；根据复合命题的真假性可知一真一假；分别讨论真假和假真两种情况，从而得到结果.‎ ‎【详解】若为真，则， ‎ 当时， ‎ 解得：‎ 若为真，则方程的解集为空集，即方程无实根 当时，，不合题意 当时， ‎ 综上所述：若为真，则 或为真，且为假 一真一假 当真假时，；当假真时，‎ 综上所述：‎ ‎【点睛】本题考查根据复合命题的真假性求解参数范围的问题；关键是能够利用恒成立问题的求解方法和由方程根的个数求解参数范围的方法求解出两个命题分别为真时参数的取值范围.‎ ‎18.已知函数 (其中)，若点是函数图象的一个对称中心．‎ ‎(1)求的解析式，并求的最小正周期；‎ ‎(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，用 “五点作图法”作出函数在区间上的图象．‎ ‎【答案】(1) ； ；(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二倍角和辅助角公式化简得；利用对称中心坐标，采用整体对应的方式得到，结合可求得，从而得到函数解析式，再根据求得最小正周期；（2）根据三角函数平移变换和伸缩变换原则得到解析式；列表得到五点作图法所需的点的坐标，依此得到函数图象.‎ ‎【详解】（1）‎ 是的一个对称中心 ‎ ‎，‎ 又 ，则最小正周期 ‎（2）由（1）知，向左平移个单位得：‎ 横坐标伸长为原来的倍得：‎ 当时，列表如下：‎ 则在上的图象如下图所示：‎ ‎【点睛】本题考查根据三角函数性质求解函数解析式、五点作图法的应用，涉及到二倍角公式和辅助角公式化简三角函数、三角函数的平移变换和伸缩变换、根据三角函数对称性求解函数解析式等知识；关键是能够灵活应用整体对应的方式来进行求解.‎ ‎19.某种出口产品的关税税率，市场价格（单位：千元）与市场供应量 ‎（单位：万件）之间近似满足关系式：，其中、均为常数.当关税税率为时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；当关税税率为时，若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件.‎ ‎（1）试确定、的值；‎ ‎（2）市场需求量（单位：万件）与市场价格近似满足关系式：.当时，市场价格称为市场平衡价格.当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值.‎ ‎【答案】（1）.（2）当市场平衡价格为4千元时，关税税率的最大值为500﹪.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据“关系式：p=2（1﹣kt）（x﹣b）2，及市场价格为5千元，则市场供应量均为1万件；市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件”，可得到从而求得结果；‎ ‎（2）当p=q时，可得2（1﹣t）（x﹣5）2=2﹣x，可求得t=1+=1+，由f（x）=x+在（0，4]上单调递减，可知当x=4时，f（x）有最小值．‎ ‎【详解】（1）由已知得，若，‎ 当时，，当时，．‎ 所以有，‎ 解得.‎ ‎（2）由于，则，‎ 当p=q时，,所以，‎ 所以，，‎ 设，‎ 则 ‎==‎ ‎=‎ ‎=，‎ 由于，‎ 则，，，‎ 所以，所以，‎ 所以在区间上是增函数，‎ 所以当时，取得最大值，为5,‎ 即当市场平衡价格为4千元时，关税税率的最大值为500﹪.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数模型的应用，考查了指数方程的解法和双勾函数最值的求法．‎ ‎20.已知抛物线的焦点为，为上位于第一象限的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点．‎ ‎(1)若当点的横坐标为，且为等边三角形，求的方程；‎ ‎(2)对于(1)中求出的抛物线，若点，记点关于轴的对称点为，交轴于点，且，求证：点的坐标为，并求点到直线的距离的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ； (2)证明见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由抛物线焦半径公式知，根据等边三角形特点可知，从而得到点坐标；利用中点坐标公式求得中点；根据可构造方程求得，从而得到所求方程；（2）设直线的方程为：，，，将直线方程与抛物线方程联立可得韦达定理的形式；利用三点共线，根据向量共线坐标表示可得，代入韦达定理整理得到点坐标；利用为等腰直角三角形可求得，从而构造出方程求得，根据韦达定理的形式可确定的取值范围；利用点到直线距离公式可将问题转化为关于的函数值域的求解问题；利用函数单调性求得所求的范围即可.