数学卷·2018届河南省新乡市原阳一中高二上学期第一次月考数学试卷 （解析版） 17页

‎2016-2017学年河南省新乡市原阳一中高二（上）第一次月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．在△ABC中，a=10，B=60°，C=45°，则c等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．在△ABC中，b=，c=3，B=30°，则a等于（　　） A． B．12 C．或2 D．2‎ ‎3．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（　　）‎ A．an=n2﹣n+1 B．an= C．an= D．an=n2+1‎ ‎4．已知数列{an}的首项为a1=1，且满足an+1=an+，则此数列的第4项是（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎5．在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为，则等于（　　） A．3 B． C． D．‎ ‎6．数列{an}中，a1=1，对于所有的n≥2，n∈N都有a1•a2•a3•…•an=n2，则a3+a5等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边，若a=2bcosC，则此三角形一定是（　　）‎ A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 ‎8．等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（　　）‎ A．15 B．30 C．31 D．64‎ ‎9．设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．6‎ ‎10．在数列{an}中，a1=15，3an+1=3an﹣2，（n∈N+）则该数列中相邻的两项乘积是负数的项是（　　）‎ A．a21和a22 B．a22和a23 C．a23和a24 D．a24和a25‎ ‎11．在△ABC中，tanA•sin2B=tanB•sin2A，那么△ABC一定是（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 ‎12．{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＞0，d＜0，S4=S8，则Sn＞0成立的最大自然数n为（　　）‎ A．11 B．12 C．13 D．14‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13.在△ABC中，有等式：①asinA=bsinB；②asinB=bsinA；③acosB=bcosA；④．其中恒成立的等式序号为　　．‎ ‎14．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a7+a11=6，则S13=　　．‎ ‎15．在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=3：5：7，则此三角形的最大内角的度数等于　　．‎ ‎16．在等差数列{an}中，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）在△ABC中，已知2a=b+c，sin2A=sinBsinC，试判断△ABC的形状．‎ ‎18．（12分）已知数列{an}的前n项和公式为Sn=2n2﹣30n．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（2）求Sn的最小值及对应的n值．‎ ‎19．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA ‎（Ⅰ）求B的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，c=5，求b．‎ ‎20．（12分）数列{an}中，a1=8，a4=2，且满足an+2﹣2an+1+an=0，n∈N*．‎ ‎（1）求数列{an}的通项；‎ ‎（2）设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|，求Sn．‎ ‎21．（12分）一艘客轮在航海中遇险，发出求救信号．在遇险地点A南偏西45°方向10海里的B处有一艘海难搜救艇收到求救信号后立即侦查，发现遇险客轮的航行方向为南偏东75°，正以每小时9海里的速度向一小岛靠近．已知海难搜救艇的最大速度为每小时21海里．‎ ‎（1）为了在最短的时间内追上客轮，求海难搜救艇追上客轮所需的时间；‎ ‎（2）若最短时间内两船在C处相遇，如图，在△ABC中，求角B的正弦值．‎ ‎22．（12分）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别是a，b，c，边c=，且tanA+tanB=tanA•tanB﹣，又△ABC的面积为S△ABC=，求a+b的值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河南省新乡市原阳一中高二（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．在△ABC中，a=10，B=60°，C=45°，则c等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】先求A，再利用正弦定理可求．