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- 2021-06-19 发布
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课后限时集训76
不等式的证明
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1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2.
(1)求证：a2＋b2≥2；
(2)求证：≥1＋.
[证明] (1)根据重要不等式得：a2＋b2≥(a＋b)2＝2.
(2)＋＝×＝＋＋≥＋＝，等号成立的条件为：＝，故≥1＋.
2．已知a，b为正实数．
(1)求证：＋≥a＋b.
(2)利用(1)的结论求函数y＝＋(00，b>0，所以≥0，
当且仅当a＝b时等号成立．
所以＋≥a＋b.
(2)因为00，
由(1)的结论，y＝＋≥(1－x)＋x＝1.
当且仅当1－x＝x即x＝时等号成立．
所以函数y＝＋(00，a＋b＋c＝1.求证：
(1)＋＋ ≤ ；
(2)＋＋ ≥ .
[证明] (1)因为由柯西不等式得(＋＋)2＝(1·＋1·＋1·)2≤
2
(12＋12＋12)·[()2＋()2＋()2]＝3，当且仅当＝＝，即a＝b＝c＝时，等号成立，所以＋＋ ≤ .
(2)因为由柯西不等式得[(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)]· ≥ 2＝9(当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立)，
又a＋b＋c＝1，所以6 ≥9，
所以＋＋ ≥ .
4．已知函数f(x)＝|2x－3|＋|2x－1|的最小值为M.
(1)若m，n∈[－M，M]，求证：2|m＋n|≤|4＋mn|；
(2)若a，b∈(0，＋∞)，a＋2b＝M，求＋的最小值．
[解] (1)证明：∵f(x)＝|2x－3|＋|2x－1|≥|2x－3－(2x－1)|＝2，∴M＝2.
要证明2|m＋n|≤|4＋mn|，只需证明4(m＋n)2≤(4＋mn)2，
∵4(m＋n)2－(4＋mn)2＝4(m2＋2mn＋n2)－(16＋8mn＋m2n2)＝(m2－4)(4－n2)，
∵m，n∈[－2,2]，∴m2，n2∈[0,4]，
∴(m2－4)(4－n2)≤0，∴4(m＋n)2－(4＋mn)2≤0，
∴4(m＋n)2≤(4＋mn)2，可得2|m＋n|≤|4＋mn|.
(2)由(1)得，a＋2b＝2，因为a，b∈(0，＋∞)，
所以＋＝(a＋2b)
＝≥＝4，
当且仅当a＝1，b＝时，等号成立．
所以＋的最小值为4.
2
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