‎ ‎【详解】（1）由题意知：，‎ 等边三角形 ‎ 中点为：‎ 由为等边三角形知：，即轴 ，解得：‎ 的方程为：‎ ‎（2）设直线的方程为：，，，则 由得：‎ ‎ ‎ 设，则，‎ 三点共线 ‎ 即 ‎ ‎ 为等腰直角三角形 ‎ 即 ‎ ‎，可得：‎ ‎ ，又 ‎ 令，，则 在上单调递减 ‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用的问题，涉及到抛物线方程的求解、点到直线距离公式的应用、抛物线中取值范围类问题的求解等知识；求解取值范围类问题的常用方法是利用变量表示出所求量，将问题转化为函数值域的求解问题；本题易错点是缺少对于范围的求解，造成取值范围缺少上限.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)讨论极值点个数； ‎ ‎(2)若是的一个极值点，且，证明: .‎ ‎【答案】(1) 当时，无极值点；当时，有个极值点；当或时，有个极值点；(2)证明见解析 ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）求导得到；分别在、、和四种情况下根据的符号确定的单调性，根据极值点定义得到每种情况下极值点的个数；（2）由（1）的结论和可求得，从而得到，代入函数解析式可得；令可将化为关于的函数，利用导数可求得的单调性，从而得到，进而得到结论.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎①当时，‎ 当时，；当时，‎ 在上单调递减；在上单调递增 为的唯一极小值点，无极大值点，即此时极值点个数为：个 ‎②当时，令，解得：，‎ ‎⑴当时，‎ 和时，；时，‎ 在，上单调递增；在上单调递减 为的极大值点，为的极小值点，即极值点个数为：个 ‎⑵当时，，此时恒成立且不恒为 在上单调递增，无极值点，即极值点个数为：个 ‎⑶当时，‎ 和时，；时，‎ 在，上单调递增；在上单调递减 为的极大值点，为的极小值点，即极值点个数为：个 综上所述：当时，无极值点；当时，有个极值点；当或时，有个极值点 ‎（2）由（1）知，若是的一个极值点，则 又，即 ‎ ‎ ‎ 令，则 ，‎ 则 当时，，‎ 当时，；当时，‎ 在上单调递增；在上单调递减 ‎，即 ‎ ‎【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用问题，涉及到利用导数讨论函数极值点的个数、证明不等式的问题；本题中证明不等式的关键是能够通过换元的方式将转化为关于的函数，利用导数求得函数最值之后即可证得结论；易错点是换元时忽略自变量的取值范围，导致定义域错误.‎ ‎22.以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是，（为参数).‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；‎ ‎（2）设直线与曲线交于两点，求.‎ ‎【答案】（1），；（2）1‎ ‎【解析】‎ ‎【试题分析】(1)展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对消去后得到直角坐标方程.(2)求出直线的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得的值.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）由，得，‎ 令，，得.‎ 因为，消去得，‎ 所以直线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为.‎ ‎（2）点的直角坐标为，点在直线上. ‎ 设直线的参数方程为，（为参数），代入，得.‎ 设点对应的参数分别为，，则，，‎ 所以 .‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若，，使得不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或.（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【试题分析】(1)利用零点分段法去绝对值,将转化为分段函数来求得不等式的解集.(2)依题意有,对分类讨论函数的最小值,由此得到的取值范围.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1），即，此不等式等价于或或，解得或，所以的解集为或.‎ ‎（2）因为，，使得成立，‎ 所以.又，所以.‎ 当，即时，，解得，所以；‎ 当，即时，，解得，所以；‎ 当，即时，，解得或，‎ 所以或.综上，实数的取值范围为.‎ ‎ ‎