‎ ‎【解答】解：由题意，A=75°根据正弦定理得：，即，‎ 故选B ‎【点评】此题考查了正弦定理的应用，考查了特殊角的三角函数值，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎2．在△ABC中，b=，c=3，B=30°，则a等于（　　） A． B．12 C．或2 D．2‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】由B的度数求出cosB的值，再由b与c的值，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．‎ ‎【解答】解：∵b=，c=3，B=30°，‎ ‎∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：（）2=a2+32﹣3a，‎ 整理得：a2﹣3a+6=0，即（a﹣）（a﹣2）=0，‎ 解得：a=或a=2，‎ 则a=或2．‎ 故选C ‎【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．本题a有两解，注意不要漏解．‎ ‎　‎ ‎3．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（　　）‎ A．an=n2﹣n+1 B．an= C．an= D．an=n2+1‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】仔细观察数列1，3，6，10，…，便可发现其中的规律：第n项应该为1+2+3+4+…+n=，便可求出数列的通项公式．‎ ‎【解答】解：仔细观察数列1，3，6，10，…可以发现：‎ ‎1=1 ‎ ‎3=1+2 ‎ ‎6=1+2+3 ‎ ‎10=1+2+3+4 ‎ ‎…‎ ‎∴第n项为1+2+3+4+…+n=，‎ ‎∴数列1，3，6，10，…的通项公式为an=，‎ 故答案为an=．‎ ‎【点评】本题考查了数列的基本知识，考查了学生的计算能力和观察能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．已知数列{an}的首项为a1=1，且满足an+1=an+，则此数列的第4项是（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】利用递推关系即可得出．‎ ‎【解答】解：∵a1=1，且满足an+1=an+，‎ 则=1，同理可得：a3=，a4=．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了数列递推关系与通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为，则等于（　　） A．3 B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由A的度数求出sinA和cosA的值，根据三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把b，sinA及已知的面积代入求出c的值，再由cosA，b，c的值，利用余弦定理求出a的值，由a及sinA的值，根据正弦定理求出三角形ABC外接圆的直径2R，根据等比合比性质即可求出所求式子的值．‎ ‎【解答】解：∵A=60°，b=1，其面积为，‎ ‎∴S=bcsinA=c=，即c=4，‎ ‎∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，‎ ‎∴a=，‎ 由正弦定理得： ===2R==，‎ 则=2R=．‎ 故选B ‎【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，等比合比的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．数列{an}中，a1=1，对于所有的n≥2，n∈N都有a1•a2•a3•…•an=n2，则a3+a5等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】由n≥2，n∈N时a1•a2•a3•…•an=n2得当n≥3时，a1•a2•a3…an﹣1=（n﹣1）2．然后两式相除an=（）2，即可得a3=，a5=从而求得a3+a5=．‎ ‎【解答】解：当n≥2时，a1•a2•a3…an=n2．‎ 当n≥3时，a1•a2•a3…an﹣1=（n﹣1）2．‎ 两式相除an=（）2，‎ ‎∴a3=，a5=．∴a3+a5=．‎ 故选A ‎【点评】本题考查了数列的概念及简单表示法，培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，提高学生分析问题和解决问题的能力．是基础题．‎ ‎　‎ ‎7．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边，若a=2bcosC，则此三角形一定是（　　）‎ A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 ‎【考点】三角形的形状判断；同角三角函数间的基本关系；正弦定理．‎ ‎【分析】根据a=2bcosC得到bcosC=，然后根据三角函数定义，得到bcosC=CD=，得到D为BC的中点，根据全等得到三角形ABC为等腰三角形．‎ ‎【解答】‎ 解：过A作AD⊥BC，交BC于点D，‎ 在直角三角形ACD中，cosC=得CD=bcosC，‎ 而a=2bcosC得bcosC=，所以CD=‎ AD=AD，∠ADB=∠ADC=90°，‎ BD=CD得到三角形ABD≌三角形ACD，‎ 所以b=c，三角形ABC为等腰三角形．‎ 故选C ‎【点评】考查学生利用三角函数解直角三角形的能力．