高中数学选修2-2教案第一章 4 11页

明目标、知重点 ‎1．了解数学归纳法的原理．‎ ‎2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．‎ ‎1．数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与正整数有关的数学命题的一种方法．基本步骤是 ‎(1)验证：n＝1时，命题成立；‎ ‎(2)在假设当n＝k (k≥1)时，命题成立的前提下，推出n＝k＋1时命题成立．‎ 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数都成立．‎ ‎2．应用数学归纳法注意的问题 ‎(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题．‎ ‎(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．‎ ‎(3)步骤(2)的证明必须以“假设当n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立”为条件．‎ ‎[情境导学]‎ 多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按一定间距排列成行，保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下； 而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…，最后不论有多少块骨牌都能全部倒下．请同学们思考所有的骨牌都一一倒下蕴涵怎样的原理？‎ 探究点一　数学归纳法的原理 思考1　多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？‎ 答　(1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．‎ 所有的骨牌都倒下，条件(2)给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础．‎ 思考2　用数学归纳法证明问题的一般步骤分几步？‎ 答　一般地，证明一个与正整数n有关的命题P(n)，可按下列步骤进行：‎ ‎(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立；‎ ‎(2)(递推是关键)假设当n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．‎ 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，其中，利用假设是证题的核心．‎ 思考3　用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正．‎ 证明：(1)n＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立．‎ ‎(2)假设n＝k时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2，‎ 则当n＝k＋1时，1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝＝(k＋1)2等式也成立．‎ 由(1)和(2)可知对任何n∈N＋等式都成立．‎ 答　证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用到归纳假设．从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明n＝k＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式．‎ 探究点二　用数学归纳法证明等式 例1　用数学归纳法证明 ‎12＋22＋…＋n2＝(n∈N＋)．‎ 证明　(1)当n＝1时，左边＝12＝1，‎ 右边＝＝1，‎ 等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即 ‎12＋22＋…＋k2＝，‎ 那么，12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2‎ ‎＝＋(k＋1)2‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝，‎ 即当n＝k＋1时等式也成立．‎ 根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N＋都成立．‎ 反思与感悟　用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．‎ 跟踪训练1　求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)．‎ 证明　当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，‎ 所以等式成立．‎ 假设n＝k(k∈N＋)时，‎ ‎1－＋－＋…＋－ ‎＝＋＋…＋成立．‎ 那么当n＝k＋1时，‎ ‎1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－ ‎＝＋＋…＋＋＋[－]‎ ‎＝＋＋…＋＋，‎ 所以n＝k＋1时，等式也成立．‎ 综上所述，对于任何n∈N＋，等式都成立．‎ 探究点三　用数学归纳法证明数列问题 例2　已知数列，，，…，，…，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．‎ 解　S1＝＝；‎ S2＝＋＝；‎ S3＝＋＝；‎ S4＝＋＝.‎ 可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1.‎ 于是可以猜想Sn＝.‎ 下面我们用数学归纳法证明这个猜想．‎ ‎(1)当n＝1时，左边＝S1＝，‎ 右边＝＝＝，‎ 猜想成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N＋)时猜想成立，即 ＋＋＋…＋＝，‎ 那么，当n＝k＋1时，‎ ＋＋＋…＋＋ ‎＝＋ ‎＝ ‎＝ ‎＝，‎ 所以，当n＝k＋1时猜想也成立．‎ 根据(1)和(2)，可知猜想对任何n∈N＋都成立．