数学卷·2018届甘肃省庆阳市孟坝中学高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版） 16页

‎2016-2017学年甘肃省庆阳市孟坝中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题 ‎1．如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（　　）‎ A．为常数数列 B．为非零的常数数列 C．存在且唯一 D．不存在 ‎2．由a1=1，d=3确定的等差数列{an}中，当an=298时，序号n等于（　　）‎ A．99 B．100 C．96 D．101‎ ‎3．△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎4．设a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是（　　）‎ A．a﹣b＜0 B．0＜＜1 C． D．ab＞a+b ‎5．在等差数列{an}中，已知a4+a6=16，则a2+a8=（　　）‎ A．12 B．16 C．20 D．24‎ ‎6．等比数列{an}中，S2=7，S6=91，则S4=（　　）‎ A．28 B．32 C．35 D．49‎ ‎7．在△ABC中，sinA=sinC，则△ABC是（　　）‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 ‎8．不等式4x﹣y≥0表示的平面区域是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知x＞0，函数y=+x的最小值是（　　）‎ A．5 B．4 C．8 D．6‎ ‎10．下列不等式的解集是空集的是（　　）‎ A．x2﹣x+1＞0 B．﹣2x2+x+1＞0 C．2x﹣x2＞5 D．x2+x＞2‎ ‎11．设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（　　）‎ A．5 B．3 C．7 D．﹣8‎ ‎12．在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二.填空题 ‎13．在△ABC中，A=30°，a=1则=　　．‎ ‎14．在等差数列{an}中，a5=10，则S9=　　．‎ ‎15．等比数列{an}中，a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，则a6=　　．‎ ‎16．设x，y是满足x+y=4的整数，则log2x+log2y的最大值是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（70分）‎ ‎17．（10分）已知a=3，c=2，B=150°，求边b的长及S△．‎ ‎18．（12分）在等比数列{an}中，a1•a2•a3=27，a2+a4=30试求：‎ ‎（1）a1和公比q；‎ ‎（2）前6项的和S6．‎ ‎19．（12分）求数列的前n项和：．‎ ‎20．（12分）一缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12nmile的海面上有一走私船正以10nmile/h的速度沿东偏南15°方向逃窜．缉私艇的速度为14nmile/h，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°+α的方向去追，求追击所需的时间和α角的正弦值．‎ ‎21．（12分）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）求不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．‎ ‎22．（12分）设Sn是数列{an}的前n项和，Sn≠0，a1=1，an+1+2SnSn+1=0‎ ‎（Ⅰ）求证数列{}是等差数列，并求{an}的通项；‎ ‎（Ⅱ）记bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年甘肃省庆阳市孟坝中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题 ‎1．如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（　　）‎ A．为常数数列 B．为非零的常数数列 C．存在且唯一 D．不存在 ‎【考点】等比数列；等差数列．‎ ‎【分析】根据等差数列和等比数列的定义，得到an﹣an﹣1=d，且an=qan﹣1 （n≥2），两式结合整理后得到数列为非零常数列，即可得到正确答案．‎ ‎【解答】解：由数列{an}是等差数列，设其公差为d，则an﹣an﹣1=d （n≥2）①‎ 又数列{an}是等比数列，设其公比为q，则an=qan﹣1 （n≥2）②‎ 把②代入①得：qan﹣1﹣an﹣1=（q﹣1）an﹣1=d （n≥2），‎ 要使（q﹣1）an﹣1=d （n≥2）对数列中“任意项”都成立，则需q﹣1=d=0，‎ 也就是q=1，d=0．‎ 所以数列{an}为非零常数列．‎ 故选B．‎ ‎【点评】点评：本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了基本概念，此题是基础的概念题．‎ ‎　‎ ‎2．由a1=1，d=3确定的等差数列{an}中，当an=298时，序号n等于（　　）‎ A．99 B．100 C．96 D．101‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】先根据a1=1，d=3确定的等差数列的通项，再求项数．‎ ‎【解答】解：由题意，an=3n﹣2，故有3n﹣2=298，∴n=100，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查等差数列的通项公式及其运用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【考点】三角形的面积公式．‎ ‎【分析】利用三角形面积公式S△ABC=即可得出．‎ ‎【解答】解：S△ABC===．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了三角形面积公式S△ABC=，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．设a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是（　　）‎ A．a﹣b＜0 B．0＜＜1 C． D．ab＞a+b ‎【考点】基本不等式；不等式比较大小．‎ ‎【分析】由不等式的性质易判A、B、D错误，由基本不等式可得C正确．‎ ‎【解答】解：∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，故A错误；‎ 由a＞b＞0可得＞1，故B错误；‎ 当a=，b=时，有ab＜a+b，故D错误；‎ 由基本不等式可得≤，由a＞b＞0可知取不到等号，故C正确．‎ 故选：C ‎【点评】本题考察船不等式比较大小，涉及基本不等式，属基础题．‎ ‎　‎ ‎5．在等差数列{an}中，已知a4+a6=16，则a2+a8=（　　）‎ A．12 B．16 C．20 D．24‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】利用等差数列通项公式求解．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}中，a4+a6=16，‎ ‎∴a2+a8=a4+a6=16．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查等差数列中两项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎6．等比数列{an}中，S2=7，S6=91，则S4=（　　）‎ A．28 B．32 C．35 D．49‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】利用等比数列中每相邻两项的和也成等比数列可得 7，S4﹣7，91﹣S4 成等比数列，故有（S4﹣7）2=7（91﹣S4），由此求得S4的值．‎ ‎【解答】解：∵正项等比数列{an}中，若S2=7，S6=91，由于每相邻两项的和也成等比数列，‎ ‎∴S2 、S4﹣S2 、S6 ﹣S4 成等比数列，即 7，S4﹣7，91﹣S4 成等比数列．‎ ‎∴=7（91﹣S4），解得 S4=28，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，利用了等比数列中每相邻两项的和也成等比数列，属基础题．‎ ‎　‎ ‎7．在△ABC中，sinA=sinC，则△ABC是（　　）‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 ‎【考点】三角形的形状判断．‎ ‎【分析】在△ABC中，sinA=sinC⇒A=C，从而可得答案．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，sinA=sinC，‎ ‎∴A=C（或a=c），‎ ‎∴△ABC是等腰三角形，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．不等式4x﹣y≥0表示的平面区域是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．‎ ‎【分析】取测试点（2，0），和根据直线y=4x的斜率k=4＞1，即可得出．‎ ‎【解答】解：取测试点（2，0），满足4x﹣y≥0，可排除A，D．‎ 再根据直线y=4x的斜率k=4＞1，故可排除C．‎ 综上可知：正确答案为B．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了利用测试点和直线的斜率判断二元一次不等式组所表示的区域，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．已知x＞0，函数y=+x的最小值是（　　）‎ A．5 B．4 C．8 D．6‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】由于 x＞0，利用基本不等式求得函数的最小值．‎ ‎【解答】解：∵x＞0，函数≥2=4，当且仅当x=，x=2时，等号成立，‎ 故函数的最小值是4，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件．‎ ‎　‎ ‎10．下列不等式的解集是空集的是（　　）‎ A．x2﹣x+1＞0 B．﹣2x2+x+1＞0 C．2x﹣x2＞5 D．x2+x＞2‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法；集合中元素个数的最值．‎ ‎【分析】结合一元二次不等式不等式的解法，分别求出4个选项不等式的解集，对于A，将x2﹣x+1=0变形为（x﹣）2+=0，分析易得其不符合题意，对于B，将﹣2x2+x+1＞0变形为2x2﹣x﹣1＜0，求出其△，易得其不符合题意，对于C，将2x﹣x2＞5变形为x2﹣2x+5＜0，其△=﹣16＜0，求出其△，易得其符合题意，对于D，将x2+x＞2变形为x2+x﹣2＞0，求出其△，易得其不符合题意，综合可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，依次分析选项，‎ 对于A，x2﹣x+1=（x﹣）2+，则x2﹣x+1＞0恒成立，其解集为R，A不符合题意，‎ 对于B，﹣2x2+x+1＞0⇒2x2﹣x﹣1＜0，有△＞0，其解集不是空集，B不符合题意，‎ 对于C，2x﹣x2＞5⇒x2﹣2x+5＜0，其△=﹣16＜0，其解集为∅，符合题意，‎ 对于D，x2+x＞2⇒x2+x﹣2＞0，有△＞0，其解集不是空集，D不符合题意，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查一元二次不等式的解法，要牢记一元二次不等式、一元二次函数与一元二次方程的关系．‎ ‎　‎ ‎11．设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（　　）‎ A．5 B．3 C．7 D．﹣8‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=﹣3x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=﹣3x+z在y轴上的截距最大时，z有最大值，求出此时直线y=﹣3x+z经过的可行域内的点A的坐标，代入z=3x+y中即可．‎ ‎【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=﹣3x，将l0‎ 平移至过点A（3，﹣2）处时，函数z=3x+y有最大值7．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想．解答的步骤是有两种方法：一种是：画出可行域画法，标明函数几何意义，得出最优解．另一种方法是：由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证，求出最优解．‎ ‎　‎ ‎12．在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c，可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0），由余弦定理可求得答案．‎ ‎【解答】解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4‎ 可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）‎ 由余弦定理可得， =‎ 故选：D ‎【点评】本题主要考查了正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题．‎ ‎　‎ 二.填空题 ‎13．在△ABC中，A=30°，a=1则=　2　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由正弦定理化简已知可得=即可计算得解．‎ ‎【解答】解：由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，‎ ‎∴==2R==2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握定理是解题的关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．在等差数列{an}中，a5=10，则S9=　90　．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式及前n项和公式求解．‎ ‎【解答】解：∵在等差数列{an}中，a5=10，‎ ‎∴S9=．‎ 故答案为：90．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎15．等比数列{an}中，a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，则a6=　±　．‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可得 a3 •a9 =3，再由等比数列的定义和性质可得=a3 •a9 =3，由此求得a6 的值．‎ ‎【解答】解：∵等比数列{an}中，a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，∴a3 +a9 =，a3 •a9 =3．‎ 再由等比数列的性质可得=a3 •a9 =3，故a6=±，‎ 故答案为±．‎ ‎【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，一元二次方程的根与系数的关系，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．设x，y是满足x+y=4的整数，则log2x+log2y的最大值是　2　．‎ ‎【考点】对数的运算性质．‎ ‎【分析】利用对数的运算性质，结合基本不等式求得答案．‎ ‎【解答】解：∵正实数x、y满足x+y=4，‎ ‎∴log2x+log2y=log2（xy）≤log2=log222=2．‎ 当且仅当x=y=2时取等号．‎ 故答案为：2‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式，考查对数的运算法则，属于基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题（70分）‎ ‎17．（10分）（2013春•泗县校级期末）已知a=3，c=2，B=150°，求边b的长及S△．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】由B的度数求出sinB及cosB的值，利用余弦定理得到b2=a2+c2﹣2accosB，将a，c及cosB的值代入，开方即可求出b的值；利用三角形的面积公式表示出三角形的面积，将a，c及sinB的值代入，即可求出S△．‎ ‎【解答】解：∵a=3，c=2，cosB=cos150°=﹣，‎ ‎∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=27+4+18=49，则b=7，‎ 又a=3，c=2，sinB=sin150°=，‎ ‎∴S△=acsinB=×3×2×=．‎ ‎【点评】此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2014春•徐州期末）在等比数列{an}中，a1•a2•a3=27，a2+a4=30试求：‎ ‎（1）a1和公比q；‎ ‎（2）前6项的和S6．