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2017-2018学年山西省晋中市榆社中学高二(上)期中数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)已知集合,则A∩B=( )
A.(0,2] B.[0,1] C.(0,1] D.[0,2]
2.(5分)若直线与直线l2的斜率互为相反数,则l2的倾斜角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
3.(5分)设m是一条直线,α,β是两个不同的平面,给出下列条件,不能得到α⊥β的是( )
A.m⊂β,m⊥α B.m⊂α,m⊥β C.m⊥α,m⊥β D.m∥α,m⊥β
4.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S5=20,且a2,a3,a7成等比数列,则公差d=( )
A.0或3 B.3 C.0 D.2
5.(5分)某高校调查了400名大学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].则从这400名大学生中抽出1人,每周自习时间少于20小时的概率为( )
A. B. C. D.
6.(5分)两圆x2+y2﹣2my+m2﹣1=0和x2+y2﹣4nx+4n2
﹣9=0恰有一条公切线,若m∈R,n∈R,且mn≠0,则的最小值为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
7.(5分)执行如图所示的程序框图,则输出的结果为( )
A.36 B.48 C.288 D.576
8.(5分)已知a=3,b=9,c=7,d=log43,则( )
A.a<b<c<d B.d<c<a<b C.d<b<c<a D.b<a<c<d
9.(5分)若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底边长为2,AC1与底面ABCD成45°角,则三棱锥B﹣ACC1的表面积为( )
A. B. C. D.
10.(5分)将半径为4 的半圆围成一个圆锥,则该圆锥的内切球的表面积为( )
A. B. C. D.
11.(5分)函数的部分图象可能是( )
A. B. C. D.
12.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.54 B.45 C.27 D.81
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.(5分)点M(0,0,a)到点A(1,0,2)到点B(2,﹣2,1)的距离相等,则a= .
14.(5分)设x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值是 .
15.(5分)设向量,均为单位向量且夹角为120°,且(+2)•(λ﹣λ)=﹣3,则λ= .
16.(5分)过点A(a,0)作圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=4的一条切线,切点为B,若a∈[﹣8,9],则△ABC的面积S满足的概率为 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(10分)已知直线m:(a﹣1)x+(2a+3)y﹣a+6=0,n:x﹣2y+3=0.若坐标原点O到直线m的距离为,判断m与n的位置关系.
18.(12分)某公司2016年前三个月的利润(单位:百万元)如表:
月份
1
2
3
利润
2
3.9
5.5
(1)求利润y关于月份x的线性回归方程;
(2)试用(1)中求得的回归方程预测4月和5月的利润;
(3)试用(1)中求得的回归方程预测该公司2016年从几月份开始利润超过1000万?
相关公式:b=,=﹣.
19.(12分)已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,又PD⊥平面ABCD,点E是棱AD的中点,F在棱PC上
(1)证明:平面BEF⊥平面PAD
(2)试探究F在棱PC何处时使得PA∥平面BEF.
20.(12分)设向量=(﹣sinx,cosx),=(sinx,﹣3cosx),=(,函数f(x)=()•.
(1)求f(x)在上的值域;
(2)已知0<φ<π,ω>0,k>0,先将y=f(x)的图象向右平移φ个单位长度,再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,然后再把得到的图象向上平移k个单位长度,得到y=g(x)的图象,已知y=g(x)的部分图象如图所示,求的值.
21.(12分)如图,A1ABB1为圆柱的轴截面,底面圆圆心为O,C,D是底面圆周上的两个点,△ACD为等边三角形,.
(1)求三棱锥O﹣A1CD的体积;
(2)求证:OB1⊥平面A1CD.
22.(12分)已知圆与直线3x﹣4y+15=0相切.
(1)若直线l2y=﹣2x+5与圆O交于M,N两点,求|MN|;
(2)设圆O与x轴的负半轴的交点为A,过点A作两条斜率分别为k1,k2的直线交圆O于B,C两点,且k1,k2=﹣3,试证明直线BC恒过一定点,并求出该定点的坐标.