‎ 反思与感悟　归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是“归纳——猜想——证明”的基本思想．‎ 跟踪训练2　数列{an}满足Sn＝2n－an(Sn为数列{an}的前n项和)，先计算数列的前4项，再猜想an，并证明．‎ 解　由a1＝2－a1，‎ 得a1＝1；‎ 由a1＋a2＝2×2－a2，‎ 得a2＝；‎ 由a1＋a2＋a3＝2×3－a3，‎ 得a3＝；‎ 由a1＋a2＋a3＋a4＝2×4－a4，‎ 得a4＝.‎ 猜想an＝.‎ 下面证明猜想正确：‎ ‎(1)当n＝1时，由上面的计算可知猜想成立．‎ ‎(2)假设当n＝k时猜想成立，‎ 则有ak＝，‎ 当n＝k＋1时，Sk＋ak＋1＝2(k＋1)－ak＋1，‎ ‎∴ak＋1＝[2(k＋1)－Sk]‎ ‎＝k＋1－(2k－)‎ ‎＝，‎ 所以，当n＝k＋1时，等式也成立．‎ 由(1)和(2)可知，an＝对任意正整数n都成立．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．若命题A(n)(n∈N＋)在n＝k(k∈N＋)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N＋)时命题成立，则有(　　)‎ A．命题对所有正整数都成立 B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立 C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立 D．以上说法都不正确 答案　C 解析　由已知得n＝n0(n0∈N＋)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.‎ ‎2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝(a≠1)”．在验证n＝1时，左端计算所得项为(　　)‎ A．1＋a B．1＋a＋a2‎ C．1＋a＋a2＋a3 D．1＋a＋a2＋a3＋a4‎ 答案　C 解析　将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.‎ ‎3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的过程如下：‎ ‎(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N＋，等式都成立．‎ 上述证明的错误是________．‎ 答案　未用归纳假设 解析　本题在由n＝k成立，‎ 证n＝k＋1成立时，‎ 应用了等比数列的求和公式，‎ 而未用上假设条件，‎ 这与数学归纳法的要求不符．‎ ‎4．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式(1＋)(1＋)·…·(1＋)>均成立．‎ 证明　(1)当n＝2时，左边＝1＋＝；‎ 右边＝.‎ ‎∵左边>右边，∴不等式成立．‎ ‎(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N＋)时不等式成立，即 ‎(1＋)(1＋)·…·(1＋)>.‎ 则当n＝k＋1时，‎ ‎(1＋)(1＋)·…·(1＋)[1＋]>·＝ ‎＝> ‎＝＝.‎ ‎∴当n＝k＋1时，不等式也成立．‎ 由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．‎ ‎[呈重点、现规律]‎ 在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：‎ ‎(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；‎ ‎(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；‎ ‎(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．‎ 一、基础过关 ‎1．某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N＋)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时，该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题成立，那么可推导出(　　)‎ A．当n＝6时命题不成立 B．当n＝6时命题成立 C．当n＝4时命题不成立 D．当n＝4时命题成立 答案　B ‎2．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则(　　)‎ A．该命题对于n>2的自然数n都成立 B．该命题对于所有的正偶数都成立 C．该命题何时成立与k取值无关 D．以上答案都不对 答案　B 解析　由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立．且n＝2，故对所有的正偶数都成立．‎ ‎3．设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1为(　　)‎ A．Sk＋ B．Sk＋＋ C．Sk＋－ D．Sk＋－ 答案　C 解析　Sk＋1＝＋＋…＋＋＋＝Sk＋＋－＝Sk＋－.‎ ‎4．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则n＝1时f(n)是(　　)‎ A．1 B. C．1＋＋ D．以上答案均不正确 答案　C ‎5．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)‎ A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋ B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋ D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ 答案　D 解析　观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，‎ ‎∴项数为n2－n＋1.