2021高考数学一轮复习课后限时集训65两个计数原理排列与组合理北师大版 5页

课后限时集训65‎ 两个计数原理、排列与组合 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中China又可以简写为CN，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有(　　)‎ A．360种 B．480种　　‎ C．600种 D．720种 C　[从其他5个字母中任取4个，然后与“ea”进行全排列，共有CA＝600种，故选C.]‎ ‎2．(2019·济南调研)有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有(　　)‎ A．8种 B．9种 ‎ C．10种 D．11种 B　[设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理，共有3＋3＋3＝9(种)不同的监考方法．]‎ ‎3．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　　)‎ A．12种 B．18种 ‎ C．24种 D．36种 D　[由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C·C·A＝36(种)，或列式为C·C·C＝3××2＝36(种)．‎ 故选D.]‎ ‎4.现有小麦、大豆、玉米、高粱4种不同农作物供选择，在如图所示的四块土地上进行种植，要求有公共边界的两块地不能种同一种农作物，则不同的种植方法共有(　　)‎ A．36种 B．48种 C．24种 D．30种 B　[先给B地种植，有4种选择，再给C块地种植，有3种选择，再给A地种植，有2种选择，最后给D地种植，有2种选择．根据分步乘法计数原理可知共有4×3×2×2＝48(种)不同的种植方法．]‎ 5‎ ‎5．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有(　　)‎ A．240种 B．192种 ‎ C．96种 D．48种 B　[当丙和乙在甲的左侧时，共有ACAA＝96种排列方法，同理，当丙和乙在甲的右侧时也有96种排列方法，所以共有192种排列方法．]‎ ‎6．(2019·北京101中学模拟)某中学语文老师从《红楼梦》《平凡的世界》《红岩》《老人与海》4本不同的名著中选出3本，分给三个同学去读，其中《红楼梦》为必读，则不同的分配方法共有(　　)‎ A．6种 B．12种 ‎ C．18种 D．24种 C　[(1)先从《平凡的世界》《红岩》《老人与海》三本书中选择2本，共有C＝3(种)选法；(2)将选出的2本书与《红楼梦》共计3本书进行全排列，对应分给三名学生，有A＝6(种)排法，根据分步乘法计数原理，不同的分配方法有3×6＝18(种)．故选C.]‎ ‎7．福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有 ‎(　　)‎ A．90种 B．180种 ‎ C．270种 D．360种 B　[根据题意，分3步进行分析：①在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有C＝6种情况；②在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有C＝5种情况；③将剩下的4个志愿者平均分成2组，然后安排到剩下的2个展区，有×A＝6种情况，则一共有6×5×6＝180种不同的安排方案．]‎ 二、填空题 ‎8．由数字2,0,1,9组成没有重复数字的四位偶数的个数为________．‎ ‎10　[根据所组成的没有重复数字的四位偶数的个位是否为0进行分类计数：第一类，个位是0时，满足题意的四位偶数的个数为A＝6；第二类，个位是2时，满足题意的四位偶数的个数为CA＝4.由分类加法计数原理得，满足题意的四位偶数的个数为6＋4＝10.]‎ ‎9．已知－＝，则m＝________.‎ ‎2　[由组合数公式化简整理得m2－‎23m＋42＝0解得m＝2或m＝21(舍去)．]‎ ‎10．(2019·上海高考)首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有种________(结果用数值表示)．‎ 5‎ ‎24　[在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有‎4A＝24种．]‎ ‎1．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为(　　)‎ A．40 B．16 ‎ C．13 D．10‎ C　[分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．]‎ ‎2．(2019·濮阳5月模拟)安排A，B，C，D，E，F，共6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，则安排方法共有(　　)‎ A．30种 B．40种 ‎ C．42种 D．48种 C　[6名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有：CC＝90种安排方法，其中A照顾老人甲的情况有：CC＝30种，B照顾老人乙的情况有：CC＝30种，A照顾老人甲，同时B照顾老人乙的情况有：CC＝12种，∴符合题意的安排方法有：90－30－30＋12＝42种，故选C.]‎ ‎3．(2019·衡水模拟)把20个不加区别的小球放入1号，2号，3号的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．‎ ‎120　[先在编号为2,3的盒内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共有C＝120种方法．]‎ ‎4．(2019·湖南省师范大学附中考前演练五)习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为配合国家精准扶贫战略，某省示范性高中安排6名高级教师(不同姓)到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，因工作需要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为________．‎ ‎360　[法一：根据甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，可分四种情况：‎ ‎(1)甲校安排1名教师，分配方案种数有C(CCA＋CCA)＝150；‎ ‎(2)甲校安排2名教师，分配方案种数有C(CCA＋CC)＝140；‎ ‎(3)甲校安排3名教师，分配方案种数有CCCA＝60；‎ 5‎ ‎(4)甲校安排4名教师，分配方案种数有CCC＝10；‎ 由分类计数原理，可得共有150＋140＋60＋10＝360(种)分配方案．‎ 法二：由6名教师到三所学校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4,1,1；3,2,1；2,2,2，‎ ‎(1)对于第一种情况，由于李老师不去甲校，李老师自己去一个学校有C种，其余5名分成一人组和四人组有CA种，共CAC＝20(种)；李老师分配到四人组且该组不去甲校有CCA＝40(种)，则第一种情况共有20＋40＝60(种)．‎ ‎(2)对于第二种情况，李老师分配到一人组有CCAC＝40(种)，李老师分配到三人组有CCCA＝120(种)，李老师分配到两人组有CCCC＝80(种)，所以第二种情况共有40＋80＋120＝240(种)．‎ ‎(3)对于第三种情况，共有CCCC＝60(种)；‎ 综上所述，共有60＋240＋60＝360(种)分配方案．]‎ ‎1．把7个字符1,1,1，A，A，α，β排成一排，要求三个“‎1”‎两两不相邻，且两个“A”也不相邻，则这样的排法共有(　　)‎ A．12种 B．30种 ‎ C．96种 D．144种 C　[先排列A，A，α，β，若A，A不相邻，不同的排法有AC＝6(种)；若A，A相邻，有A＝6(种)，共有不同的排法6＋6＝12(种)．从所形成的5个空中选3个插入1,1,1，排法共有‎12C＝120(种)．当A，A相邻时，从所形成的4个空中选3个插入1,1,1，共有‎6C＝24(种)．故若三个“‎1”‎两两不相邻，且两个“A”也不相邻，则这样的排法共有120－24＝96(种)．故选C.]‎ ‎2．将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，每所大学至少保送一人．‎ ‎(1)有________种不同的保送方法；‎ ‎(2)若甲不能被保送到北大，有________种不同的保送方法．‎ ‎(1)150　(2)100　[(1)5名学生可分成2,2,1和3,1,1两种形式，当5名学生分成2,2,1时，共有CCA＝90种方法；当5名学生分成3,1,1时，共有CA＝60种方法．根据分类加法计数原理知共有90＋60＝150种保送方法．‎ ‎(2)先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2,2,1或3,1,1，所以有＋＝25(种)分组方法．因为甲不能被保送到北大，所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择，剩下的两组无限制，一共有4种方法，所以不同的保送方案共有25‎ 5‎ ‎×4＝100(种)．]‎ 5‎