数学理卷·2018届湖北省鄂南高中+、华师一附中、黄冈中学等八校高三上学期第一次联考（2017 9页

‎ 鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 ‎ 荆州中学 孝感高中 襄阳四中 襄阳五中 ‎2018届高三第一次联考 数学试题（理）‎ 命题学校：荆州中学 命题人：刘学勇 审题人：朱代文 ‎ ‎ 审定学校：孝感高中 审定人：幸芹 一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 复数的共轭复数为（ ）‎ A．－ B． C． D．‎ ‎3. 将函数的图像向右平移个单位后得到的图像关于原点对称，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 已知函数，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5. 已知命题， 且，命题，.下列命题是真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6. 将正方体（如图1）截去三个三棱锥后，得到如图2所示的几何体，侧视图的视线方向如图2所示，则该几何体的侧视图为（ ）‎ ‎7. 下列说法错误的是（ ）‎ A．“函数的奇函数”是“”的充分不必要条件.‎ B．已知不共线，若则是△的重心.‎ C．命题“，”的否定是：“，”.‎ D．命题“若，则”的逆否命题是：“若，则”.‎ ‎8. 已知等比数列的前项和为，已知，则（ ）‎ A．－510 B．400 C． 400或－510 D．30或40‎ ‎9. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶，算法至今仍是多项式求值比较先进的算法.已知，下列程序框图设计的是求的值，在“ ”中应填的执行语句是（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎10. 已知，且，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11. 已知△中，为角的对边，，则△的形状为（ ）‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D . 无法确定 ‎12. 我国古代太极图是一种优美的对称图.如果一个函数的图像能够将圆的面积和周长分成两个相等的部分，我们称这样的函数为圆的“太极函数”.下列命题中错误命题的个数是（ ）‎ 对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一；‎ 如果一个函数是两个圆的太极函数，那么这两个圆为同心圆；‎ 圆的一个太极函数为；‎ 圆的太极函数均是中心对称图形；‎ 奇函数都是太极函数；‎ 偶函数不可能是太极函数.‎ ‎ A. 2 B. 3 C.4 D.5 ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知平面向量且，则 .‎ ‎14.曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 .‎ ‎15.已知等差数列是递增数列，且，，则的取值范围为 .‎ ‎16.是上可导的奇函数，是的导函数.已知时，不等式的解集为，则在上的零点的个数为 .‎ 三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）‎ ‎17.（12分）已知向量.‎ ‎（1）求的最大值及取最大值时的取值集合；‎ ‎（2）在△中，是角的对边若且，求△的周长的取值范围.‎ ‎18.（12分）已知数列满足.‎ ‎（1）求证：是等比数列； ‎ ‎（2）求的通项公式. ‎ ‎19.（12分）四棱锥中，∥，，，为的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求与平面所成角的余弦值. ‎ ‎20.（12分）已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为元时，生产件产品的销售收入是（元），为每天生产件产品的平均利润（平均利润＝）.销售商从工厂每件元进货后又以每件元销售， ，其中 为最高限价，为销售乐观系数，据市场调查，是由当是，的比例中项时来确定.‎ ‎ （1）每天生产量为多少时，平均利润取得最大值？并求的最大值；‎ ‎ （2）求乐观系数的值；‎ ‎ （3）若，当厂家平均利润最大时，求的值.‎ ‎21.（12分）已知函数是的一个极值点.‎ ‎ （1）若是的唯一极值点，求实数的取值范围；‎ ‎ （2）讨论的单调性；‎ ‎（3）若存在正数，使得，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做第一个题目计分。‎ ‎22.（10分）已知曲线的极坐标方程为，的参数方程为（为参数）.‎ ‎ （1）将曲线与的方程化为直角坐标系下的普通方程；‎ ‎ （2）若与相交于两点，求.‎ ‎23.（10分）已知.‎ ‎ （1）求在上的最大值及最小值.‎ ‎ （2），设，求的最小值.‎ 鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 ‎ 荆州中学 孝感高中 襄阳四中 襄阳五中 ‎2018届高三第一次联考 ‎ 数学参考答案（理）‎ 一、选择题 C A B C A—— D A B C D—— B C ‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. 2‎ 三、解答题 ‎17.（1），‎ 的最大值为 ………………4分 此时 即 ‎ ‎ ………………6分 ‎（2） ‎ ‎, ………………7分 由得 ‎ ………………10分 又 ………………11分 故，即周长的范围为. ………………12分 ‎18.（1）由得 是等比数列. ………………6分 ‎（2）由（1）可得 是首项为，公差为的等差数列 ‎. ………………12分 ‎19.（1）为的中点，‎ 设为的中点，连接则 ‎ ‎ 又 ‎ 从而 ‎ 面 ‎ 面 面 面面………………6分 ‎（2）设为的中点,连接,则平行且等于 ‎ ‎∥ ∥‎ 不难得出面（ ）‎ 面面 在面射影为，的大小为与面改成角的大小 设，则 ‎ 即与改成角的余弦值为.（亦可以建系完成） ………………12分 ‎20.依题意总利润＝‎ ‎＝‎ ‎ 此时 即，每天生产量为400件时，平均利润最大，最大值为200元 ………………6分 ‎（2）由得 是的比例中项 两边除以得 ‎ 解得. ………………8分 ‎（3）厂家平均利润最大，元 每件产品的毛利为 元 ‎（元），元. ………………12分 ‎21.（1）， 是极值点 ‎ ，故， ‎ 是唯一的极值点 恒成立或恒成立 由恒成立得，又 ‎ 由恒成立得，而不存在最小值， 不可能恒成立. ………………4分 ‎（2）由（1）知，当时， ， ； ， .‎ 在递减，在上递增.‎ 当时，‎ ‎，； ， ； ， .‎ 在、上递增，在上递减。‎ 当时，在、 上递增，在递减。‎ 时，在上递增. ………………8分 ‎（3）当时，，满足题意；‎ 当时， ，满足题意；‎ 当时，由（2）知需或，‎ 当时，，而，故存在使得，这样时的值域为从而可知满足题意 当时，得或者解得；‎ 当时，可得满足题意.‎ 的取值范围或. ………………12分 ‎22.（1）曲线的直角坐标系的普通方程为 曲线的直角坐标系的普通方程为 ………………5分 ‎（2）将的参数方程代入的方程得 得：‎ 解得 ‎. ………………10分 ‎23.（1）‎ 时， ………………5分 ‎（2）‎ ‎；的最小值为. ………………10分