- 37.30 KB
- 2021-06-19 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
课时分层训练(五十) 圆的方程
(对应学生用书第299页)
A组 基础达标
一、选择题
1.经过点(1,0),且圆心是两直线x=1与x+y=2的交点的圆的方程为( )
A.(x-1)2+y2=1
B.(x-1)2+(y-1)2=1
C.x2+(y-1)2=1
D.(x-1)2+(y-1)2=2
B [由得
即所求圆的圆心坐标为(1,1),又由该圆过点(1,0),得其半径为1,故圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1.]
2.方程y=表示的曲线是( )
A.上半圆 B.下半圆
C.圆 D.抛物线
A [由方程可得x2+y2=1(y≥0),即此曲线为圆x2+y2=1的上半圆.]
3.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A.(x-2)2+(y+1)2=1
B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=4
D.(x+2)2+(y-1)2=1
A [设圆上任一点的坐标为(x0,y0),
则x+y=4,设点P与圆上任一点连线的中点的坐标为(x,y),
则⇒
代入x+y=4,得(x-2)2+(y+1)2=1,故选A.]
4.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程是( )
A.(x+1)2+y2=2 B.(x+1)2+y2=8
C.(x-1)2+y2=2 D.(x-1)2+y2=8
A [直线x-y+1=0与x轴的交点(-1,0).根据题意,圆C的圆心坐标为(-1,0).因为圆与直线x+y+3=0相切,所以半径为圆心到切线的距离,
即r=d==,
则圆的方程为(x+1)2+y2=2.故选A.]
5.(2017·重庆四校模拟)设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为( )
【导学号:79140276】
A.6 B.4 C.3 D.2
B [如图所示,圆心M(3,-1)与直线x=-3的最短距离为|MQ|=3-(-3)=6,又圆的半径为2,故所求最短距离为6-2=4.]
二、填空题
6.(2018·郑州第二次质量预测)以点M(2,0),N(0,4)为直径的圆的标准方程为________.
(x-1)2+(y-2)2=5 [圆心是MN的中点,即点(1,2),半径r=MN=,则以MN为直径的圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.]
7.已知点M(1,0)是圆C:x2+y2-4x-2y=0内的一点,那么过点M的最短弦所在直线的方程是________.
x+y-1=0 [圆C:x2+y2-4x-2y=0的圆心为C(2,1),
则kCM==1.
∵过点M的最短弦与CM垂直,∴最短弦所在直线的方程为y-0=-1×(x-1),即x+y-1=0.]
8.在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为__________.
(x-1)2+y2=2 [因为直线mx-y-2m-1=0恒过定点(2,-1),所以圆心(1,0)到直线mx-y-2m-1=0的最大距离为d==,所以半径最大时的半径r=,所以半径最大的圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.]
三、解答题
9.求适合下列条件的圆的方程.
(1)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2);
(2)过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2).
【导学号:79140277】
[解] (1)法一:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则有
解得a=1,b=-4,r=2.
所以圆的方程为(x-1) 2+(y+4)2=8.
法二:过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3,与y=-4x联立可求得圆心为(1,-4).
所以半径r==2,
所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.
(2)设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
则
解得D=-2,E=-4,F=-95.
所以所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0.
10.已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A, B.
(1)求圆C1的圆心坐标;
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.
[解] (1)把圆C1的方程化为标准方程得(x-3)2+y2=4,∴圆C1的圆心坐标为C1(3,0).
(2)设M(x,y),∵A,B为过原点的直线l与圆C1的交点,且M为AB的中点,
∴由圆的性质知:MC1⊥MO,∴1·=0.
又∵1=(3-x,-y),=(-x,-y),
∴由向量的数量积公式得x2-3x+y2=0.
易知直线l的斜率存在,∴设直线l的方程为y=mx,
当直线l与圆C1相切时,d==2,
解得m=±.
把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x2-30x+25=0,解得x=.
当直线l经过圆C1的圆心时,M的坐标为(3,0).
又∵直线l与圆C1交于A,B两点,M为AB的中点,∴<x≤3.
∴点M的轨迹C的方程为x2-3x+y2=0,其中<x≤3,其轨迹为一段圆弧.
B组 能力提升
11.(2017·佛山模拟)设P(x,y)是圆(x-2)2+y2=1上的任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值为( )
A.6 B.25
C.26 D.36
D [(x-5)2+(y+4)2表示点P(x,y)到点(5,-4)的距离的平方.点(5,-4)到圆心(2,0)的距离d==5.
则点P(x,y)到点(5,-4)的距离最大值为6,从而(x-5)2+(y+4)2的最大值为36.]
12.(2017·广东七校联考)一个圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且在直线y=x上截得的弦长为2,则该圆的方程为________.
x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0 [法一:∵所求圆的圆心在直线x-3y=0上,
∴设所求圆的圆心为(3a,a),
又所求圆与y轴相切,∴半径r=3|a|,
又所求圆在直线y=x上截得的弦长为2,圆心(3a,a)到直线y=x的距离d=,
∴d2+()2=r2,即2a2+7=9a2,∴a=±1.
故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.
法二:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到直线y=x的距离为,∴r2=+7,即2r2=(a-b)2+14.①
由于所求圆与y轴相切,∴r2=a2,②
又∵所求圆的圆心在直线x-3y=0上,∴a-3b=0,③
联立①②③,解得或
故所求圆的方程为(x+3)2+(y+1)2=9或(x-3)2+(y-1)2=9.
法三:设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心坐标为,半径r=.
在圆的方程中,令x=0,得y2+Ey+F=0.
由于所求圆与y轴相切,∴Δ=0,则E2=4F.①
圆心到直线y=x的距离为d=,
由已知得d2+()2=r2,即(D-E)2+56=2(D2+E2-4F).②
又圆心在直线x-3y=0上,∴D-3E=0.③
联立①②③,解得或
故所求圆的方程为x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0.]
13.在以O为原点的直角坐标系中,点A(4,-3)为△OAB的直角顶点,已知|AB|=2|OA|,且点B的纵坐标大于0.
(1)求的坐标;
(2)求圆x2-6x+y2+2y=0关于直线OB对称的圆的方程.
【导学号:79140278】
[解] (1)设=(x,y),由|AB|=2|OA|,·=0,
得解得或
若=(-6,-8),则yB=-11与yB>0矛盾.
∴舍去.
即=(6,8).
(2)圆x2-6x+y2+2y=0,
即(x-3)2+(y+1)2=()2,
其圆心为C(3,-1),半径r=,
∵=+=(4,-3)+(6,8)=(10,5),
∴直线OB的方程为y=x.
设圆心C(3,-1)关于直线y=x的对称点的坐标为(a,b),
则解得
∴所求的圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10.