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  • 2021-06-19 发布

河南省六市2019届高三下学期第一次联考数学(文)试卷

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‎2019年河南省六市高三第一次联考试题 数学(文科)‎ ‎ 本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分。考试时间为120分钟,其中第Ⅱ卷22题,23题为选考题,其它题为必考题。考试结束后,将答题卡交回。‎ 注意事项: ‎ ‎1.答题前,考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。‎ ‎2.选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。‎ ‎3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ ‎4.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀。‎ 第I卷(选择题共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。‎ ‎1. 设集合A = {0,1},B = {},则 ‎ A. {-2,-1,0,1} B. {-1,0,1} C. {0,1} D. {0}‎ ‎2. ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 某中学有高中生3000人,初中生2000人,男、女生所占的 比例如图所示.为了了解学生的学习情况,用分层抽样的 方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中 生中抽取女生21人,则从初中生中抽取的男生人数是 ‎ A. 12 B. 15 C.20 D.21 ‎ ‎4.《九章算术》是我国古代第一部数学专著,全书收集了 246个问题及其解法,其中一个问题为 ‎ “现有一根九节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面四节容积之和为3升,下面三节的容积之和为4升,求中间两节的容积各为多少?”,则该问题中第2节,第3节,第8节竹子的容积之和为升 A. 升 B. 升 C. 升 D. 升 ‎5. 已知;函数为奇函数,则p是q成立的 ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6. 已知变量满足约束条件,则目标函数的最大值是 A. -6 B. C. -1 D.6‎ ‎7.函数的部分图像可能是 ‎8.设函数与直线的交点的横坐标构成以为公差的等差数列,且是图象的一条对称轴,则下列区间中是函数的单调递减区间的是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9. “赵爽弦图(如图)”是由四个全等的直角三角形(阴影部分)围成一个大正方形,中间空出一个小正方形组成的图形,若在大正方形内随机取一点,该点落在小正方形内的概率为,则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为 A. B. C. D. ‎ ‎10. 已知等差数列{}的前n项和为Sn,若>0 , ‎ ‎<0,那么此数列中绝对值最小的项为 A. B. C. D. ‎ ‎11. 已知某几何体的三视图如图所示,过该几何体最短两条棱的中点作平面,使得平分该几何体的体积,则可以作此种平面 A.恰好1个 B.恰好2个 C.至多3个 D.至少4个 ‎12.已知抛物线C:的焦点为F,准线为上一点,直线PF与曲线C相交于M,N两点,若,则 ‎ A. B. C.10 D.11 ‎ 第Ⅱ卷(非选择题共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。‎ ‎13. 已知向量a =(1,-1),b= (t,1),若(a+b)//(a-b),则实数t = .‎ ‎14.三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两成,且PA = 1,PB = PC = 2,则该三棱锥外接球的表面积为 . ‎ ‎15. 已知双曲线 (a>b>0),焦距为2c,直线经过点(a,0)和(0,b),若(-a,0)到直线的距离为,则离心率为 .‎ ‎16.若函数在(-∞,+∞)上单调递减,则m的取值范围是 . ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(本小题满分12分) ‎ ‎ △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知.‎ ‎(I)求A;‎ ‎(II)求△ABC的面积的最大值.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ ‎ 2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪” 口号的提出,将冰雪这个冷项目迅速炒“热”。北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程,为了解学生对冰球运动的兴趣,随机从该校一年级学生中抽取了 100人进行调查,其中女生中对冰球运动有兴趣的占,而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣。‎ ‎(I)完成2x2列联表,并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”?‎ 有兴趣 没兴趣 合计 男 ‎55‎ 女 合计 ‎(II)已知在被调查的女生中有5名数学系的学生,其中3名对冰球有兴趣,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至少有2人对冰球有兴趣的概率。‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ ‎ 已知五边形遞CZ)由一个直角梯形ABCD与一个等边三角形BCE构成,如图1所示,AB丄BC,AB//CD,且AB=2CD。将梯形ABCD沿着BC折起,如图2所示,且AB丄平面BEC。‎ ‎(I)求证:平面AftE丄平面ADE;‎ ‎(II)求二面角A-DE-B的余弦值. ‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ ‎ 已知椭圆C: (a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,离心率,短轴长为2.‎ ‎(I)求椭圆的方程; ‎ ‎(II) 如图,点A为椭圆上的一动点(非长轴端点的延长线与椭圆交于B点,AO的延长线与椭圆交于C点,求△ABC面积的最大值.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ ‎ 已知函数 (其中e是自然对数的底数)‎ ‎(I)求函数的单调区间和极值;‎ ‎(II)若函数对任意满足,求证:当x>2时 >; (Ⅲ)若且,求证: >4.‎ ‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎22.(本小题满分10分)【选修4 - 4:坐标系与参数方程选讲】‎ ‎ 在平面直角坐标系中,曲线C1: ,曲线C2的参数方程为为参数)。