掌握用全等来证明线段相等的方法．‎ ‎　‎ ‎8．等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（　　）‎ A．15 B．30 C．31 D．64‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，再由a4=1=a1+3d，解方程求得a1和公差d的值，从而求得a12的值．‎ ‎【解答】解：设公差等于d，由a7+a9=16可得 2a1+14d=16，即 a1+7d=8．‎ 再由a4=1=a1+3d，可得 a1=﹣，d=．‎ 故 a12 =a1+11d=﹣+=15，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查等差数列的等差数列的通项公式的应用，求出首项和公差d的值，是解题的关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．6‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】由等差数列的性质可得a1+a3=2a2，又已知a1+a2+a3=12，可得a2=4，故条件转化为a1+a3=8，a1×a3=12，解方程即可求出a1．‎ ‎【解答】解：设{an}的前3项为a1，a2，a3，则由等差数列的性质可得a1+a3=2a2，‎ ‎∴a1+a2+a3=3a2=12，解得a2=4，‎ 由题意可得，解得或，‎ ‎∵{an}是递增等差数列，‎ ‎∴a1=2，a3=6，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式与等差数列的性质，应用了解方程思想，是高考重点考查的内容．‎ ‎　‎ ‎10．在数列{an}中，a1=15，3an+1=3an﹣2，（n∈N+）则该数列中相邻的两项乘积是负数的项是（　　）‎ A．a21和a22 B．a22和a23 C．a23和a24 D．a24和a25‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】把等式3an+1=3an﹣2变形后得到an+1﹣an等于常数，即此数列为首项为15，公差为﹣的等差数列，写出等差数列的通项公式，令通项公式小于0列出关于n的不等式，求出不等式的解集中的最小正整数解，即可得到从这项开始，数列的各项为负，这些之前各项为正，得到该数列中相邻的两项乘积是负数的项．‎ ‎【解答】解：由3an+1=3an﹣2，得到公差d=an+1﹣an=﹣，又a1=15，‎ 则数列{an}是以15为首项，﹣为公差的等差数列，所以an=15﹣（n﹣1）=﹣n+，‎ 令an=﹣n+＜0，解得n＞，即数列{an}从24项开始变为负数，‎ 所以该数列中相邻的两项乘积是负数的项是a23和a24．‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，掌握确定一个数列为等差数列的方法，是一道综合题．‎ ‎　‎ ‎11．在△ABC中，tanA•sin2B=tanB•sin2A，那么△ABC一定是（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 ‎【考点】三角形的形状判断．‎ ‎【分析】把原式利用同角三角函数间的基本关系变形后，得到sin2A=sin2B，由A和B为三角形的内角，得到2A与2B相等或互补，从而得到A与B相等或互余，即三角形为等腰三角形或直角三角形．‎ ‎【解答】解：原式tanA•sin2B=tanB•sin2A，‎ 变形为： =，‎ 化简得：sinBcosB=sinAcosA，即sin2B=sin2A，‎ 即sin2A=sin2B，‎ ‎∵A和B都为三角形的内角，‎ ‎∴2A=2B或2A+2B=π，‎ 即A=B或A+B=，‎ 则△ABC为等腰三角形或直角三角形．‎ 故选D．‎ ‎【点评】此题考查了三角形形状的判断，熟练掌握三角函数的恒等变换把原式化为sin2A=sin2B是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＞0，d＜0，S4=S8，则Sn＞0成立的最大自然数n为（　　）‎ A．11 B．12 C．13 D．14‎ ‎【考点】等差数列的性质；数列的函数特性．‎ ‎【分析】根据S4=S8得a5+a6+a7+a8=0，再由性质得a6+a7=0，代入前n项和公式得S12=0，再根据等差数列中a1＞0，d＜0判断即可．‎ ‎【解答】解：由S4=S8得，a5+a6+a7+a8=0，即a6+a7=0，‎ 又∵a1＞0，d＜0，∴S12==6（a6+a7）=0，‎ 则当n＜12时，Sn＞0；当n≥12时，Sn＜0，‎ 即Sn＞0成立的最大自然数n为11．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的性质和性质的灵活应用，以及由“a1＞0，d＜0”判断前n项和的符号问题，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13.在△ABC中，有等式：①asinA=bsinB；②asinB=bsinA；③acosB=bcosA；④．其中恒成立的等式序号为　②④　．‎ ‎【考点】三角函数恒等式的证明．‎ ‎【分析】利用正弦定理判断①三角形是等腰三角形，即可判断正误；‎ 对于②满足正弦定理判断正确；‎ 对于③通过正弦定理转化，得到三角形不满足一般三角形，判断正误；‎ 对于④通过正弦定理与合分比定理即可判断它的正误．‎ ‎【解答】解：对于①，由正弦定理可知asinA=bsinB，推出A=B，三角形是等腰三角形，所以不正确；‎ 对于②asinB=bsinA，即sinAsinB=sinBsinA，恒成立，所以②正确；‎ 对于③acosB=bcosA可得sin（B﹣A）=0，不满足一般三角形，所以不成立，不正确；‎ 对于④由正弦定理以及合分比定理可知正确；‎ 故答案为：②④．