【数学】2020届一轮复习人教A版二元一次不等式(组)学案 18页

第2节　二元一次不等式(组) ‎ 考试要求　1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.‎ 知 识 梳 理 ‎1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 ‎(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线.不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.‎ ‎(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C>0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C<0.‎ ‎(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.‎ ‎2.线性规划的有关概念 名称 意义 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件 目标函数 关于x，y的解析式 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x，y)‎ 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数达到最大值或最小值的可行解 线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 ‎[常用结论与易错提醒]‎ ‎1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.‎ ‎2.在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距取最大值时，z取最小值；截距 取最小值时，z取最大值.‎ 基 础 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.(　　)‎ ‎(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.(　　)‎ ‎(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.(　　)‎ ‎(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距.(　　)‎ ‎(5)不等式x2－y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域.(　　)‎ 解析　(1)不等式x－y＋1>0表示的平面区域在直线x－y＋1＝0的下方.‎ ‎(4)直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距是.‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√‎ ‎2.下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是(　　)‎ A.(0，0) B.(－1，1)‎ C.(－1，3) D.(2，－3)‎ 解析　把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合，故选C.‎ 答案　C ‎3.(必修5P86T3改编)不等式组表示的平面区域是(　　)‎ 解析　x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2＜0表示直线x－y＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.‎ 答案　B ‎4.(2018·浙江卷)若x，y满足约束条件则z＝x＋3y的最小值是________，最大值是________.‎ 解析　由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2，2)，(1，1)，(4，－2)为顶点的三角形及其内部区域(图略).由线性规划的知识可知，目标函数z＝x＋3y在点(2，2)处取得最大值，在点(4，－2)处取得最小值，则最小值zmin＝4－6＝－2，最大值zmax＝2＋6＝8.‎ 答案　－2　8‎ ‎5.(2019·嘉兴检测)实数x，y满足若z＝3x＋y的最小值为1，则正实数k＝________.‎ 解析　因为k>0，则题中的不等式组表示的平面区域为以(1，0)，，为顶点的三角形区域(包含边界)，易得当目标函数z＝3x＋y经过平面区域内点 时，z＝3x＋y取得最小值zmin＝＋＝1，解得k＝.‎ 答案　 ‎6.(2018·丽水月考)已知整数x，y满足不等式 则2x＋y的最大值是________；x2＋y2的最小值是________.‎ 解析　满足不等式组 的可行域如图所示，由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z，由图可知，当直线y＝－2x＋z过A时，直线在y轴上的截距最大，由可得即A点坐标为(8，8)，z最大值等于2×8＋8＝24.x2＋y2的最小值是可行域的B到原点距离的平方，由可得B(2，2)，可得22＋22＝8.‎ 答案　24　8‎ 考点一　二元一次不等式(组)表示的平面区域 ‎【例1】 (1)(2019·杭州质检)设不等式组所表示的区域面积为S(m∈R).若S≤1，则(　　)‎ A.m≤－2 B.－2≤m≤0‎ C.00)的最大值为1，则m的值是(　　)‎ A.－ B.1 ‎ C.2 D.5‎ 解析　作出可行域，如图所示的阴影部分.‎ 化目标函数z＝y－mx(m＞0)为y＝mx＋z，由图可知，当直线y＝mx＋z过A点时，直线在y轴的截距最大，由解得即A(1，2)，∴2－m＝1，解得m＝1.故选B.‎ 答案　B ‎8.若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为(　　)‎ A. B.1 ‎ C. D.2‎ 解析　在同一直角坐标系中作出函数y＝2x的图象及所表示的平面区域，如图阴影部分所示.‎ 由图可知，当m≤1时，‎ 函数y＝2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，‎ 故m的最大值为1.‎ 答案　B 二、填空题 ‎9.(2018·北京卷)若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是________.‎ 解析　法一　x＋1≤y≤2x表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z＝2y－x，易知z＝2y－x在点A(1，2)处取得最小值，最小值为3.‎ 法二　由题意知则2y－x＝－3(x－y)＋(2x－y)≥3，所以2y－x的最小值为3.‎ 答案　3‎ ‎10.已知O是坐标原点，点M的坐标为(2，1)，若点N(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的最大值是________.‎ 解析　依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，‎ 其中A，B，C(1，1).‎ 设z＝·＝2x＋y，当目标函数z＝2x＋y过点C(1，1)时，z＝2x＋y取得最大值3.‎ 答案　3‎ ‎11.已知实数x，y满足不等式组则|x－y|的最大值为________.‎ 解析　在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(4，0)，(8，8)，(0，2)为顶点的三角形区域(包含边界)，设z＝x－y，则由图易得当z＝x－y经过平面区域内的点(4，0)时，z＝x－y取得最大值zmax＝4－0＝4，当z＝x－y经过平面区域内的点(0，2)时，z＝x－y取得最小值zmin＝0－2＝－2，所以|x－y|的取值范围为[0，4]，最大值为4.‎ 答案　4‎ ‎12.已知实数x，y满足设b＝x－2y，若b的最小值为－2，则b的最大值为________.‎ 解析　作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示.‎ 作出直线l0：x－2y＝0，‎ ‎∵y＝－，‎ ‎∴当l0平移至A点处时b有最小值，bmin＝－a，又bmin＝－2，‎ ‎∴a＝2，当l0平移至B(a，－2a)时，b有最大值bmax＝a－2×(－2a)＝5a＝10.‎ 答案　10‎ ‎13.(2019·金丽衢十二校联考)设x，y满足约束条件则目标函数z1＝2x－y的最大值是________，目标函数z2＝x2＋y2的最小值是________.‎ 解析　在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(2，0)，(0，2)，(4，2)为顶点的三角形区域(包含边界)，易得当目标函数z1＝2x－y经过平面区域内的点(4，2)时，取得最大值2×4－2＝6.z2＝x2＋y2表示平面区域内的点到原点的距离的平方，易得原点到直线x＋y＝2的距离的平方为所求最小值，即z2＝x2＋y2的最小值为＝2.‎ 答案　6　2‎ ‎14.若x，y满足约束条件则|x＋y|－|x－y|的取值范围为________.‎ 解析　根据约束条件画出可行域如图中△ABC区域(含边界)，A(1，3)，B(－1，1)，C(3，1)，且△ABC区域在直线lOB：x＋y＝0的右侧，所以|x＋y|－|x－y|＝x＋y－|x－y|＝取BC的中点为M，AC的中点为N，由图可知直线lMN：x－y＝0将可行域分割为两部分，其中M(1，1)，N(2，2)，当x≥y时，对应区域为△MNC区域(含边界)，2≤2y≤4，当x