2017-2018学年山西省太原市金河中学高二年级第一学期期考试数学（理）试题 7页

2017-2018 学年山西省太原市金河中学高二年级第一 学期期考试 数学（理）试题 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 1.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 2.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为 45°，腰和上底长均 为 2 的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知 a，b 表示两条不同直线，α，β，γ 表示三个不重合的平面，给出下列命题： ①若 α∩γ＝a，β∩γ＝b，且 a∥b，则 α∥β； ②若 a，b 相交且都在 α，β 外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则 α∥β； ③若 a⊂α，a∥β，α∩β＝b，则 a∥b. ④若 ， ， ，则 其中正确命题的个数________． A.1 B.2 C.3 D. 4 4.若实数 m,n 满足 2m-n=1,则直线 mx-3y+n=0 必过定点（____） A. B. C. D. 5．已知直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距互为相反数,则 a 的值是(　 ）　 (A) -2 或 1 (B) -2 或-1 (C) -1 (D) 1 6．若直线 与 的交点在第一象限，则直线 的倾斜角的取值 范围是（ ） A. B. C. D. 7．若{(x，y)|ax＋2y－1＝0}∩{(x，y)|x＋(a－1)y＋1＝0}＝ ，则 a 等于(　　) A. B. 2 C. －1 D. 2 或－1 8．直线 的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9．已知棱长为 2 的正方体 ，球 与该正方体的各个面相切，则平面 截此球 所得的截面的面积为（ ） π 2 π 3 π 6 π 1 : 3l y kx= − 2 : 2 3 6 0l x y+ − = 1l [ , ]3 2 π π ( , )3 2 π π ( , )6 2 π π [ , )6 3 π π 248+ 224 + 22 + 21+ a α⊥ b β⊥ α β⊥ a b⊥ 12, 3      12, 3  −   12, 3  −   12, 3  − −   ∅ 3 2 ( ) ( )Rayax ∈=+++ 0112     4,0 π      ππ ,4 3          πππ ,24,0           ππππ ,4 3 2,4  N M A. B. C. D. 10． 如图，已知 、 ，从点 射出的光线经直线 反向后再射到直线 上，最后经直线 反射后又回到 点，则光线所经过的路程是 （ ） A． B． C． D． 11．已知 ，给出下列四个命题： 其中真命题的是( ) A. B. C. D. 12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为 A. B. C. D. 二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分。 13. 已知直线 与 互相垂直，垂足为 ， 则 为 14．设实数 满足条件 ，若目标函数 的最大值为 6， 则 的最小值为 ． 15．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥 为 鳖臑， 平面 ， ， ，三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为 (4 , 0)A (0 , 4)B (2 , 0)P AB OB OB P 2 10 6 3 3 2 5 ( ) 2 0 { , | 2 0 3 6 0 x y D x y x y x y + − ≤   = − + ≤   − + ≥  ( )1 : , , 0;P x y D x y∀ ∈ + ≥ ( )2 , ,2 1 0;P x y D x y∀ ∈ − + ≤： ( )3 1: , , 4;1 yP x y D x +∃ ∈ ≤ −− ( ) 2 2 4 , , 2;P x y D x y∃ ∈ + ≥： 1 2,P P 2 3,P P 2 4,P P 3 4,P P 024 =−+ ymx 052 =+− nyx ( )p,1 pnm ++ ,x y       ≥ ≥ ≤−− ≥+− 0 0 044 02 y x yx yx ( 0, 0)z ax by a b= + > > 3 1 2log a b  +   P ABC− PA ⊥ ABC 2PA AB= = 4AC = P ABC− O O 16.