数学卷·2018届内蒙古杭锦后旗奋斗中学高三上学期第二次月考数学（理）试题（解析版） 13页

奋斗中学2017—2018－1高三年级第二次月考试题 数　学（理）‎ 一．选择题（共12小题，每题5分）‎ ‎1.是虚数单位,复数，在复平面上的对应点在　(　　)‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：对于在复平面中对应的点为，,可知在平面上的对应点为，在第四象限．‎ 考点：复数的四则运算，复数的几何意义．‎ ‎2. 设集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ‎ ‎ ‎ 选B ‎3. 已知，均为非零向量，条件：，条件：与的夹角为锐角，则是成立的（ ）‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：当时，与的夹角为锐角或与同向；故条件条件，为假命题，即是成立的不充分条件；而当与的夹角为锐角时，一定成立，即条件条件，为真命题，即是成立的必要条件；是成立的必要不充分条件，故选C.‎ 考点：1、向量的夹角及平面向量夹角余弦公式；2、充分条件与必要条件.‎ ‎【方法点睛】本题向量的数量积与其夹角的关系主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、‎ 性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题.‎ ‎4. 若| ， 且 ，则与的夹角是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 选B ‎ ‎5. 如果的终边过点，那么=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎∴ 属于第四象限角， ‎ 故选：D．‎ ‎6. 已知，则的大小关系（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由对数函数的性质可得 ，由指数函数的性质可得，所以，，故选A.‎ ‎7. 在中，若，则是（ ）‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】将已知条件变形可得，展开整理得 或，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，选D.‎ 点睛：在解三角形中关于判断三角形形状的题目，可将已知条件都转化为三角形的三边或三角后求解，若都转化为边，则借助于三角形的余弦定理的变形，如，通过的正负来确定角的范围，从而确定三角形形状，若都转化为角，则利用三角函数公式将其化简，求得角的大小，亦可确定三角形形状.‎ ‎8. 已知等差数列中，，则的前项和的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ，所以通项公式，当 ，解得 即 ，即前项和最大，，故选C.‎ ‎9. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了(　　)‎ A. 192 里 B. 96 里 C. 48 里 D. 24 里 ‎【答案】B ‎【解析】记每天走的路程里数为，易知是公比为的等比数列，由题意知，故选B.‎ ‎10. 若， 为自然对数的底数，则下列各式中一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】,构造函数,解得,即在上单增, 在上单减,故由无法判断的大小;,构造函数,即在单调递增,所以由,可得,故选C.‎ ‎11. 已知是函数在上的所有零点之和，则的值为（ ）‎ A. 4 B. 6 C. 8 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以，因为，所以函数零点有偶数个，两两关于对称.当时，，且单调递减；，且在上有两个周期，因此当时，与有4个不同的交点；从而所有零点之和为，选C.‎ 点睛：对于确定方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．‎ ‎12. 已知函数，在区间上任取三个数均存在以为边长的三角形，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：，函数在区间时，时，，时，所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，所以函数的最小值是，最大值是，端点值 ‎，因为在区间上任取三个数均存在以，，为边长的三角形，所以只需满足，即，解得，故选D．‎ 考点：导数的应用 ‎【思路点睛】考察了导数的应用，属于中档题型，当考察导数的应用时，离不开求函数的导数，求极值点并确定函数的单调性，最后确定最值的问题，但如何满足在区间上任取三个数均存在以，，为边长的三角形，因为三角形的任两边之和要大于第三边，所以转化为区间上的最小值+最小值>最大值，那么就满足了任两边和大于第三边，所以问题转化为求函数在区间的最大值与最小值，问题就迎刃而解了．‎ 二．填空题（共4小题，每题5分）‎ ‎13. 命题：“”的否定是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】命题是特称命题，则命题的否定是全称命题， 则命题的否定是 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题，以及全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．‎ ‎14. 设，则的值为__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由，得，，所以.‎ ‎15. 已知， ，则的值为__________．‎ ‎【答案】-‎ ‎【解析】 ‎ 则 ，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎16. 