‎ ‎【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】（1）由已知可得：解方程可求 ‎（2）由（1）可知q≠1，利用等比数列的求和公式可分别求解 ‎【解答】解：（1）在等比数列{an}中，由已知可得：…‎ 解得：或…‎ ‎（2）∵‎ ‎∴当时，．…（10分）‎ 当时，…（14分）‎ ‎【点评】本题主要考查了利用等比数列的通项公式求解等比数列的基本量，及等比数列的求和公式的应用，解题的关键是熟练应用公式．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•镇原县校级期中）求数列的前n项和：．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】先将设分组成两部分，再根据等差数列和等比数列的前n项和公式进行求解即可得到答案．‎ ‎【解答】解：设 将其每一项拆开再重新组合得 当a=1时， =‎ 当a≠1时， =‎ ‎【点评】本题主要考查数列求和的裂项法、等差数列和等比数列的前n项和公式．考查学生的运算能力、分类讨论意识．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2014春•徐州期末）一缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12nmile的海面上有一走私船正以10nmile/h的速度沿东偏南15°方向逃窜．缉私艇的速度为14nmile/h，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°+α的方向去追，求追击所需的时间和α角的正弦值．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用；余弦定理．‎ ‎【分析】由图A，C分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过 x小时后在B处追上，则有 AB=14x，BC=10x，∠ACB=120°从而在△ABC中利用余弦定理可求追击所需的时间，进一步可求α角的正弦值．‎ ‎【解答】解：设A，C分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过 x小时后在B处追上，…（2分）‎ 则有 AB=14x，BC=10x，∠ACB=120°．‎ ‎∴（14x）2=122+（10x）2﹣240xcos120°…（8分）‎ ‎∴x=2，AB=28，BC=20，…（10分）‎ ‎∴．‎ 所以所需时间2小时，．…（14分）‎ ‎【点评】本题考查正余弦定理在实际问题中的运用，关键是构建三角形，寻找边角关系，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2013•宁阳县校级模拟）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）求不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．‎ ‎【考点】一元二次不等式与一元二次方程；一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）由二次不等式的解集形式，判断出，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出a的值．‎ ‎（2）由（1）我们易得a的值，代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0易解出其解集．‎ ‎【解答】解：（1）∵ax2+5x﹣2＞0的解集是，‎ ‎∴a＜0，，2是ax2+5x﹣2=0的两根 解得 a=﹣2；‎ ‎（2）则不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0可化为 ‎﹣2x2﹣5x+3＞0‎ 解得 ‎ 故不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及三个二次之间的关系，其中根据三个二次之间的关系求出a的值，是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2015秋•兰考县期中）设Sn是数列{an}的前n项和，Sn≠0，a1=1，an+1+2SnSn+1=0‎ ‎（Ⅰ）求证数列{}是等差数列，并求{an}的通项；‎ ‎（Ⅱ）记bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列递推式；数列的函数特性；等差关系的确定；数列的求和．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由an+1+2SnSn+1=0，得Sn+1﹣Sn+2SnSn+1=0，两边同除以SnSn+1并整理得，，从而可判断数列{}是等差数列，可求得Sn，根据Sn与an的关系可求得an；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得bn，拆项后利用裂项相消法即可求得结果；‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵an+1+2SnSn+1=0，‎ ‎∴Sn+1﹣Sn+2SnSn+1=0，‎ 两边同除以SnSn+1，并整理得，，‎ ‎∴数列{}是等差数列，其公差为2，首项为=1，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴an=Sn﹣Sn﹣1==﹣，‎ 又a1=1，‎ ‎∴；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知， =，‎ ‎∴﹣==．‎ ‎【点评】本题考查由数列递推式求数列的通项、数列求和，裂项相消法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．‎ ‎　‎