2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练52　椭　圆 9页

课时分层训练(五十二)　椭　圆 ‎(对应学生用书第301页)‎ A组　基础达标 一、选择题 ‎1．(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)‎ A.　　　 B. C. D. B　[如图，|OB|为椭圆中心到l的距离，则|OA|·|OF|＝|AF|·|OB|，即bc＝a·，所以e＝＝.]‎ ‎2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　) ‎ ‎【导学号：79140286】‎ A.＋＝1 B.＋y2＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ A　[由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，又＝＝，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为＋＝1，选A.]‎ ‎3．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为(　　)‎ A．9,12 B．8,11‎ C．8,12 D．10,12‎ C　[如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝10，易知|PM|＋|PN|＝(|PM|＋|MF1|)＋(|PN|＋|NF2|)－2，则其最小值为|PF1|＋|PF2|－2＝8，最大值为|PF1|＋|PF2|＋2＝12.]‎ ‎4．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．6 D．8‎ C　[由题意知，O(0,0)，F(－1,0)，设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋1，y)，∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又∵＋＝1，∴y2＝3－x2，‎ ‎∴·＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2.‎ ‎∵－2≤x≤2，∴当x＝2时，·有最大值6.]‎ ‎5．(2017·河北衡水六调)已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.＋＝1‎ D　[由题意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2＞|AF|＝2，∴点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆，且a＝，c＝1，∴b＝，∴动点P的轨迹方程为＋＝1，故选D.]‎ 二、填空题 ‎6．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P(－5,4)，则椭圆的标准方程为________．‎ ＋＝1　[由题意设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由离心率e＝可得a2＝5c2，所以b2＝4c2，故椭圆的方程为＋＝1，将P(－5,4)代入可得c2＝9，故椭圆的方程为＋＝1.]‎ ‎7．(2017·太行中学)如图852，∠OFB＝，△ABF的面积为2－，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为__________．‎ 图852‎ ＋＝1　[设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由题意可知，|OF|＝c，|OB|＝b，‎ ‎∴|BF|＝a.∵∠OFB＝，∴＝，a＝2b.‎ ‎∴S△ABF＝·|AF|·|BO|＝(a－c)·b＝(2b－b)b＝2－，‎ 解得b2＝2，则a＝2b＝2.‎ ‎∴所求椭圆的方程为＋＝1.]‎ ‎8．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足1·2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________. ‎ ‎【导学号：79140287】‎ 　[满足1·2＝0的点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，若其总在椭圆内部，则有c＜b，即c2＜b2，又b2＝a2－c2，所以c2＜a2－c2，即2c2＜a2，所以e2＜，又因为0＜e＜1，所以0＜e＜.]‎ 三、解答题 ‎9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其中左焦点为F(－2,0)．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．‎ ‎[解]　(1)由题意，得解得 ‎∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，‎ 由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，‎ Δ＝96－8m2>0，∴－2b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.‎ ‎(1)求E的离心率e；‎ ‎(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．‎ ‎[解]　(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM＝，从而＝，进而得a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.‎ ‎(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为＋＝1，点N的坐标为.‎ 设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，则线段NS的中点T的坐标为.‎ 又点T在直线AB上，且kNS·kAB＝－1，‎ 从而有解得b＝3.‎ 所以a＝3，故椭圆E的方程为＋＝1.‎ B组　能力提升 ‎11．(2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　)‎ A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞)‎ C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞)‎ A　[法一：设焦点在x轴上，点M(x，y)．‎ 过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，‎ 则N(x,0)．‎ 故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)‎ ‎＝＝.‎ 又tan∠AMB＝tan 120°＝－，‎ 且由＋＝1可得x2＝3－，‎ 则＝＝－.‎ 解得|y|＝.‎ 又0<|y|≤，即0＜≤，结合0＜m＜3解得0＜m≤1.‎ 对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9.‎ 则m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．‎ 故选A.‎ 法二：当03时，焦点在y轴上，‎ 要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，‎ 则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.‎ 故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．‎ 故选A.]‎ ‎12．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F2，若