给出下列三个命题:‎ ‎①函数有无数个零点；‎ ‎②已知平面内一点及,若,则点在线段上；‎ ‎③设连续掷两次骰子得到的点数分别为， ，令平面向量， ，则事件“”发生的概率为.‎ 其中正确命题的序号是__________．‎ ‎【答案】123‎ ‎【解析】①时，函数 ，故命题正确；‎ ‎②由 ，故点在线段上；正确；‎ ‎③由题 故的所有情况有36种，事件“ ”发生即有 共三种1情况，故事件“ ”发生的概率为.，命题正确 故答案为①②③‎ 三．解答题 ‎17. 已知的内角的对边分别为，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，且成等差数列，求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题中所给的二次齐次方程结合余弦定理整理可得.‎ ‎(2)由题意结合余弦定理可得：，然后利用正弦定理角化边可得，据此可得，然后利用三角形面积公式可得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由，可得.‎ 所以，即.‎ ‎（2）因为，，所以 ‎，又成等差数列，‎ 由正弦定理，得，所以 ，所以.‎ 由，得，所以的面积.‎ ‎18. 已知，且.将表示为的函数，若记此函数为，‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）将的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数在上的最大值与最小值.‎ ‎【答案】（1）单调递增区间为（2）最大值为3，最小值为0.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据向量的垂直关系求出 的解析式，结合三角函数的性质求出函数的递增区间即可； （2）求出 的解析式，根据自变量的范围，以及三角函数的性质求出函数的最大值和最小值即可．‎ 试题解析：（1）由得，‎ 所以. ‎ 由得， ‎ 即函数的单调递增区间为 ‎ ‎（2）由题意知 ‎ 因为， ‎ 故当时， 有最大值为3； ‎ 当时， 有最小值为0. ‎ 故函数在上的最大值为3，最小值为0.‎ ‎19. 已知等差数列的前项和为，且满足， .‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】【试题分析】（1）先依据题设，及等差数列前项和公式建立方程组求出公差，再运用等差数列的通项公式求出通项公式；（2）依据题设条件及（1）的结论求出等差数列的前项和，求出，进而运用列项相消法求出：‎ 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，‎ 由，得，‎ 则有，‎ 所以，‎ 故（）.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ 则 所以 ‎20. 设数列的前项和，满足，且成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）数列的前项和，求. .‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由条件满足，求得数列为等比数列，且公比，再根据成等差数列，求得首项的值，进而可得数列的通项公式；（2）根据，利用等比数列的前项和公式求得数列的前项和为.‎ 试题解析：（1）由已知，由，‎ 即，‎ 从而，‎ 又因为成等差数列，所以，‎ 所以，解得.‎ 所以数列是首项为，公比为的等比数列 所以 .‎ ‎（2）由（1）得，所以.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎(1)当时，求函数的图象在点(1， )处的切线方程；‎ ‎(2)讨论函数的单调区间.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）求出时函数的导数，求出切点和切线的斜率，由点斜 式方程，即可得到切线方程；‎ ‎（2）首先求出函数的定义域，再对 求导，分类讨论判断函数的单调性即可；‎ 试题解析：(Ⅰ)当时, ‎ 又 函数的图象在点(1， )处的切线方程为: ,‎ 即 ‎(Ⅱ) 的定义域为，‎ 当时， 在上恒成立， 在定义域内单调递增；‎ 当时，令解得， ，‎ 则时， ， 单调递增；‎ 时， ， 单调递减；‎ 综上， 时， 的单调递增区间为； ‎ 时， 的单调递增区间为， ‎ 的单调递增区间为 ‎ ‎【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，运用导数求单调性和最值，考查分类讨论和参数分离的思想方法，应注意熟练掌握 ‎22. 已知函数，且. ‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若对任意，都有，求的取值范围；‎ ‎（3）证明函数的图象在图象的下方.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）首先求出函数的定义域，再对 求导，代入 ，解方程可得，即可求得函数的解析式； （2）由题意可得 恒成立，即 恒成立，令 ‎，求出的导数，单调区间，求得最大值，即可得到的取值范围； （3）要证明函数的图象在图象的下方.，即证 恒成立，即证 ，即证 ，令 求得导数，得到单调性，即可得证．‎ 试题解析：（1）易知函数的定义域 所以 ，又 ； ‎ ‎（2）若对任意的 ，都有 即 恒成立，即 恒成立 令，则 ‎ 当 时，所以 单调递增； 当 时，所以单调递减；‎ ‎ 时，有最大值 ，即 的取值范围为 （3）要证明函数的图象在图象的下方.，即证 恒成立，即 由（2）可得： ，所以 ‎ 要证明 ，只要证明 ，即证 令 则 当 时， 所以 单调递增， 即 所以 从而得到 ， 所以函数的图象在图象的下方 ‎【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查恒成立思想的运用和参数分离方法，以及构造函数法，解题时注意分析法证明不等式的运用．‎ ