高中数学 2章整合课时同步练习 新人教A版选修2-1 7页

‎2章整合 ‎ (考试时间90分钟，满分120分)‎ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．以－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(　　)‎ A.＋＝1　　　　　　　 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 解析：　双曲线－＝－1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±2)，‎ 故所求椭圆的焦点在y轴上，a＝4，c＝2，‎ ‎∴b2＝4，所求方程为＋＝1，故选D.‎ 答案：　D ‎2．设P是椭圆＋＝1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若|PF1|等于4，则|PF2|等于(　　)‎ A．22 B．21‎ C．20 D．13‎ 解析：　由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝26，‎ 又∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝26－4＝22.‎ 答案：　A ‎3．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　)‎ A. B. C. D．(，0)‎ 解析：　将双曲线方程化为标准方程为x2－＝1，‎ ‎∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2＋b2＝，‎ ‎∴c＝，‎ 故右焦点坐标为.‎ 答案：　C ‎4．若抛物线x2＝2py的焦点与椭圆＋＝1的下焦点重合，则p的值为(　　)‎ A．4 B．2‎ C．－4 D．－2‎ 解析：　椭圆＋＝1的下焦点为(0，－1)，‎ ‎∴＝－1，即p＝－2.‎ 答案：　D ‎5．若k∈R，则k>3是方程－＝1表示双曲线的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：　方程－＝1表示双曲线的条件是(k－3)(k＋3)>0，‎ 即k>3或k<－3.故k>3是方程－＝1‎ 表示双曲线的充分不必要条件．故选A.‎ 答案：　A ‎6．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　)‎ A．(0,1) B. C. D. 解析：　由·＝0可知点M在以线段F‎1F2为直径的圆上，要使点M总在椭圆内部，只需c1) B．x2－＝1(x<－1)‎ C．x2＋＝1(x>0) D．x2－＝1(x>1)‎ 解析：　设圆与直线PM、PN分别相切于E、F，‎ 则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NB|＝|NF|.‎ ‎∴|PM|－|PN|＝|PE|＋|ME|－(|PF|＋|NF|)‎ ‎＝|MB|－|NB|＝4－2＝2<|MN|.‎ 所以点P的轨迹是以M(－3,0)，N(3,0)为焦点的双曲线的一支，且a＝1，‎ ‎∴c＝3，b2＝8，‎ ‎∴所以双曲线方程是x2－＝1(x>1)．‎ 答案：　A ‎10．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(　　)‎ A. B. C．2 D．3‎ 解析：　设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为l：x＝c或x＝－c，代入－＝1得y2＝b2＝，‎ ‎∴y＝±，故|AB|＝，依题意＝‎4a，∴＝2，‎ ‎∴＝e2－1＝2.‎ ‎∴e＝.‎ 答案：　B 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎11．若双曲线的渐近线方程为y＝±x，它的一个焦点是(，0)，则双曲线的标准方程是________．‎ 解析：　由双曲线的渐近线方程为y＝±x，知＝，‎ 它的一个焦点是(，0)，知a2＋b2＝10，‎ 因此a＝3，b＝1，故双曲线的方程是－y2＝1.‎ 答案：　－y2＝1‎ ‎12．若过椭圆＋＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________．‎ 解析：　设直线方程为y－1＝k(x－2)，‎ 与双曲线方程联立得(1＋4k2)x2＋(－16k2＋8k)x＋16k2－16k－12＝0，‎ 设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝＝4，解得k＝－，‎ 所以直线方程为x＋2y－4＝0.‎ 答案：　x＋2y－4＝0‎ ‎13.如图，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是________．‎ 解析：　∵△POF2是面积为的正三角形，‎ ‎∴c2sin 60°＝，‎ ‎∴c2＝4，‎ ‎∴P(1，)，‎ ‎∴解之得b2＝2.‎ 答案：　2 ‎14．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．‎ 解析：　显然x1，x2≥0，又y＋y＝4(x1＋x2)≥8，‎ 当且仅当x1＝x2＝4时取等号，所以最小值为32.‎ 答案：　32‎ 三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15．(本小题满分12分)已知双曲线与椭圆＋＝1共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程．‎ 解析：　由椭圆方程可得椭圆的焦点为F(0，±4)，‎ 离心率e＝，‎ 所以双曲线的焦点为F(0，±4)，离心率为2，‎ 从而c＝4，a＝2，b＝2.‎ 所以双曲线方程为－＝1.‎ ‎16．(本小题满分12分)设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝.已知点P eq lc( c)(avs4alco1(0，f(3,2)))到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆的方程．‎ 解析：　设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，M(x，y)为椭圆上的点，由＝得a＝2b.‎ ‎|PM|2＝x2＋2＝－32＋4b2＋3(－b≤y≤b)，‎ 若b<，则当y＝－b时，|PM|2最大，即2＝7，‎ 则b＝－>，故舍去．‎ 若b≥时，则当y＝－时，|PM|2最大，即4b2＋3＝7，‎ 解得b2＝1.‎ ‎∴所求方程为＋y2＝1.‎ ‎17．(本小题满分12分)设λ＞0，点A的坐标为(1,1)，点B在抛物线y＝x2上运动，点Q满足＝λ，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足＝λ，求点P的轨迹方程．‎ 解析：　由＝λ知Q、M、P三点在同一条垂直于x轴的直线上，‎ 故可设P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，则x2－y0＝λ(y－x2)，‎ 即y0＝(1＋λ)x2－λy.①‎ 再设B(x1，y1)，由＝λ，‎ 即(x－x1，y0－y1)＝λ(1－x,1－y0)，‎ 解得②‎ 将①式代入②式，消去y0，‎ 得③‎ 又点B在抛物线y＝x2上，所以y1＝x，‎ 再将③式代入y1＝x，得 ‎(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝[(1＋λ)x－λ]2，‎ ‎(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝(1＋λ)2x2－2λ(1＋λ)x＋λ2，‎ ‎2λ(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ(1＋λ)＝0.‎ 因为λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x－y－1＝0.‎ 故所求点P的轨迹方程为y＝2x－1.‎ ‎18．(本小题满分14分)已知椭圆的长轴长为‎2a，焦点是F1(－，0)、F2(，0)，点F1‎ 到直线x＝－的距离为，过点F2且倾斜角为锐角的直线l与椭圆交于A、B两点，使得|F2B|＝3|F‎2A|.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)求直线l的方程．‎ 解析：　(1)∵F1到直线x＝－的距离为，‎ ‎∴－＋＝.‎ ‎∴a2＝4.‎ 而c＝，‎ ‎∴b2＝a2－c2＝1.‎ ‎∵椭圆的焦点在x轴上，‎ ‎∴所求椭圆的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)．‎ ‎∵|F2B|＝3|F‎2A|，‎ ‎∴ ‎∵A、B在椭圆＋y2＝1上，‎ ‎∴ ‎∴ ‎∴l的斜率为＝.‎ ‎∴l的方程为y＝(x－)，‎ 即x－y－＝0.‎