如图，正方形 的边长为 ，已知 ，将 沿 边折起，折起后 点在平面 上的射影为 点，则翻折后的几何体中有如下描述： ① 与 所成角的正切值是 ； ② ∥ ； ③ 体积 是 ； ④ 平面 ⊥平面 ； ⑤ 直线 与平面 所成角为 . 其中正确的有 .（填写你认为正确的序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，17 题 10 分其余每小题 12 分，共 70 分。 17．已知直线 与直线 ， 为它们的交点，点 为平 面内一点.求（1）过点 且与 平行的直线方程；（2）过 点的直线，且 到它的距离为 2 的直线方程. 18．如图，正三棱柱 的侧棱长和底面边长均为 ， 是 的中点． （I）求证： 平面 ．（II）求证: （III）求三棱锥 的体积． 19．已知直线 l 经过点 P（1，2）且分别与 x 轴正半轴，y 轴正半轴交于 A、B 两点，O 为坐标 原点.(1)求 面积的最小值及此时直线 l 的方程；(2)求 的最小值及此时直线 l 的方程. 20．如图，平面 平面 ， 是等腰直角三角形， ，四边形 是直角梯形， ∥ＡＥ， ， , 分别为 的中 点． （1）求异面直线 与 所成角的大小； （2）求直线 和平面 所成角的正弦值． 21. 如图，正方形 AA1D1D 与矩形 ABCD 所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2 BCDE a 3AB BC= ABE∆ BE A BCDE D AB DE 2 AB CE B ACEV − 31 6 a ABC ADC EA ADB 30 032:1 =+− yxl 0832:2 =−+ yxl ( )3,1−P P 1l Q P 1 1 1ABC A B C− 2 D BC AD ⊥ 1 1B BCC 11 // ADCBA 平面 1 1C ADB− AOB∆ PA PB⋅ ABDE ⊥ ABC ABC∆ 4AC BC= = ABDE BD BD ⊥ BA 1 22BD AE= = O M、 CE AB、 AB CE CD ODM (1)若点 E,F 分别为 AB,CD 的中点，求证：BD1F∥平面 A1DE； (2)在线段 AB 上是否存在点 E，使二面角 D1­EC­D 的大小为π 6？若存在， 求出 AE 的长；若不存在，请说明理由． 22．（本题共 12 分）如图所示，已知三棱柱 ，点 在底面 上的射影恰为 的中点 ， ． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的余弦值． 附加题：（共 20 分） 1．已知边长为 的菱形 ABCD 中，∠BAD＝60°，沿对角线 BD 折成二面角 A­BD­C 的大小为 120°的四面体，则四面体的外接球的表面积为________． 2.已知 的两条高所在直线方程为 ，若 ，求直线 的 方程 . 4．如图甲所示， 是梯形 的高， ， ， ， 现将梯形 沿 折起如图乙所示的四棱锥 ，使得 ，点 是线段 上一动点. （1）证明： 和 不可能垂直； （2）当 时，求 到平面 的距离。 1 1 1ABC A B C− 1A ABC AC D 1 190 , 2,BCA AC BC BA AC°∠ = = = ⊥ ⊥1ABC平面 1A BC 1 1 1B A B C− − 2 3 ABC 0,2 3 1 0x y x y+ = − + = ( )1,2A BC BO ABCD 45BAD∠ = ° 1OB BC= = 3OD OA= ABCD OB P OBCD− 3PC = E PB DE PC 2PE BE= P CDE 数学（理）试题答案 一、选择题： 1—5 DACDB 6-10 CBBDA 11-12 CB 二、填空题： 13.-4 14.2 15. 16.①③④⑤ 三、解答题： 17.(1) (2) 18. （I）证明： ∵在正 中， 是 边中点，∴ ， ∵在正三棱柱中， 平面 ， 平面 ， ∴ ， ∵ 点， ， 平面 ， ∴ 平面 ． （II）连接 、 ，设 点，连接 ， ∵在 中， 、 分别是 、 中点，∴ ， ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ， （III） 19. （1）4, （2）4， 20.