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  • 2021-06-19 发布

2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练50 圆的方程

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课时分层训练(五十) 圆的方程 ‎(对应学生用书第299页)‎ A组 基础达标 一、选择题 ‎1.经过点(1,0),且圆心是两直线x=1与x+y=2的交点的圆的方程为(  )‎ A.(x-1)2+y2=1‎ B.(x-1)2+(y-1)2=1‎ C.x2+(y-1)2=1‎ D.(x-1)2+(y-1)2=2‎ B [由得 即所求圆的圆心坐标为(1,1),又由该圆过点(1,0),得其半径为1,故圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1.]‎ ‎2.方程y=表示的曲线是(  )‎ A.上半圆      B.下半圆 C.圆 D.抛物线 A [由方程可得x2+y2=1(y≥0),即此曲线为圆x2+y2=1的上半圆.]‎ ‎3.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是(  )‎ A.(x-2)2+(y+1)2=1‎ B.(x-2)2+(y+1)2=4‎ C.(x+4)2+(y-2)2=4‎ D.(x+2)2+(y-1)2=1‎ A [设圆上任一点的坐标为(x0,y0),‎ 则x+y=4,设点P与圆上任一点连线的中点的坐标为(x,y),‎ 则⇒ 代入x+y=4,得(x-2)2+(y+1)2=1,故选A.]‎ ‎4.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程是(  )‎ A.(x+1)2+y2=2 B.(x+1)2+y2=8‎ C.(x-1)2+y2=2 D.(x-1)2+y2=8‎ A [直线x-y+1=0与x轴的交点(-1,0).根据题意,圆C的圆心坐标为(-1,0).因为圆与直线x+y+3=0相切,所以半径为圆心到切线的距离,‎ 即r=d==,‎ 则圆的方程为(x+1)2+y2=2.故选A.]‎ ‎5.(2017·重庆四校模拟)设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为(  ) ‎ ‎【导学号:79140276】‎ A.6   B.4 C.3    D.2‎ B [如图所示,圆心M(3,-1)与直线x=-3的最短距离为|MQ|=3-(-3)=6,又圆的半径为2,故所求最短距离为6-2=4.]‎ 二、填空题 ‎6.(2018·郑州第二次质量预测)以点M(2,0),N(0,4)为直径的圆的标准方程为________.‎ ‎(x-1)2+(y-2)2=5 [圆心是MN的中点,即点(1,2),半径r=MN=,则以MN为直径的圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.]‎ ‎7.已知点M(1,0)是圆C:x2+y2-4x-2y=0内的一点,那么过点M的最短弦所在直线的方程是________.‎ x+y-1=0 [圆C:x2+y2-4x-2y=0的圆心为C(2,1),‎ 则kCM==1.‎ ‎∵过点M的最短弦与CM垂直,∴最短弦所在直线的方程为y-0=-1×(x-1),即x+y-1=0.]‎ ‎8.在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为__________.‎ ‎(x-1)2+y2=2 [因为直线mx-y-2m-1=0恒过定点(2,-1),所以圆心(1,0)到直线mx-y-2m-1=0的最大距离为d==,所以半径最大时的半径r=,所以半径最大的圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.]‎ 三、解答题 ‎9.求适合下列条件的圆的方程.‎ ‎(1)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2);‎ ‎(2)过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2). ‎ ‎【导学号:79140277】‎ ‎[解] (1)法一:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则有 解得a=1,b=-4,r=2.‎ 所以圆的方程为(x-1) 2+(y+4)2=8.‎ 法二:过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3,与y=-4x联立可求得圆心为(1,-4).‎ 所以半径r==2,‎ 所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.