‎ ‎【点评】本题考查正弦定理的应用，合分比定理的应用，考查三角形的判断，基础题．‎ ‎　‎ ‎14．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a7+a11=6，则S13=　26　．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】等差数列{an}中，由a3+a7+a11=6，解得a7=2，再由等差数列的通项公式和前n项和公式能求出S13．‎ ‎【解答】解：等差数列{an}中，‎ ‎∵a3+a7+a11=6，‎ ‎∴3a7=6，解得a7=2，‎ ‎∴S13=（a1+a13）=13a7=13×2=26．‎ 故答案为：26．‎ ‎【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎15．在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=3：5：7，则此三角形的最大内角的度数等于　　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】直接利用正弦定理，转化角为边的关系，利用大边对大角，余弦定理可求cosC的值，结合C的范围即可得解．‎ ‎【解答】解：∵sinA：sinB：sinC=3：5：7，‎ ‎∴由正弦定理可得：a：b：c=3：5：7，‎ ‎∴C为最大角，a=，b=，‎ ‎∴由余弦定理可得：cosC===﹣，‎ ‎∵C∈（0，π），‎ ‎∴C=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的解法，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．在等差数列{an}中，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是　5或6　．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】根据d＜0，|a3|=|a9|，判断出a3=﹣a9，进而根据等差数列的通项公式求得a1+5d=0，判断出a6=0进而可知从数列的第7项开始为负，进而可判断出前n项和Sn取得最大值的自然数n的值．‎ ‎【解答】解：∵d＜0，|a3|=|a9|，∴a3=﹣a9，‎ ‎∴a1+2d=﹣a1﹣8d，‎ ‎∴a1+5d=0，∴a6=0，‎ ‎∴an＞0（1≤n≤5），‎ ‎∴Sn取得最大值时的自然数n是5或6．‎ 故答案为：5或6‎ ‎【点评】本题主要考查等差数列的性质．考查了学生分析问题和解决问题的能力．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）（2012秋•盐津县期末）在△ABC中，已知2a=b+c，sin2A=sinBsinC，试判断△ABC的形状．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由条件利用正弦定理可得a2=bc，再由2a=b+c可得b=c=a，可得△ABC为等边三角形．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，由sin2A=sinBsinC，利用正弦定理可得a2=bc．‎ 又已知2a=b+c，故有4a2=（b+c）2，化简可得（b﹣c）2=0，b=c．‎ 再由2a=b+c可得a=b，从而有a=b=c，故△ABC为等边三角形．‎ ‎【点评】本题主要考查正弦定理的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•原阳县校级月考）已知数列{an}的前n项和公式为Sn=2n2﹣30n．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（2）求Sn的最小值及对应的n值．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）利用递推式即可得出；‎ ‎（2）利用二次函数的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）当n=1时，a1=2﹣30=﹣28；‎ 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣30n﹣[2（n﹣1）2﹣30（n﹣1）]=4n﹣32，‎ 当n=1时上式也成立，∴an=4n﹣32．‎ ‎（2）Sn=2n2﹣30n=2﹣．‎ 当n=7或8时，Sn取得最小值，为﹣112．‎ ‎【点评】本题考查了递推式的应用、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA ‎（Ⅰ）求B的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，c=5，求b．‎ ‎【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用．‎ ‎【分析】（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由△ABC为锐角三角形可得答案．‎ ‎（2）根据（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，‎ 根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，‎ 由△ABC为锐角三角形得．