高中数学人教a版选修4-1同步辅导与检测：3_2平面与圆柱面的截线 28页

3.2 　平面与圆柱面的截线 1 ． 理解圆柱面的概念． 2 ．了解圆柱的截线及其性质． 1 ． 椭圆组成元素：如图甲所示 ______ 叫做椭圆的焦点； ______ 叫做椭圆的焦距； AB 叫做椭圆的 ______ ； CD 叫做椭圆的 ______ ． 如果长轴为 2 a ，短轴为 2 b ，那么焦距 2 c ＝ ______. 答案： F 1 、 F 2 　 F 1 F 2 　长轴　短轴　 2 ．如图乙所示， AB 、 CD 是两个等圆的直径， AB ∥ CD ， AD 、 BC 与两圆相切，作两圆的公切线 EF ，切点分别为点 F 1 、 F 2 ，交 BA 、 DC 的延长线于点 E 、 F ，交 AD 于点 G 1 ，交 BC 于点 G 2 . 设 EF 与 BC 、 CD 的交角分别为 φ 、 θ . 图乙 图丙 (1) G 2 F 1 ＋ G 2 F 2 ______ AD . (2) G 1 G 2 ______ AD . (3) ______cos φ ______sin θ . 3 ．如图丙所示，将两个圆拓宽为球面，将矩形 ABCD 看成是圆柱面的轴截面，将 EB 、 DF 拓宽为两个平面 α 、 β ， EF 拓宽为平面 γ ，平面 γ 与圆柱面的截线是 ______ ． 2 ． (1) ＝　 (2) ＝　 (3) ＝　＝ 3 ．椭圆 如图所示是夹在圆柱面上的两正截面的部分，且所截得母线长为 2 cm. 若 OA ⊥ O ′ B ′ ， OA ＝ 1 cm. (1) 求 OO ′ 与 AB ′ 所成角的正切值； (2) 求过 AB ′ 与 OO ′ 平行的截面面积； (3) 求点 O 到截面的距离． 如果椭圆的长轴长为 2 a ，短轴长为 2 b ，求椭圆的面积． 　 已知圆柱面的半径 r ＝ 6 ，截割平面 β 与母线所成的角为 60° ，求此截割面的两个焦球球心距离，并指出截线椭圆的长轴、短轴和离心率 e . 解析： 如图 (1) ， ABCD 是圆柱的轴截面，且其边长为 5 cm ，设圆柱的底面圆半径为 r ，则 r ＝ cm. 2 ．已知半径为 2 的圆柱面，一平面与圆柱面的轴线成 45° 角，则截线椭圆的焦距为 ( 　　 ) A ． 2 　　　 B ． 2 C ． 4 　　　　 D ． 4 3 ．下列说法不正确的是 ( 　　 ) A ．圆柱面的母线与轴线平行 B ．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面 C ．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关 D ．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径 C D 4 ．一平面与半径为 3 的圆柱面截得椭圆，若椭圆的两焦球球心的距离为 10 ，截面与圆柱面母线的夹角为 θ ，则 cos θ ＝ ______. 5 ．一平面与圆柱面的母线成 45° 角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴为 6 ，则圆柱面的半径为 ______ ． 6 ．已知平面 δ 斜截一准线半径为 r 的圆柱面，轴线与平面 δ 所成的角为 α ，求证：存在圆柱面的内切球与平面 δ 相切． 证明： 作一平面 δ∥ 平面 α ，且平面 δ 与平面 α 的距离等于圆柱面准线的半径 r ，则平面 δ 与圆柱面的轴线相交于一点 C . 以点 C 为圆心， r 为半径作球，则球 C ( C ， r ) 为圆柱面的内切球． 过点 C 作 CC ′⊥ 平面 δ ，则 C ′∈ δ ， CC ′ ＝ r . 又∵球的半径为 r ， ∴ C ′ 在球面上． 又∵过球的半径的外端与半径垂直的平面与球只有唯一公共点， ∴球 C ( C ， r ) 与平面 δ 只有一个公共点． ∴球 C ( C ， r ) 与平面相切． ∴存在圆柱面的内切球 C ( C ， r ) 与平面 δ 相切 7. 已知一个平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为半径为 2 的圆，另一平面与圆柱的轴成 30° 角，求截线的长轴，短轴和离心率 .  8 ．已知圆柱面准线的半径等于 2 cm ，一个截割圆柱的平面与圆柱面的轴线成 60° ，从割平面上下放入圆柱面的两个内切球，并且它们都与截平面相切，求两个内切球的球心间的距离． 解析： 设截割圆柱的平面为 δ ，与 δ 相切的圆柱面的两个内切球的球心分别为 C 1 、 C 2 ，切点分别为 F 1 、 F 2 . 如图所示． 9 ．已知一圆柱面的半径为 3 ，圆柱面的一截面的两焦球的球心距为 12 ，求截面截圆柱面所得的椭圆的长半轴长、短半轴长、两焦点间的距离和截面与母线所夹的角． 10 ．已知圆柱面轴线上一点 O 到圆柱的同一条母线上两点 A 、 B 的距离分别为 2 和 3 ，且∠ AOB ＝ 45° ，求圆柱的准线的半径． 解析： 如图所示，设 OA ＝ 2 ， OB ＝ 3 则∠ AOB ＝ 45°, 圆柱形物体的斜截口是椭圆． 图 (1) 为图 (2) 经过母线 AD 、 BC 的轴截面，由前面已有结论，当点 P 与点 G 2 重合时，有 G 2 F 1 ＋ G 2 F 2 ＝ AD ；当点 P 不在端点时，连接 PF 1 、 PF 2 ，则 PF 1 、 PF 2 分别是两个球面的切线，切点为 F 1 、 F 2 . 过点 P 作母线，与两球面分别相交于 K 1 、 K 2 ，则 PK 1 、 PK 2 分别是两球面的切线，切点为 K 1 、 K 2 . 由切线长定理，得 PF 1 ＝ PK 1 ， PF 2 ＝ PK 2 ，则 PF 1 ＋ PF 2 ＝ PK 1 ＋ PK 2 ＝ AD . 因 AD 为定值，故点 P 的轨迹方程为椭圆． 感谢您的使用，退出请按 ESC 键 本小节结束