数学（理）卷·2017届陕西省西藏民族学院附属中学高三下学期第四次模拟考试（2017 8页

陕西省西藏民族学院附属中学2017届高三下学期第四次模拟考试 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设全集，集合，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知复数，则等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3.下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎4.已知双曲线的离心率为，则的值为( )‎ A． B． C．3 D．‎ ‎5.若，则方程有实数根的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎6.如图所示，某几何体的三视图中，正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积为( )‎ A． B． C．1 D．‎ ‎7.函数的部分图象可能是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的( )‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎9.设，，且，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎10.已知抛物线的焦点是，过点的直线与抛物线相交于两点，且点在第一象限，若，则直线的斜率是( )‎ A． B．1 C． D．3‎ ‎11.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知点为不等式组所表示的平面区域内的一点，点是上的一个动点，则当最大时，( )‎ A．1 B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.的展开式中的系数是 ．‎ ‎14.甲乙丙三人代表班级参加校运动会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到以下情况：(1)甲不是最高的；(2)最高的是没报铅球；(3)最矮的参加了跳远；(4)乙不是最矮的，也没参加跑步.‎ 可以判断丙参加的比赛项目是 ．‎ ‎15.在平行四边形中，，为中点，若，则的长为 ．‎ ‎16.已知中，角所对的边分别为，满足且，则面积的最大值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知各项均为正数的数列的前项和为，，且.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)若，求数列的前项和.‎ ‎18.小明同学在寒假社会实践活动中，对白天平均气温与某家奶茶店的品牌饮料销量之间的关系进行了分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温（°C）与该奶茶店的品牌饮料销量（杯），得到如下表数据：‎ ‎（1）若先从这五组数据中抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率； （2）请根据所给五组数据，求出关于的线性回归方程； （3）根据（2）中所得的线性回归方程，若天气预报1月16日的白天平均气温为7（°C），请预测奶茶店这种饮料的销量． （参考公式：，）‎ ‎19. 如图，三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，底面，点分别是棱上的点，且.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20. 已知椭圆的离心率是，上顶点是抛物线的焦点.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)若是椭圆上的两个动点，且(是坐标原点)，由点作于，试求点的轨迹方程.‎ ‎21.设函数，曲线在处的切线为.‎ ‎(1)求函数的单调区间；‎ ‎(2)当时，证明.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系.‎ ‎(1)求曲线的普通方程； (2)为曲线上两点，若，求的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎(1)当时，求不等式的解集； (2)设函数，当时，，求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:DADAA 6-10:BACBD 11、12：DC 二、填空题 ‎13. 24 14. 跑步比赛 15. 6 16.‎ 三、解答题 ‎17.【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由，得 两式相减得，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，∴，‎ 由，∴或；‎ ‎∵，∴，‎ 故.‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎∴……①‎ ‎……②‎ ‎①－②得：，‎ ‎∴.‎ ‎18. （参考公式：，）‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）19杯.‎ ‎【解析】（1）设“选取的2组数据恰好是相邻2天的数据”为事件，所有基本事件（其中为1月份的日期数）有种，事件包括的基本事件有功4种，所以.‎ ‎（2）由数据，求得，，‎ 由公式，求得，，所以关于的线性回归方程为.‎ ‎19.【答案】（1）证明过程见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）证明：取中点，连接，则，‎ ‎∵平面，∴侧面底面，‎ ‎∴平面.‎ 取中点，连接，则，且，‎ 又∵，∴且，‎ ‎∴且，∴四边形是平行四边形，‎ ‎∴，∴平面，又平面，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎ (2)以为原点，分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，依题意得，所以，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由，得，令，得，‎ 设直线与平面所成的角为，则，‎ 故直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎20.【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由题设知……①‎ 又……②‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）（ⅰ）若直线轴，设直线，并联立椭圆方程解出，由得定值；‎ ‎（ⅱ）若直线不平行轴，设直线，联立椭圆的方程消得，设，‎ 由韦达定理得，由得，即，‎ 即…⑤‎ 把③、④代入⑤并化简得，所以.‎ 又原点到直线的距离定值，‎ 所以动点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，其方程为.‎ ‎21.【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明过程见解析.‎ ‎【解析】（1）函数的定义域为，，‎ 由已知得，得：，‎ 所以，由得或，‎ 由得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ ‎（2）由 令，，因为，‎ 所以，所以在上为增函数，‎ 所以（时取“”），‎ 而，由，得 所以时，，时，，‎ 所以在为增函数，在为减函数，‎ 而，所以（时取“”），‎ 所以，即.‎ ‎22.【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由得，‎ 将代入得到曲线的普通方程.‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 由，设，则点的坐标可设为，‎ 所以.‎ ‎23. 【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）当时，，‎ 解不等式得，‎ 因此的解集为.‎ ‎（2）当时，，‎ 当在与之间时等号成立，所以当时，等价于…①‎ 当时，①等价于，无解.‎ 当时，①等价于，解得.‎ 所以的取值范围是