2017-2018学年山西省晋中市榆社中学高二(上)期中数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)已知集合,则A∩B=( )
A.(0,2] B.[0,1] C.(0,1] D.[0,2]
【分析】运用一次不等式的解法,化简集合A,由对数的真数大于0,化简集合B,由交集的定义,即可得到所求集合.
【解答】解:集合,
可得A={x|﹣2≤2x≤2}={x|﹣1≤x≤1},
B={x|2x﹣x2>0}={x|0<x<2},
则A∩B={x|0<x≤1}=(0,1].
故选C.
【点评】本题考查集合的交集的求法,注意运用定义法,同时考查对数的真数大于0,考查运算能力,属于中档题.
2.(5分)若直线与直线l2的斜率互为相反数,则l2的倾斜角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
【分析】由已知求得直线l1 的斜率,进一步得到直线l2的斜率,再由斜率是倾斜角的正切值求得l2的倾斜角.
【解答】解:直线的斜率为,
∵直线与直线l2的斜率互为相反数,
∴直线l2的斜率.
设l2的倾斜角为α(0°≤α<180°),
则tan,得α=60°.
故选:B.
【点评】本题考查直线的倾斜角,考查直线斜率与倾斜角的关系,是基础题.
3.(5分)设m是一条直线,α,β是两个不同的平面,给出下列条件,不能得到α⊥β的是( )
A.m⊂β,m⊥α B.m⊂α,m⊥β C.m⊥α,m⊥β D.m∥α,m⊥β
【分析】根据线面平行的性质与面面垂直的判定定理判断.
【解答】解:对于A,∵m⊥α,m⊂β,∴α⊥β;
对于B,∵m⊂α,m⊥β,∴α⊥β;
对于C,∵m⊥α,m⊥β,∴α∥β;
对于D,∵m∥α,∴存在直线n⊂α,使得m∥n,
∵m⊥β,∴n⊥β,又n⊂α,∴α⊥β.
故选C.
【点评】本题考查了面面垂直的判定定理,属于中档题.
4.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S5=20,且a2,a3,a7成等比数列,则公差d=( )
A.0或3 B.3 C.0 D.2
【分析】根据题意,由等差数列的前n项和公式可得=5a3=20,解可得a3的值,又由a2,a3,a7成等比数列,则(a3)2=(a3﹣d)(a3+4d),解可得d的值,即可得答案.
【解答】解:根据题意,等差数列{an}中,若S5=20,即=5a3=20,
则a3=4,
又由a2,a3,a7成等比数列,则(a3)2=(a3﹣d)(a3+4d),
即16=(4﹣d)(4+4d),
解可得d=3或0,
故选:A.
【点评】本题考查的等差数列的性质,关键是求出该等差数列的通项公式.
5.(5分)某高校调查了400名大学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].则从这400名大学生中抽出1人,每周自习时间少于20小时的概率为( )
A. B. C. D.
【分析】由频率分布直方图得每周自习时间少于20小时的频率为0.05.由此能出从这400名大学生中抽出1人,每周自习时间少于20小时的概率.
【解答】解:由频率分布直方图得:
每周自习时间少于20小时的频率为:0.02×2.5=0.05.
∴从这400名大学生中抽出1人,每周自习时间少于20小时的概率为:
p=0.05=.
故选:D.
【点评】本题考查频率及频率分布直方图,频率、概率等有关知识,考查运用统计知识解决简单实际问题的能力,数据处理能力和运用意识.
6.(5分)两圆x2+y2﹣2my+m2﹣1=0和x2+y2﹣4nx+4n2﹣9=0恰有一条公切线,若m∈R,n∈R,且mn≠0,则的最小值为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【分析】
由题意可得两圆相内切,根据两圆的标准方程求出圆心和半径,可得m2+4n2=4,再利用“1”的代换,使用基本不等式求得的最小值.
【解答】解:由题意可得两圆相内切,两圆的标准方程分别为x2+(y﹣m)2=1,(x﹣2n)2+y2=9,
圆心分别为(0,m),(2n,0),半径分别为1和3,
故有 =2,∴m2+4n2=4,
则=(m2+4n2)()
=(8++)≥×(8+2)=4,
当且仅当=时,等号成立,
∴的最小值为4.
故选A.
【点评】本题考查两圆的位置关系,两圆相内切的性质,圆的标准方程的特征,基本不等式的应用,得到m2+4n2=4是解题的关键和难点.
7.(5分)执行如图所示的程序框图,则输出的结果为( )
A.36 B.48 C.288 D.576
【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的S,k的值,当k=5时,满足条件,退出循环,输出S的值为576.
【解答】解:模拟执行程序框图,可得
k=1,S=1
不满足条件k≥5,S=1,k=2
不满足条件k≥5,S=4,k=3
不满足条件k≥5,S=36,k=4
不满足条件k≥5,S=576,k=5
满足条件k≥5,退出循环,输出S的值为576.
故选:D.
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,依次写出每次循环得到的S,k的值是解题的关键,属于基础题.
8.(5分)已知a=3,b=9,c=7,d=log43,则( )
A.a<b<c<d B.d<c<a<b C.d<b<c<a D.b<a<c<d
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.
【解答】解:∵a=3>b=9=3,
a==>c=7=>=3,
0=log41<d=log43<log44=1,
∴d<b<c<a.
故选:C.
【点评】本题考查三个数的大小的判断,考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是基础题.
9.(5分)若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底边长为2,AC1与底面ABCD成45°角,则三棱锥B﹣ACC1的表面积为( )
A. B. C. D.
【分析】推导出AC=CC1=2,BC1=2,三棱锥B﹣ACC1的表面积S=,由此能求出结果.
【解答】解:∵正四棱柱ACBD﹣A1C1B1D1的底面边长为2,AC1
与底面ABCD所成的角为45°,
∴AC=CC1===2,
BC1==,
∴三棱锥B﹣ACC1的表面积:
S=
=×2×2+++
=6+2+2.
故选:A.
【点评】本题考查三棱锥的表面积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题.
10.(5分)将半径为4 的半圆围成一个圆锥,则该圆锥的内切球的表面积为( )
A. B. C. D.
【分析】求出半径为4 的半圆所围成的圆锥底面圆的半径r和圆锥内切球的半径x,
再求内切球的表面积.
【解答】解:半径为4 的半圆围成一个圆锥,如图所示;
则该圆锥底面圆的半径r满足2πr=π•4,
解得r=2;
设圆锥内切球的半径为x,则=tan30°,
解得x=rtan30°=2×=,
∴内切球的表面积为
S=4π•=.
故选:B.
【点评】本题考查了圆锥与其内切球的应用问题,是中档题.
11.(5分)函数的部分图象可能是( )
A. B. C. D.
【分析】判断函数的奇偶性,排除选项,利用特殊点的位置判断即可.
【解答】解:函数是偶函数,排除A,D;
当x=2时,y=3ln<0.对应点在x轴下方,排除B,
故选:C.
【点评】本题考查函数的图象的判断,函数的奇偶性以及特殊点的位置是常用方法.
12.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.54 B.45 C.27 D.81
【分析】根据三视图可得该几何体是四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1,截取一个三棱锥B﹣A1B1C1,根据数据即可计算.
【解答】解:根据三视图可得该几何体是四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1,截取一个三棱锥B﹣A1B1C1,
则该几何体的体积为V==3×3×6﹣=45.
故选:B
【点评】本题考查了空间几何体的体积计算,由三视图还原几何体是关键.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.(5分)点M(0,0,a)到点A(1,0,2)到点B(2,﹣2,1)的距离相等,则a= ﹣2 .
【分析】利用空间两点间的距离公式列方程求出a的值.
【解答】解:根据题意,|MA|=|MB|,
∴=,
化简得﹣2a=4,
解得a=﹣2.
故答案为:﹣2.
【点评】本题考查了空间两点间的距离公式应用问题,是基础题.
14.(5分)设x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值是 4 .