‎ ‎（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7．‎ 所以，．‎ ‎【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形中正余弦定理应用的很广泛，一定要熟练掌握公式．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016春•西安校级期中）数列{an}中，a1=8，a4=2，且满足an+2﹣2an+1+an=0，n∈N*．‎ ‎（1）求数列{an}的通项；‎ ‎（2）设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|，求Sn．‎ ‎【考点】数列递推式；数列的求和．‎ ‎【分析】（1）首先判断数列{an}为等差数列，由a1=8，a4‎ ‎=2求出公差，代入通项公式即得．‎ ‎（2）首先判断哪几项为非负数，哪些是负数，从而得出当n＞5时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5﹣（a6+a7+…+an）求出结果；当n≤5时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an当，再利用等差数列的前n项和公式求出答案．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，an+2﹣an+1=an+1﹣an，‎ ‎∴数列{an}是以8为首项，﹣2为公差的等差数列 ‎∴an=10﹣2n，n∈N ‎（2）（2）∵an=10﹣2n，令an=0，得n=5．‎ 当n＞5时，an＜0；当n=5时，an=0；当n＜5时，an＞0．‎ ‎∴当n＞5时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5﹣（a6+a7+…+an）=T5﹣（Tn﹣T5）=2T5﹣Tn，Tn=a1+a2+…+an．‎ 当n≤5时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Tn．‎ ‎∴‎ ‎【点评】考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，求出公差，用代入法直接可求；（2）问的关键是断哪几项为非负数，哪些是负数，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•原阳县校级月考）一艘客轮在航海中遇险，发出求救信号．在遇险地点A南偏西45°方向10海里的B处有一艘海难搜救艇收到求救信号后立即侦查，发现遇险客轮的航行方向为南偏东75°，正以每小时9海里的速度向一小岛靠近．已知海难搜救艇的最大速度为每小时21海里．‎ ‎（1）为了在最短的时间内追上客轮，求海难搜救艇追上客轮所需的时间；‎ ‎（2）若最短时间内两船在C处相遇，如图，在△ABC中，求角B的正弦值．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】（1）设搜救艇追上客轮所需时间为t小时，两船在C处相遇．由余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠BAC，可得t的方程，即可得出结论；‎ ‎（2）利用正弦定理，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）设搜救艇追上客轮所需时间为t小时，两船在C处相遇．‎ 在△ABC中，∠BAC=45°+75°=120°，AB=10，AC=9t，BC=21t．‎ 由余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠BAC，‎ 所以，‎ 化简得36t2﹣9t﹣10=0，解得或（舍去）．‎ 所以，海难搜救艇追上客轮所需时间为小时．‎ ‎（2）由，．‎ 在△ABC中，由正弦定理得．‎ 所以角B的正弦值为．‎ ‎【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理，考查特殊角的三角函数．准确找出题中的方向角是解题的关键之处．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016秋•原阳县校级月考）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别是a，b，c，边c=，且tanA+tanB=tanA•tanB﹣，又△ABC的面积为S△ABC=，求a+b的值．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】由已知利用两角和的正切函数公式，三角形的内角和定理，诱导公式化简可得，结合C∈（0，π），可得C的值，利用三角形的面积公式可求ab=6，又由余弦定理可得，进而可解得a+b的值．‎ ‎【解答】解：∵由，‎ ‎∴可得，即．‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∵C∈（0，π），‎ ‎∴．‎ 又∵△ABC的面积为，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴ab=6．‎ 又∵由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵a+b＞0，‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式，三角形的内角和定理，诱导公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎　‎