以坐标原点0为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系。‎ ‎(I)求曲线C1,C2的极坐标方程;‎ ‎(II)在极坐标系中,射线与曲线C1,C2分别交于A,B两点(异于极点O),定点M (3,0),求△MAB的面积。‎ ‎23. (本小题满分10分)【选修4 -5:不等式选讲】 ‎ ‎ 已知函数.‎ ‎(I)解不等式: ;‎ ‎(II)当时时,函数恒为正值,求实数m的取值范围。‎ ‎2019年河南省六市高三第一次联考试题 数学(文科)参考答案 一、选择题 ‎1-6 BDAACD 7-12 ADBCDB 二、填空题 ‎13.-1; 14.; 15.; 16. ‎ 三、解答题 ‎17.(本小题满分12分)‎ ‎【解析】‎ ‎(Ι)因为,所以,所以 ‎,由正弦定理得,所以 ‎,,解得. ------------------------------6分 ‎(Ⅱ)由余弦定理得,,‎ 因为.所以,解得,所以.‎ 所以的面积的最大值为. ------------------------------------12分 ‎18.(本小题满分12分)‎ ‎【解析】‎ ‎(Ι)根据已知数据得到如下列联表 有兴趣 没有兴趣 合计 男 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 女 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ ‎-----------2分 根据列联表中的数据,得到,‎ 因为,所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”.‎ ‎ ------------------------------------------6分 ‎(Ⅱ)记5人中对冰球有兴趣的3人为A、B、C,对冰球没有兴趣的2人为m、n,则从这5人中随机抽取3人,共有(A,m,n)(B,m,n)(C,m,n)(A、B、m)(A、B、n)(B、C、m)(B、C、n)(A、C、m)(A、C、n)(A、B、C)10种情况,‎ ‎-----------------------------------8分 其中3人都对冰球有兴趣的情况有(A、B、C)1种,2人对冰球有兴趣的情况有(A、B、m)(A、B、n)(B、C、m)(B、C、n)(A、C、m)(A、C、n)6种, ‎ 所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种,‎ 所以,所求事件的概率. ---------------------------------------12分 ‎19.(本小题满分12分)‎ ‎【解析】‎ ‎(Ι)证明:‎ ‎∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,‎ ‎∴PA⊥AB. ‎ ‎∵AB⊥AD,AD∩PA=A,AD⊂平面PAD,‎ PA⊂平面PAD,‎ ‎∴AB⊥平面PAD. -----------------------------------3分 ‎∵PD⊂平面PAD,‎ ‎∴AB⊥PD.‎ ‎∵BM⊥PD,AB∩BM=B,AB⊂平面ABM,BM⊂平面ABM,‎ ‎∴PD⊥平面ABM. -------------------------------------------6分 ‎(Ⅱ)由(Ι)可得∴AM⊥PD.又PA=AD ‎∴M是PD中点,----------------------------------8分 ‎∴,‎ 设B到平面的距离为d,‎ ‎∵=,‎ ‎∴.‎ 解得 -----------------------------------------------------------12分 ‎20.(本小题满分12分)‎ ‎【解析】‎ ‎(Ι)由题意得2b=2,解得b=1,‎ ‎∵e==,a2=b2+c2,∴a=,c=1,‎ 故椭圆的标准方程为+y2=1. -----------------------------3分 ‎(Ⅱ)①当直线AB的斜率不存在时,不妨取A,B,C,‎ 故S△ABC=×2×=; -----------------------------------------------------4分 ‎②当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-1),联立方程组得,化简得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0, ‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=,x1·x2=,‎ ‎|AB|= ‎==2·, ---------------------------8分 又点O到直线kx-y-k=0的距离d==,‎ ‎∵O是线段AC的中点,‎ ‎∴点C到直线AB的距离为2d=, ------------------------------------------9分 ‎∴S△ABC=|AB|·2d=·· ‎=2 =2 <.‎ 综上,△ABC面积的最大值为. ------------------------------------------------12分 ‎21.(本小题满分12分)‎ ‎【解析】‎ ‎(Ι)由f′(x)= >0⇒x<2,‎ 所以f(x)在(-∞,2)单调递增,在(2,+∞)单调递减;--------------------------2分 f(x)极大值=f(2)=e-2,无极小值; ------------------------------4分 ‎(Ⅱ)证明:g(x)=,记h(x)= f(x)-g(x)=+(x-3)ex 所以h′(x)=+[ex+(x-3)ex]‎ ‎=+(x-2)ex-4=(x-2),--------------------------------6分 当x>2时,h′(x) >0,∴h(x)在(2,+∞)单调递增,‎ 所以h(x)>h(2)=0,即f(x)-g(x)>0‎ 所以f(x) > g(x);------------------------8分 ‎(Ⅲ)证明:‎ 由(Ι)知当x1≠x2,且f(x1)=f(x2)⇒x1,x2不可能在同一单调区间,‎ 不妨设x1<2<x2,由(Ⅱ)知f(x2)>g(x2) --------------------10分 又g(x2)=f(4-x2),f(x1)=f(x2)⇒f(x1)>f(4-x2),‎ 因为x2>2⇒4-x2<2且f(x)在(-∞,2)上为增函数,‎ 所以x1>4-x2,即x1+x2>4. --- ---------------------12分 ‎ ‎ ‎22.(本小题满分10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】‎ ‎【解析】‎ ‎(Ⅰ)曲线的极坐标方程为,‎ 因为曲线的普通方程为,所以,‎ 所以曲线的极坐标方程为. ---------------------------------4分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得:点的极坐标为,点的极坐标为,‎ 所以,点到射线的距离为,‎ 所以的面积为. -------------------10分 ‎23.(本小题满分10分)【选修4-5:不等式选讲】‎ ‎【解析】‎ ‎(Ⅰ)由题意知,原不等式等价于 或或,‎ 解得或或,‎ 综上所述,不等式的解集为. -------------------4分 ‎(Ⅱ)当时,则,只需,不可能!‎ 当时,,‎ 要使函数恒为正值,则 当时,恒成立,‎ 只需要 综上所述,实数的取值范围是:. -------------------10分