河南省六市2019届高三下学期第一次联考数学（文）试卷 10页

‎2019年河南省六市高三第一次联考试题 数学(文科）‎ ‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题，23题为选考题，其它题为必考题。考试结束后，将答题卡交回。‎ 注意事项: ‎ ‎1.答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。‎ ‎2.选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。‎ ‎3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ ‎4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀。‎ 第I卷(选择题共60分）‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。‎ ‎1. 设集合A = {0,1}，B = {}，则 ‎ A. {-2,-1,0,1} B. {-1,0,1} C. {0,1} D. {0}‎ ‎2. ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的 比例如图所示.为了了解学生的学习情况，用分层抽样的 方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中 生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是 ‎ A. 12 B. 15 C.20 D.21 ‎ ‎4.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了 246个问题及其解法，其中一个问题为 ‎ “现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列,上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少?”，则该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为升 A. 升 B. 升 C. 升 D. 升 ‎5. 已知；函数为奇函数，则p是q成立的 ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6. 已知变量满足约束条件，则目标函数的最大值是 A. -6 B. C. -1 D.6‎ ‎7.函数的部分图像可能是 ‎8.设函数与直线的交点的横坐标构成以为公差的等差数列，且是图象的一条对称轴，则下列区间中是函数的单调递减区间的是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9. “赵爽弦图（如图）”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形内的概率为，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为 A. B. C. D. ‎ ‎10. 已知等差数列{}的前n项和为Sn，若>0 , ‎ ‎<0,那么此数列中绝对值最小的项为 A. B. C. D. ‎ ‎11. 已知某几何体的三视图如图所示，过该几何体最短两条棱的中点作平面，使得平分该几何体的体积，则可以作此种平面 A.恰好1个 B.恰好2个 C.至多3个 D.至少4个 ‎12.已知抛物线C:的焦点为F，准线为上一点，直线PF与曲线C相交于M,N两点，若，则 ‎ A. B. C.10 D.11 ‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。‎ ‎13. 已知向量a =（1，-1），b= (t,1)，若(a+b)//(a-b)，则实数t = .‎ ‎14.三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两成，且PA = 1，PB = PC = 2，则该三棱锥外接球的表面积为 . ‎ ‎15. 已知双曲线 (a>b>0),焦距为2c，直线经过点(a，0)和(0,b)，若（-a，0)到直线的距离为，则离心率为 .‎ ‎16.若函数在（-∞，+∞)上单调递减，则m的取值范围是 . ‎ 三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(本小题满分12分） ‎ ‎ △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知.‎ ‎(I)求A；‎ ‎(II)求△ABC的面积的最大值.‎ ‎18.(本小题满分12分）‎ ‎ 2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪” 口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”。北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了 100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣。‎ ‎(I)完成2x2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？‎ 有兴趣 没兴趣 合计 男 ‎55‎ 女 合计 ‎(II)已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率。‎ ‎19.(本小题满分12分）‎ ‎ 已知五边形遞CZ)由一个直角梯形ABCD与一个等边三角形BCE构成，如图1所示,AB丄BC，AB//CD，且AB=2CD。将梯形ABCD沿着BC折起，如图2所示，且AB丄平面BEC。‎ ‎(I)求证:平面AftE丄平面ADE；‎ ‎(II)求二面角A-DE-B的余弦值. ‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ ‎ 已知椭圆C: (a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，离心率，短轴长为2.‎ ‎(I)求椭圆的方程； ‎ ‎(II) 如图，点A为椭圆上的一动点(非长轴端点的延长线与椭圆交于B点，AO的延长线与椭圆交于C点，求△ABC面积的最大值.‎ ‎21.(本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数 (其中e是自然对数的底数）‎ ‎(I)求函数的单调区间和极值；‎ ‎(II)若函数对任意满足，求证:当x>2时 >； (Ⅲ)若且，求证: >4.‎ ‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.(本小题满分10分）【选修4 - 4:坐标系与参数方程选讲】‎ ‎ 在平面直角坐标系中，曲线C1: ，曲线C2的参数方程为为参数)。以坐标原点0为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。‎ ‎(I)求曲线C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(II)在极坐标系中，射线与曲线C1，C2分别交于A，B两点（异于极点O)，定点M (3,0),求△MAB的面积。‎ ‎23. (本小题满分10分）【选修4 -5:不等式选讲】 ‎ ‎ 已知函数.