(1)∵ ，又∵面 面 ，面 面 ， ，∴ ，∵BD∥AE，∴ ， 如图所示，以 C 为原点，分别以 CA，CB 为 x，y 轴，以过点 C 且与平面 ABC 垂直 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，∵ ，∴设各点坐标为 ， ， ， ， ， 则 ， ， ， π20 072 =+− yx 05431 =+−= yxx 或 ABC D BC AD BC⊥ 1C C ⊥ ABC AD ⊂ ABC 1AD C C⊥ 1BC C C C∩ = BC 1C C ⊂ 1 1BB C C AD ⊥ 1 1BB C C 1AC 1AC 1 1AC AC O∩ = OD 1ACB O D 1AC BC 1 1 2OD A B OD ⊂ 1ADC 1A B ⊄ 1ADC 1A B  1ADC 1 1 1 1 1 1 21 1 1 3 32 23 3 2 4 3C ADB A C DB C DB ADV V S− − ×= = × = × × × × =  042 =−+ yx 03 =−+ yx DB BA⊥ ABDE ⊥ ABC ABDE  ABC AB= DB ABDE⊂ 面 DB ABC⊥ 面 EA ABC⊥ 面 4AC BC= = (0, 0, 0)C (4, 0, 0)A (0, 4, 0)B (0, 4, 2)D (4, 0, 4)E (2, 0, 2)O (2, 2, 0)M ( 4,4,0),CE (4,0,4)AB = − =  ， ， . （1） ， 则 与 所成角为 . （ 2 ） 设 平 面 ODM 的 法 向 量 ， 则 由 ， 且 可 得 令 ，则 ， ，∴ ，设直线 CD 和平面 ODM 所成角为 ，则 ， ∴直线 CD 和平面 ODM 所成角的正弦值为 ． 21. (1)略 (2)根据题意得 DD1⊥DA，DD1⊥DC，AD⊥DC，以 D 为坐标原点，DA，DC， DD1 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz， 则 D(0,0,0)，D1(0,0,1)，C(0，2,0)． 设满足条件的点 E 存在， 令 E(1，y0,0)(0≤y0≤2)，＝(－1,2－y0,0)，＝(0,2，－1)， 设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 D1EC 的法向量， 则得Error! 令 y1＝1，则平面 D1EC 的法向量为 n1＝(2－y0,1,2)， 由题知平面 DEC 的一个法向量 n2＝(0,0,1)． 由二面角 D1ECD 的大小为π 6，得 cos π 6＝ |n1·n2| |n1|·|n2|＝ 2 (2－y0)2＋1＋4 ＝ 3 2 ， 解得 y0＝2－ 3 3 ∈[0,2]， 所以当 AE＝2－ 3 3 时，二面角 D1ECD 的大小为π 6． 22. 解：如图所示，取 的中点 ，则 . 又 平面 ，以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，则 (0, 4, 2)CD = ( 2, 4, 0)OD = − ( 2, 2, 2)MD = − 16 1cos , 232 32 AB CE −< >= = − ⋅   AB CE 3 π ( , , )x y z=n OD⊥ n MD⊥ n 2 4 0, 2 2 2 0, x y x y z − + = − + + = 2x = 1y = 1z = (2, 1, 1)=n θ (2, 1, 1) (0, 4, 2) 6 30sin cos , | (2, 1, 1) || (0, 4, 2) | 10| || | 6 2 5 CDCD CD θ ⋅ ⋅= < > = = = = ⋅   nn n 30 10 AB E // , ,DE BC BC AC⊥ DE AC∴ ⊥ 1A D ⊥ ABC O 1DA t= ( ) ( )0, 1,0 , 2,1,0 ,A B− . .2 分 （Ⅰ）证明： ， 由 ，知 ，又 ，从而 平面 . 平面 .6 分 （Ⅱ）因为 ， ，由 得 . ,设平面 的一个法向 量为 ，则 ，可取 ，同理，可 求得平面 的一个法向量为 ， . 所以，二面角 的余弦值为 . .12 分 附加题：1. 2. 3.（1）设 其中 ，所以 ， ，假设 和 垂直，则 ，有 ，解得 ，这与 矛盾，假设不成立，所以 和 不可能垂直. （2） ( ) ( ) ( )( )1 10,1,0 , 0,0, , 0,2,C A t C t t R+∈ ( ) ( ) ( )1 1 10,3, , 2, 1, , 2,0,0AC t BA t CB= = − − =   1 0AC CB =   1AC CB⊥ 1 1BA AC⊥ 1AC ⊥ 1A BC ⊥1ABC平面 1A BC ( )1 2, 1,BA t= − − ( )1 0,3,AC t= 1 1BA AC⊥ 3t = ( ) ( ) ( )1 1 1 1 12, 1, 3 , 0,1, 3 , 0,2,0BA BB AA AC∴ = − − = = =    1 1A BB ( ), ,m x y z= 1 1 2 3 0 3 0 m BA x y z m BB y z  = − − + = = + =       ( )3, 3,1m = − 1 1A BC ( )3,0,2n = 5cos , 7 m nm n m n ∴ 〈 〉 = =       1 1 1B A B C− − 5 7 π28 0732 =++ yx 0 1x≤ ≤ DE SC 15 30