2018-2019学年甘肃省甘谷第一中学高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版） 13页

‎2018-2019学年甘肃省甘谷第一中学高二下学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为(　　)‎ A．100 B．150‎ C．200 D．250‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：根据已知可得：，故选择A ‎【考点】分层抽样 ‎2．在等差数列中，若，则的和等于 ( )‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因为等差数列中，若，根据整体思想可知，则，构成了等差数列，则可知，故选C.‎ ‎【考点】等差数列的性质 点评：解决的关键是根据等长连续片段的和为等差数列，进而得到结论，属于基础题。‎ ‎3．满足的的个数是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】 是，这样的三角形仅有一个，故选C. ‎ ‎4．已知边长为2的正方形中，为的中点，连接,则（ ）‎ A．-2 B．-1 C．1 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，标出各个对应点坐标，计算 得到答案.‎ ‎【详解】‎ 以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系 则， ‎ ‎ ‎ 故答案选B ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的乘积，建立坐标系可以简化运算.‎ ‎5．已知函数的零点位于区间上，则 （ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】计算判断存在零点，根据单调性得到唯一零点，得到，代入计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 的存在零点 ‎ 在定义域 上单调递增, ‎ 的存在唯一的零点 则整数 ‎ ‎ ‎ 故答案选D ‎【点睛】‎ 本题考查了零点存在定理，函数单调性，属于常考题型.‎ ‎6．函数的图象关于（ ）‎ A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 ‎【答案】C ‎【解析】是奇函数，所以图象关于原点对称。‎ ‎7．在中，角所对的边分别为，若，则这个三角形一定是（ ）‎ A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】∵，由正弦定理可得 sinB=2sinCcosA，所以sin（A+C）=2sinCcosA，‎ 可得sin（A﹣C）=0．‎ 又﹣π＜A﹣C＜π，∴A﹣C=0．‎ 故△ABC的形状是等腰三角形，‎ 故选：C．‎ ‎8．在区间内的所有实数中，随机取一个实数a，则这个实数a<13的概率是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ 区间内的所有实数中，随机取一个实数a，则a的可能长度区域为10，那么实数a<13的区域长度为3，这样利用几何概型的概率公式可得所求概率为.‎ ‎9．将函数的图象向右平移2个单位得到函数的图象，则（ ）‎ A．存在实数，使得 B．当时，必有 C．的取值与实数有关 D．函数的图象必过定点 ‎【答案】D ‎【解析】易得： 选项A错误；单调性不确定，故选项B错误；与无关； ‎ ‎，故D正确，应选D.‎ ‎10．已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：①若m α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.其中真命题的个数是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据平面与平面平行的判定与直线与平面平行的判定进行判定,需要寻找特例，进行排除即可．‎ ‎【详解】‎ ‎①若m⊂α，n∥α，则m与n平行或异面，故不正确； ②若m∥α，m∥β，则α与β可能相交或平行，故不正确； ③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β，m也可能在平面内，故不正确； ④若m⊥α，m⊥β，则α∥β，垂直与同一直线的两平面平行，故正确， 故选B.‎ 本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查，属中档题.‎ ‎11．是非直角三角系中角的对边，且，则的面积为（ ）‎ A． B．1 C．2 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵sin2A+sin2B-sin2C=absinAsinBsin2C，‎ ‎∴由正弦定理可得：a2+b2-c2=2a2b2sinCcosC，‎ ‎∴2abcosC=absinC•4abcosC，‎ ‎∵cosC≠0，‎ ‎∴S△ABC=absinC=．‎ 故选：A．‎ ‎12．已知a，b为正实数且ab=1，若不等式对任意正实数x，y恒成立，则实数M的取值范围是（）‎ A．[4，＋∞) B．(－∞，1] C．(－∞，4] D．(－∞，4)‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用基本不等式计算的最小值，小于对应最小值即可，注意取等号的条件是否满足.‎ ‎【详解】‎ ‎，取等号时；‎ ‎，取等号时；所以最小值为，取最小值时，则.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 多次利用基本不等式求解最值时，一定要注意分析，取等号的条件是否一致，否则会出现错解的情况.‎ 二、填空题 ‎13．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有（数学1，数学2，语文），（数学1，语文，数学2），（数学2，数学1，语文），（数学2，语文，数学1），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共6个，其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共4个，故2本数学书相邻的概率 ． ‎ ‎14．若，则=__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，将代入可得 ‎．故本题应填．‎ ‎15．设等差数列的前项和为，若，则 ________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由可得，然后根据等差数列的通项公式可得 ‎，即为所求．‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的公差为，‎ 则，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 故答案为24．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列中基本量的运算，解题的关键在于将问题转化为和进行处理，属于基础题．‎ ‎16．如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，点P在线段BC上运动，且满足，当取到最小值时，的值为_________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将用，表示出来，注意，的数量关系，再根据的二次函数求最值.‎ ‎【详解】‎ 设，因为，，所以，；‎ ‎，‎ 所以，故当时，有最小值.