‎ ‎(I)解不等式: ；‎ ‎(II)当时时，函数恒为正值,求实数m的取值范围。‎ ‎2019年河南省六市高三第一次联考试题 数学（文科）参考答案 一、选择题 ‎1-6 BDAACD 7-12 ADBCDB 二、填空题 ‎13．－1; 14．; 15．; 16. ‎ 三、解答题 ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ι）因为，所以，所以 ‎，由正弦定理得，所以 ‎，，解得． ------------------------------6分 ‎（Ⅱ）由余弦定理得，，‎ 因为．所以，解得，所以．‎ 所以的面积的最大值为． ------------------------------------12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ι）根据已知数据得到如下列联表 有兴趣 没有兴趣 合计 男 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 女 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ ‎-----------2分 根据列联表中的数据，得到,‎ 因为,所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”．‎ ‎ ------------------------------------------6分 ‎（Ⅱ）记5人中对冰球有兴趣的3人为A、B、C，对冰球没有兴趣的2人为m、n，则从这5人中随机抽取3人，共有（A，m，n）（B，m，n）（C，m，n）（A、B、m）（A、B、n）（B、C、m）（B、C、n）（A、C、m）（A、C、n）（A、B、C）10种情况，‎ ‎-----------------------------------8分 其中3人都对冰球有兴趣的情况有（A、B、C）1种，2人对冰球有兴趣的情况有（A、B、m）（A、B、n）（B、C、m）（B、C、n）（A、C、m）（A、C、n）6种， ‎ 所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种，‎ 所以，所求事件的概率. ---------------------------------------12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ι）证明：‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥AB. ‎ ‎∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，AD⊂平面PAD，‎ PA⊂平面PAD，‎ ‎∴AB⊥平面PAD. -----------------------------------3分 ‎∵PD⊂平面PAD，‎ ‎∴AB⊥PD.‎ ‎∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，AB⊂平面ABM，BM⊂平面ABM，‎ ‎∴PD⊥平面ABM. -------------------------------------------6分 ‎（Ⅱ）由（Ι）可得∴AM⊥PD.又PA＝AD ‎∴M是PD中点，----------------------------------8分 ‎∴，‎ 设B到平面的距离为d，‎ ‎∵=，‎ ‎∴.‎ 解得 -----------------------------------------------------------12分 ‎20．(本小题满分12分)‎ ‎【解析】‎ ‎（Ι）由题意得2b＝2，解得b＝1，‎ ‎∵e＝＝，a2＝b2＋c2，∴a＝，c＝1，‎ 故椭圆的标准方程为＋y2＝1. -----------------------------3分 ‎（Ⅱ）①当直线AB的斜率不存在时，不妨取A，B，C，‎ 故S△ABC＝×2×＝； -----------------------------------------------------4分 ‎②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，联立方程组得，化简得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0， ‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝，x1·x2＝，‎ ‎|AB|＝ ‎＝＝2·， ---------------------------8分 又点O到直线kx－y－k＝0的距离d＝＝，‎ ‎∵O是线段AC的中点，‎ ‎∴点C到直线AB的距离为2d＝， ------------------------------------------9分 ‎∴S△ABC＝|AB|·2d＝·· ‎＝2 ＝2 ＜.‎ 综上，△ABC面积的最大值为. ------------------------------------------------12分 ‎21．(本小题满分12分)‎ ‎【解析】‎ ‎（Ι）由f′(x)＝ >0⇒x<2，‎ 所以f(x)在(－∞，2)单调递增，在(2，＋∞)单调递减；--------------------------2分 f(x)极大值＝f(2)＝e－2，无极小值； ------------------------------4分 ‎（Ⅱ）证明：g(x)＝，记h(x)= f(x)-g(x)＝＋(x－3)ex 所以h′(x)＝＋[ex＋(x－3)ex]‎ ‎＝＋(x－2)ex-4＝(x－2)，--------------------------------6分 当x>2时，h′(x) >0，∴h(x)在(2，＋∞)单调递增，‎ 所以h(x)>h(2)＝0，即f(x)-g(x)>0‎ 所以f(x) > g(x)；------------------------8分 ‎（Ⅲ）证明：‎ 由（Ι）知当x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)⇒x1，x2不可能在同一单调区间，‎ 不妨设x1＜2＜x2，由（Ⅱ）知f(x2)＞g(x2) --------------------10分 又g(x2)＝f(4－x2)，f(x1)＝f(x2)⇒f(x1)＞f(4－x2)，‎ 因为x2＞2⇒4－x2＜2且f(x)在(－∞，2)上为增函数，‎ 所以x1＞4－x2，即x1＋x2＞4. --- ---------------------12分 ‎ ‎ ‎22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）曲线的极坐标方程为，‎ 因为曲线的普通方程为，所以，‎ 所以曲线的极坐标方程为． ---------------------------------4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得：点的极坐标为，点的极坐标为，‎ 所以，点到射线的距离为，‎ 所以的面积为． -------------------10分 ‎23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由题意知，原不等式等价于 或或，‎ 解得或或，‎ 综上所述，不等式的解集为． -------------------4分 ‎（Ⅱ）当时，则，只需，不可能！‎ 当时，，‎ 要使函数恒为正值，则 当时，恒成立，‎ 只需要 综上所述，实数的取值范围是：． -------------------10分