数学理卷·2018届河南省南阳市第一中学校高二下学期开学考试（2017-02） 8页

南阳一中2017春期高二开学考试 数学试题（理）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.‎ ‎1．用反证法证明命题“若，，则三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为（ ）‎ A．三个实数中最多有一个不大于零B．三个实数中最多有两个小于零 C．三个实数中至少有两个小于零D．三个实数中至少有一个不大于零 ‎2．函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎3．在曲线上的切线的倾斜角是的点为（ ）‎ A． ‎(0,0) B.(2,4) C. D.‎ ‎4．如图第n个图形是由正ｎ＋２边形“扩展”而来,（ｎ＝１，２，３，…）,则第n个图形中共有（）个顶点。‎ A．（n+1）（n+2）B．（n+2）（n+3）C．D．n ‎5．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|等于（ ）‎ A．8 B．10 C．6 D．4‎ ‎6．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当F⊥A时，其离心率为 ‎，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于(　　)‎ A.B.C.－1D.＋1‎ ‎7．已知双曲线（a>0,b>0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎8．在中，为的对边，且，则（ ）‎ A．成等差数列 B．成等差数列 C．成等比数列 D．成等比数列 ‎9．已知椭圆的焦点在y轴上，则的取值范围是（ ）‎ A． B. C. D.‎ ‎10．抛物线C1：y=x2(p＞0)的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（ ） ‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.‎ ‎11.已知函数的导函数为，若，则 .‎ ‎12.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为．‎ ‎13.已知数列{2n－1·an}的前n项和Sn＝9－6n，则数列{an}的通项公式是______‎ ‎14.曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹.给出下列三个结论：‎ ‎①曲线C过坐标原点；‎ ‎②曲线C关于坐标原点对称；‎ ‎③若点P在曲线C上，则的面积不大于.‎ 其中所有正确的结论的序号是 .‎ 三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎15.（本小题满分10分）已知函数的图像在点M（-1，）处的切线方程为，求函数解析式。‎ ‎16．（本小题满分10分）用数学归纳法证明等式：‎ ‎17.（本题满分12分）在圆上任取一动点P，过P作轴的垂线PD，D为垂足，动点M的轨迹为曲线C.‎ ‎（1）求C的方程及其离心率；‎ ‎（2）若直线交曲线C交于A,B两点，且坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.‎ ‎18.（本小题满分12分）已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．‎ ①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；‎ ②当最小时，求点T的坐标.‎ 南阳一中2017年春期高二开学考试 数学（理） （参考答案）‎ ‎1.C 2.B 解：设x=2,x=3时曲线上的点为A、B,点A处的切线为AT 点B处的切线为BQ， ‎ y 如图所示，切线BQ的倾斜角小于 直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角 ‎ ‎3.D 4.B 解:设第n个图中有个顶点，则，，‎ ‎5.A 6.A 解析：根据“黄金椭圆”的性质是F⊥A，可以得到“黄金双曲线”‎ 也满足这个性质，设“黄金双曲线”方程为－＝1，则B(0，b)，F(－c,0)，A(a,0)，‎ 在“黄金双曲线”中，∵F⊥A，∴F·A＝0，又F＝(c，b)，A＝(－a，b)，‎ ‎∴b2＝ac，而b2＝c2－a2，∴c2－a2＝ac，在等号两边同除以a2得e＝，‎ ‎7.A 8.D 9.D 10.D 经过第一象限的双曲线的渐近线为.抛物线的焦点为,双曲线的右焦点为.，所以在处的切线斜率为，即，所以，即三点，，共线，所以，即.‎ 二、填空题 ‎11. -1 12. 13. ‎ ‎14.②③设P(x,y)为曲线C上任意一点，则由，得 C: ，把（0，0）代入方程可得，与矛盾，故①不正确；‎ 当M(x,y)在曲线C上时，点M关于原点的对称点，也满足方程，故曲线C关于原点对称，故②正确；，故③正确. 【答案】②③‎ ‎15、解：由函数的图像在点M（-1，）处的切线方程为 知=0，即，由切点为M点得 ‎，‎ 解得或（由舍去）所以，‎ ‎16、（1）当n=1时，左==右，等式成立 ‎（2）假设当n=k时等式成立，即 则 当n=k+1时，等式也成立 综合（1）（2），等式对所有正整数都成立。‎ ‎17.（Ⅰ）设，，由得 …………..2分 因为 ，所以，即 其离心率 …………..4分 ‎（Ⅱ）当AB垂直x轴时，.当AB不垂直x轴时，设直线AB的方程为 由题意得 ，即 …………..6分 ‎ 联立 得 设，由求根公式得： …………..8分 所以 当时，；‎ 当时，…………..10分 当且仅当即时，取等号，此时满足. ‎ ‎ 综上所述，，此时的最大值为 ……..12分 ‎18.（1）依条件，所以椭圆C的标准方程为 ‎（2）设，，，又设中点为，‎ ①因为，所以直线的方程为：，‎ ‎，‎ 所以，‎ 于是，，‎ 所以．因为，‎ 所以，，三点共线， 即OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）．‎ ②，，‎ 所以，令（），‎ 则（当且仅当时取“”），‎ 所以当最小时，即或，此时点T的坐标为或.‎