【分析】作出满足不等式组的可行域,由z=2x﹣y可得y=2x﹣Z可得﹣z为该直线在y轴上的截距,截距越大,z越小,结合图形可求z的最大值
【解答】解:作出x,y满足约束条件所表示的平面区域,如图所示:
由于z=2x﹣y可得y=2x﹣z,则﹣z表示目标函数在y轴上的截距,截距越大,z越小
作直线L:y=2x,然后把直线l向平域平移,由题意可得,直线平移到A时,z最大
由可得A(2,0),此时z=4.
故答案为:4.
【点评】本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题.
15.(5分)设向量,均为单位向量且夹角为120°,且(+2)•(λ﹣λ)=﹣3,则λ= 2 .
【分析】根据平面向量的乘法运算展开解答即可.
【解答】解:∵向量,均为单位向量且夹角为120°,
∴||=||=1,
•=||•||cos120°=1×1×(﹣)=﹣,
∵(+2)•(λ﹣λ)=﹣3,
∴λ﹣2λ+λ•=λ﹣2λ﹣λ=﹣3,
解得λ=2,
故答案为:2
【点评】本题是基础题,考查向量的数量积的应用,考查计算能力.
16.(5分)过点A(a,0)作圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=4的一条切线,切点为B,若a∈[﹣8,9],则△ABC的面积S满足的概率为 .
【分析】根据题意画出图形,结合图形求出△ABC的面积,利用S的取值范围求出a的范围,再计算所求的概率值.
【解答】解:如图所示,
AB⊥BC,BC=2,
AB==,
∴△ABC的面积为
S=AB×BC=××2=;
又,
∴≤≤,
即,
解得,
∴﹣1≤a≤0或6≤a≤7;
∴所求的概率为
P==.
故答案为:.
【点评】本题考查了直线与圆的应用问题,也考查了几何概型的概率计算问题,是中档题.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(10分)已知直线m:(a﹣1)x+(2a+3)y﹣a+6=0,n:x﹣2y+3=0.若坐标原点O到直线m的距离为,判断m与n的位置关系.
【分析】设原点O到直线m的距离为d,可得,解得a,利用相互平行或垂直的直线斜率之间的关系即可判断出位置关系.
【解答】解:设原点O到直线m的距离为d,
则,解得:或,
当时,直线m的方程为x﹣2y﹣5=0,此时m∥n;
当时,直线m的方程为2x+y﹣5=0,此时m⊥n.
【点评】本题考查了相互平行或垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
18.(12分)某公司2016年前三个月的利润(单位:百万元)如表:
月份
1
2
3
利润
2
3.9
5.5
(1)求利润y关于月份x的线性回归方程;
(2)试用(1)中求得的回归方程预测4月和5月的利润;
(3)试用(1)中求得的回归方程预测该公司2016年从几月份开始利润超过1000万?
相关公式:b=,=﹣.
【分析】(1)根据公式计算、,求出线性回归方程的系数即可写出方程;
(2)根据回归方程计算x=4和5时,计算对应函数值即可;
(3)由回归方程列方程求出对应x的值即可.
【解答】解:(1)根据题意得,==2,==3.8,
,
,
故利润y关于月份x的线性回归方程是
;
(2)当x=4时,,
故可预测4月的利润为730万;
当x=5时,,
故可预测5月的利润为905万;
(3)由1.75x+0.3=10,
解得x≈5.5,
故公司2016年从6月份开始利润超过1000万.
【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题,是基础题目.
19.(12分)已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,又PD⊥平面ABCD,点E是棱AD的中点,F在棱PC上
(1)证明:平面BEF⊥平面PAD
(2)试探究F在棱PC何处时使得PA∥平面BEF.
【分析】(1)根据BE⊥AD,BE⊥PD可得BE⊥平面PAD,故而平面BEF⊥平面PAD;
(2)连结AC交BE于M,连结FM,根据线面平行可得PA∥FM,于是=
.
【解答】(1)证明:∵底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∵E是AD的中点,∴BE⊥AD.
∵PD⊥平面ABCD,BE⊂平面ABCD,
∴PD⊥BE.
又AD∩PD=D,AD⊂平面PAD,PD⊂平面PAD,
∴BE⊥平面PAD,
又BE⊂平面BEF,
∴平面BEF⊥平面PAD.