‎ ‎6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N＋)，依次计算a2，a3，a4，归纳推测出an的通项表达式为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，…，可推测an＝，故选B.‎ ‎7．用数学归纳法证明(1－)(1－)(1－)…(1－)＝(n∈N＋)．‎ 证明　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝，等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即 ‎(1－)(1－)(1－)…(1－)＝，‎ 当n＝k＋1时，‎ ‎(1－)(1－)(1－)…(1－)·(1－)‎ ‎＝(1－)＝＝＝，‎ 所以当n＝k＋1时等式也成立．‎ 由(1)(2)可知，对于任意n∈N＋等式都成立．‎ 二、能力提升 ‎8．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N＋)，从k到k＋1左端需要增乘的代数式为(　　)‎ A．2k＋1 B．2(2k＋1)‎ C. D. 答案　B 解析　n＝k＋1时，‎ 左端为(k＋2)(k＋3)…[(k＋1)＋(k－1)]·[(k＋1)＋k]·(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·(2k＋1)·2，‎ ‎∴应增乘2(2k＋1)．‎ ‎9．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为_______________________________________________．‎ 答案　1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)·(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2‎ ‎10．证明：假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何 n∈N＋等式都成立．‎ 以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N＋)”的过程中的错误为________________________________________________________________________．‎ 答案　缺少步骤归纳奠基 ‎11．已知n∈N＋，求证1·22－2·32＋…＋(2n－1)·(2n)2－2n(2n＋1)2＝－n(n＋1)(4n＋3)．‎ 证明　(1)当n＝1时，左边＝4－18＝－14＝(－1)×2×7＝右边．‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N＋)时成立，‎ 即1·22－2·32＋…＋(2k－1)·(2k)2－2k·(2k＋1)2＝－k(k＋1)(4k＋3)．‎ 当n＝k＋1时，1·22－2·32＋…＋(2k－1)·(2k)2－2k·(2k＋1)2＋(2k＋1)·(2k＋2)2－(2k＋2)·(2k＋3)2‎ ‎＝－k(k＋1)(4k＋3)＋(2k＋2)[(2k＋1)(2k＋2)－(2k＋3)2]‎ ‎＝－k(k＋1)(4k＋3)＋2(k＋1)·(－6k－7)‎ ‎＝－(k＋1)(k＋2)(4k＋7)‎ ‎＝－(k＋1)·[(k＋1)＋1][4(k＋1)＋3]，‎ 即当n＝k＋1时成立．‎ 由(1)(2)知，对一切n∈N＋，结论成立．‎ ‎12．已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N＋)，Sn为数列{an}的前n项和．‎ ‎(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；‎ ‎(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．‎ ‎(1)解　a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，‎ a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，‎ 猜想an＝.‎ ‎(2)证明　①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，公式成立．‎ ‎②假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时成立，即ak＝5×2k－2，‎ 当n＝k＋1时，由已知条件和假设有 ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋a3＋…＋ak ‎＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2.‎ ‎＝5＋＝5×2k－1.‎ 故n＝k＋1时公式也成立．‎ 由①②可知，对n≥2，n∈N＋，有an＝5×2n－2.‎ 所以数列{an}的通项公式为 an＝.‎ 三、探究与拓展 ‎13．设数列 {an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N＋，且S3＝15.‎ ‎(1)求a1，a2，a3的值；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ 解　(1)由题意知S2＝4a3－20，‎ ‎∴S3＝S2＋a3＝5a3－20.‎ 又S3＝15，∴a3＝7，S2＝4a3－20＝8.‎ 又S2＝S1＋a2＝(2a2－7)＋a2＝3a2－7，‎ ‎∴a2＝5，a1＝S1＝2a2－7＝3.‎ 综上知，a1＝3，a2＝5，a3＝7.‎ ‎(2)由(1)猜想an＝2n＋1，下面用数学归纳法证明．‎ ‎①当n＝1时，结论显然成立；‎ ‎②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，ak＝2k＋1，‎ 则Sk＝3＋5＋7＋…＋(2k＋1)＝ ‎＝k(k＋2)．‎ 又Sk＝2kak＋1－3k2－4k，‎ ‎∴k(k＋2)＝2kak＋1－3k2－4k，‎ 解得2ak＋1＝4k＋6，‎ ‎∴ak＋1＝2(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时，结论成立．‎ 由①②知，任意n∈N＋，an＝2n＋1.‎