2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练43　垂直关系 10页

课时分层训练(四十三)　垂直关系 ‎(对应学生用书第283页)‎ A组　基础达标 一、选择题 ‎1．设α，β为两个不同的平面，直线lα，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[依题意，由l⊥β，lα可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，lα不能推出l⊥β.因此，“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件，故选A.]‎ ‎2．(2017·中原名校联盟4月联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(　　)‎ A．α⊥β且mα　　　　 B．α⊥β且m∥α C．m∥n且n⊥β D．m⊥n且n∥β C　[对于选项A，α⊥β且mα，可得m∥β或m与β相交或mβ，故A不成立；对于选项B，α⊥β且m∥α，可得mβ或m∥β或m与β相交，故B不成立；对于选项C，m∥n且n⊥β，则m⊥β，故C正确；对于选项D，由m⊥n且n∥β，可得m∥β或m与β相交或mβ，故D不成立，故选C.]‎ ‎3．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“aα，bβ，且α⊥β”的平面α，β(　　)‎ A．不存在 B．有且只有一对 C．有且只有两对 D．有无数对 D　[过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面β⊥α，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线与b确定的平面β⊥α.故选D.]‎ ‎4．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(　　)‎ A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC C　[‎ 如图，∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B，D错；‎ ‎∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，‎ ‎∴A1E⊥BC1，故C正确；‎ ‎(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，‎ ‎∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1)‎ ‎∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错．‎ 故选C.]‎ ‎5．(2017·河北唐山一模)如图7410，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H ‎，那么，在这个空间图形中必有(　　) ‎ ‎【导学号：79140236】‎ 图7410‎ A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF B　[根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，‎ ‎∴AH⊥平面EFH，B正确；‎ ‎∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；‎ ‎∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF平面AEF，∴平面HAG⊥AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；‎ 由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确．故选B.]‎ 二、填空题 ‎6．如图7411，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线是________；与AP垂直的直线是________．‎ 图7411‎ AB，BC，AC；AB　[∵PC⊥平面ABC，‎ ‎∴PC垂直于直线AB，BC，AC.‎ ‎∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，‎ ‎∴AB⊥平面PAC，‎ ‎∴AB⊥AP，故与AP垂直的直线是AB.]‎ ‎7．如图7412所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)‎ 图7412‎ DM⊥PC(或BM⊥PC)　[连接AC，BD，则AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD.‎ 又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.‎ ‎∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.‎ 而PC平面PCD，‎ ‎∴平面MBD⊥平面PCD.]‎ ‎8．(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.‎ ‎②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.‎ ‎③如果α∥β，mα，那么m∥β.‎ ‎④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．‎ 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号) ‎ ‎【导学号：79140237】‎ ‎②③④　[对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．‎ 对于②，由线面平行的性质定理知存在直线lα，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．‎ 对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又mα，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．‎ 对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．]‎ 三、解答题 ‎9．(2017·北京高考)如图7413，在三棱锥PABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．‎ 图7413‎ ‎(1)求证：PA⊥BD；‎ ‎(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；‎ ‎(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积．‎ ‎[解]　(1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面 ABC.‎ 又因为BD平面ABC，所以PA⊥BD.‎ ‎(2)证明：因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.‎ 由(1)知，PA⊥BD，‎ 所以BD⊥平面PAC，‎ 所以平面BDE⊥平面PAC.‎ ‎(3)因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，所以PA∥DE.‎ 因为D为AC的中点，所以DE＝PA＝1，BD＝DC＝.‎ 由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC，‎ 所以三棱锥EBCD的体积V＝BD·DC·DE＝.]‎ ‎10．(2017·江苏高考)如图7414，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.‎ 图7414‎ 求证：(1)EF∥平面ABC；‎ ‎(2)AD⊥AC.‎ ‎[证明]　(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，‎ 所以EF∥AB.‎ 又因为EF平面ABC，AB平面ABC，‎ 所以EF∥平面ABC.‎ ‎(2)因为平面ABD⊥平面BCD，‎ 平面ABD∩平面BCD＝BD，‎ BC平面BCD，BC⊥BD，‎ 所以BC⊥平面ABD.‎ 因为AD平面ABD，所以BC⊥AD.‎ 又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB平面ABC，BC平面ABC，‎ 所以AD⊥平面ABC.‎ 又因为AC平面ABC，‎ 所以AD⊥AC.‎ B组　能力提升 ‎11．(2017·贵州贵阳二模)如图7415，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是(　　)‎ 图7415‎ A．O是△AEF的垂心 B．O是△AEF的内心 C．O是△AEF的外心 D．O是△AEF的重心 A　[由题意可知PA，PE，PF两两垂直，‎ 所以PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，‎ 而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，‎ 所以EF⊥平面PAO，‎ 所以EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，‎ 所以O为△AEF的垂心．]‎ ‎12.如图7416，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.‎ 图7416‎ a或2a　[∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D.‎ 为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)．‎ 设AF＝x，则CD2＝DF2＋FC2，‎ ‎∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝2a.]‎ ‎13. (2016·四川高考)如图7417，在四棱锥PABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.‎ 图7417‎ ‎(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；‎ ‎(2)证明：平面PAB⊥平面PBD. ‎ ‎【导学号：79140238】‎ ‎[解]　(1)取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点．‎ 理由如下：连接CM，‎ 因为AD∥BC，BC＝AD，‎ 所以BC∥AM，且BC＝AM.‎ 所以四边形AMCB是平行四边形，‎ 所以CM∥AB.‎ 又AB平面PAB，CM平面PAB，‎ 所以CM∥平面PAB.‎ ‎(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)‎ ‎(2)证明：由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，‎ 因为AD∥BC，BC＝AD，所以直线AB与CD相交，‎ 所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.‎ 因为AD∥BC，BC＝AD，M为AD的中点，连接BM，‎ 所以BC∥MD，且BC＝MD，‎ 所以四边形BCDM是平行四边形，‎ 所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB.‎ 又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB.‎ 又BD平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.‎