(2)解:连结AC交BE于M,连结FM.
∵PA∥平面BEF,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面BEF=FM,
∴PA∥FM.
∴,
又△AME∽△CMB,
∴.
∴.
∴F在棱PC靠近P的三等分点时,PA∥平面BEF.
【点评】本题考查了面面垂直的判定,线面平行的性质,属于中档题.
20.(12分)设向量=(﹣sinx,cosx),=(sinx,﹣3cosx),=(,函数f(x)=()•.
(1)求f(x)在上的值域;
(2)已知0<φ<π,ω>0,k>0,先将y=f(x)的图象向右平移φ个单位长度,再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,然后再把得到的图象向上平移k个单位长度,得到y=g(x)的图象,已知y=g(x)的部分图象如图所示,求的值.
【分析】(1)利用两个向量的数量积公式,三角恒等变换化简f(x)的解析式,再根据正弦函数的定义域和值域,求得f(x)在上的值域.
(2)根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,求得g(x)的解析式,从而求得的值.
【解答】解:(1)函数f(x)=()•=
===,
∵,∴,∴,∴.
(2)由题意可知,而由图可知2﹣2+k=3,即k=3.
由可得ω=2,再将点代入,
得,
解得sin2ϕ=1,又0<ϕ<π,∴.
∴,∴.
【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式,三角恒等变换,正弦函数的定义域和值域,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于中档题.
21.(12分)如图,A1ABB1为圆柱的轴截面,底面圆圆心为O,C,D是底面圆周上的两个点,△ACD为等边三角形,.
(1)求三棱锥O﹣A1CD的体积;
(2)求证:OB1⊥平面A1CD.
【分析】(1)连结BC,设CD中点为E,三棱锥O﹣A1CD的体积,由此能求出结果.
(2)连接A1E交B2O于F.推导出OF⊥EF,OB1⊥A1E,由CD⊥平面ABB1A1,得CD⊥OB1,由此能证明OB1⊥平面A1CD.
【解答】解:(1)连结BC,由△ACD为等边三角形,,
可知在△ABC中,,
设CD中点为E,,
所以.
所以三棱锥O﹣A1CD的体积:
.
证明:(2)连接A1E交B2O于F.因为,
所以=,
,
因为△OEF∽△B1A1F,且,
所以,
所以,于是OF⊥EF,OB1⊥A1E,
又知CD⊥平面ABB1A1,所以CD⊥OB1,又CD∩A1E=E,
故OB1⊥平面A1CD.
【点评】本题考查三棱锥的体积的求法,考查线面垂直的证明,考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想,是中档题.
22.(12分)已知圆与直线3x﹣4y+15=0相切.
(1)若直线l2y=﹣2x+5与圆O交于M,N两点,求|MN|;
(2)设圆O与x轴的负半轴的交点为A,过点A作两条斜率分别为k1,k2的直线交圆O于B,C两点,且k1,k2=﹣3,试证明直线BC恒过一定点,并求出该定点的坐标.
【分析】(1)圆心O到直线3x﹣4y+15=0的距离d=3=r,从而圆O:x2+y2=9.求出圆心O到直线l:y=﹣2x+5的距离,由此能出弦长|MN|.
(2)由题意A(﹣3,0),设B(x1,y1),C(x2,y2),则直线AB:y=k1(x+3),由,得,由此利用韦达定理、直线的斜率公式,结合已知条件能证明直线BC恒过一定点,并求出该定点的坐标.
【解答】解:(1)由题意知,圆心O到直线3x﹣4y+15=0的距离,
所以圆O:x2+y2=9.
又圆心O到直线l:y=﹣2x+5的距离,
所以.
证明:(2)由题意A(﹣3,0),设B(x1,y1),C(x2,y2),则直线AB:y=k1(x+3),
由,得,
所以,即,
所以.
由k1k2=﹣3得,将代替上面的k1,
同理可得,
所以,
从而直线.
即,
化简得.
所以直线BC恒过一定点,该定点为.
【点评】本题考查弦长的求法,考查直线恒过定点的证明,考查圆、直线方程、点到直线的距离公式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,是中档题.