‎ ‎【点睛】‎ 图形中向量的数量积问题，主要是将未知的向量用已知的向量表示，这样可以方便计算.‎ 三、解答题 ‎17．已知圆C：‎ ‎（1）求直线l：被圆C所截得的弦长为多少？‎ ‎（2）判断圆C1：与圆C的位置关系？‎ ‎【答案】（1） ；（2）圆与圆相交.‎ ‎【解析】（1）计算圆心到直线的距离，再利用半径、半弦长、圆心到直线距离根据勾股定理求解；（2）计算圆心距，与半径之和以及半径之差作比较，判断位置关系.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）圆心到直线的距离，半弦长，故弦长为：.‎ ‎（2）圆的半径，圆的半径，且，所以圆与圆相交.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）求弦长一般有两种方法：几何法（勾股定理）、代数法（韦达定理）；‎ ‎（2）圆与圆位置关系的判断：根据圆心距与半径之间的关系判断.‎ ‎18．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．‎ ‎（1）求证：EF ∥平面CB1D1；‎ ‎（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 ‎【解析】【详解】试题分析：（1）连结BD 在正方体中，对角线.‎ 又E、F为棱AD、AB的中点，‎ ‎..‎ 又B1D1平面，平面，‎ EF∥平面CB1D1.‎ ‎（2）在正方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1，‎ AA1⊥B1D1.‎ 又在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，‎ B1D1⊥平面CAA1C1. 又B1D1平面CB1D1，‎ 平面CAA1C1⊥平面CB1D1．‎ ‎【考点】线面垂直的判定定理；面面垂直的判定定理 点评：本题第一问的关键是证得B1D1∥EF；第二问的关键是熟练掌握空间中线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化 ‎19．在公差为的等差数列中,已知，且成等比数列.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若,求.‎ ‎【答案】(Ⅰ)或 .(Ⅱ)‎ ‎【解析】【详解】试题分析：‎ ‎(Ⅰ)由题意求得数列的公差后可得通项公式．(Ⅱ)结合条件可得，分和两种情况去掉中的绝对值后，利用数列的前n项和公式求解．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）∵成等比数列，‎ ‎∴，‎ 整理得，‎ 解得或，‎ 当时，;‎ 当时，．‎ 所以或 ．‎ ‎（Ⅱ）设数列 前项和为 ，‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ，‎ 当 时，，‎ ‎∴；‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎．‎ 综上 ‎ ‎20．从某学校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高，据测量被抽取的学生的身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160)；第二组[160，165)；…第八组[190，195]，图是按上述分组方法得到的条形图.‎ ‎(1)根据已知条件填写将表格填写完整；‎ 组别 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 样本 ‎2‎ ‎4‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎4‎ ‎(2)估计这所学校高三年级800名学生中身高在180cm以上（含180cm）的人数；‎ ‎(3)在样本中，若第二组有1人为男生，其余为女生，第七组有1人为女生，其余为男生，在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组，问：实验小组中恰为一男一女的概率是多少？‎ ‎【答案】（1）见解析（2）144(人).（3）‎ ‎【解析】（1）根据第七组频率计算人数，然后再求第八组人数；（2）根据样本计算出身高在180cm以上（含180cm）的频率，然后再计算人数；（3）先考虑总的可能数，然后计算一男一女的种数，即可计算对应概率.‎ ‎【详解】‎ 解：(1)由条形图得第七组频率为1-(0.04×2+0.08×2+0.2×2+0.3)=0.06，0.06×50=3.‎ ‎∴第七组的人数为3人.第八组的人数为2人，即 组别 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 样本数 ‎2‎ ‎4‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎(2)由条形图得后三组频率为(0.08+0.06+0.04)=0.18，估计这所学校高三年级身高在180cm以上(含180cm)的人数800×0.18=144(人).‎ ‎(3)基本事件有12个，恰为一男一女的事件有共7个，‎ 因此实验小组中，恰为一男一女的概率是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布直方图及其应用，难度较易.注意用样本估计总体时，用样本对应的频率估计总体对应的频率.‎ ‎21．已知，，.‎ ‎（1）若与垂直，求的值；‎ ‎（2）求的最大值；‎ ‎（3)若，求证：∥．‎ ‎【答案】（1）tan（α+β）=2（2）（3）见解析 ‎【解析】（1）根据垂直关系，写出坐标表示形式，化简可得结果；（2）将表示成坐标的形式并进行化简，利用三角函数的有界性求最大值；（3）对直接化简，将其转为向量平行的形式.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵=（sinβ﹣2cosβ，4cosβ+8sinβ），与垂直，‎ ‎∴4cosα（sinβ﹣2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，‎ 即sinαcosβ+cosαsinβ=2（cosαcosβ﹣sinαsinβ），‎ ‎∴sin（α+β）=2cos（α+β），‎ ‎∴tan（α+β）=2．‎ ‎（2）∵=（sinβ+cosβ，4cosβ﹣4sinβ），‎ ‎∴=‎ ‎，‎ ‎∴当sin2β=﹣1时，取最大值，且最大值为．‎ ‎（3）∵tanαtanβ=16，‎ ‎∴‎ 即sinαsinβ=16cosαcosβ，‎ ‎∴（4cosα）•（4cosβ）=sinαsinβ，‎ 即与共线，‎ ‎∴∥．‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）已知，若，则有；‎ ‎（2）已知，若，则有.‎ ‎22．已知函数的定义域为M，‎ ‎（1）求M；‎ ‎（2）当时，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据被开方数大于等于零、分式分母不为零、对数的真数大于零求解定义域；（2）将看成是关于的二次函数，根据的范围讨论的范围来确定最小值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵由题意可得 可解得 ‎（2）∴=‎ 又，，‎ ‎∴‎ ‎①若，即时，，‎ ‎②若，即时，‎ 所以当即时，‎ ‎∴‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）常见的定义域问题中会涉及：分式分母不为零、对数真数大于零、根号下数大于等于零、中等；‎ ‎（2）对于形如形式的函数，可将其转化为二次函数的形式，然后完成问题的求解.‎