‎ ‎(2)设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),‎ 则 解得D=-2,E=-4,F=-95.‎ 所以所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0.‎ ‎10.已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A, B.‎ ‎(1)求圆C1的圆心坐标;‎ ‎(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.‎ ‎[解] (1)把圆C1的方程化为标准方程得(x-3)2+y2=4,∴圆C1的圆心坐标为C1(3,0).‎ ‎(2)设M(x,y),∵A,B为过原点的直线l与圆C1的交点,且M为AB的中点,‎ ‎∴由圆的性质知:MC1⊥MO,∴1·=0.‎ 又∵1=(3-x,-y),=(-x,-y),‎ ‎∴由向量的数量积公式得x2-3x+y2=0.‎ 易知直线l的斜率存在,∴设直线l的方程为y=mx,‎ 当直线l与圆C1相切时,d==2,‎ 解得m=±.‎ 把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x2-30x+25=0,解得x=.‎ 当直线l经过圆C1的圆心时,M的坐标为(3,0).‎ 又∵直线l与圆C1交于A,B两点,M为AB的中点,∴<x≤3.‎ ‎∴点M的轨迹C的方程为x2-3x+y2=0,其中<x≤3,其轨迹为一段圆弧.‎ B组 能力提升 ‎11.(2017·佛山模拟)设P(x,y)是圆(x-2)2+y2=1上的任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值为(  )‎ A.6 B.25 ‎ C.26 D.36‎ D [(x-5)2+(y+4)2表示点P(x,y)到点(5,-4)的距离的平方.点(5,-4)到圆心(2,0)的距离d==5.‎ 则点P(x,y)到点(5,-4)的距离最大值为6,从而(x-5)2+(y+4)2的最大值为36.]‎ ‎12.(2017·广东七校联考)一个圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且在直线y=x上截得的弦长为2,则该圆的方程为________.‎ x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0 [法一:∵所求圆的圆心在直线x-3y=0上,‎ ‎∴设所求圆的圆心为(3a,a),‎ 又所求圆与y轴相切,∴半径r=3|a|,‎ 又所求圆在直线y=x上截得的弦长为2,圆心(3a,a)到直线y=x的距离d=,‎ ‎∴d2+()2=r2,即2a2+7=9a2,∴a=±1.‎ 故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.‎ 法二:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到直线y=x的距离为,∴r2=+7,即2r2=(a-b)2+14.①‎ 由于所求圆与y轴相切,∴r2=a2,②‎ 又∵所求圆的圆心在直线x-3y=0上,∴a-3b=0,③‎ 联立①②③,解得或 故所求圆的方程为(x+3)2+(y+1)2=9或(x-3)2+(y-1)2=9.‎ 法三:设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心坐标为,半径r=.‎ 在圆的方程中,令x=0,得y2+Ey+F=0.‎ 由于所求圆与y轴相切,∴Δ=0,则E2=4F.①‎ 圆心到直线y=x的距离为d=,‎ 由已知得d2+()2=r2,即(D-E)2+56=2(D2+E2-4F).②‎ 又圆心在直线x-3y=0上,∴D-3E=0.③‎ 联立①②③,解得或 故所求圆的方程为x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0.]‎ ‎13.在以O为原点的直角坐标系中,点A(4,-3)为△OAB的直角顶点,已知|AB|=2|OA|,且点B的纵坐标大于0.‎ ‎(1)求的坐标;‎ ‎(2)求圆x2-6x+y2+2y=0关于直线OB对称的圆的方程. ‎ ‎【导学号:79140278】‎ ‎[解] (1)设=(x,y),由|AB|=2|OA|,·=0,‎ 得解得或 若=(-6,-8),则yB=-11与yB>0矛盾.‎ ‎∴舍去.‎ 即=(6,8).‎ ‎(2)圆x2-6x+y2+2y=0,‎ 即(x-3)2+(y+1)2=()2,‎ 其圆心为C(3,-1),半径r=,‎ ‎∵=+=(4,-3)+(6,8)=(10,5),‎ ‎∴直线OB的方程为y=x.‎ 设圆心C(3,-1)关于直线y=x的对称点的坐标为(a,b),‎ 则解得 ‎∴所求的圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10.‎

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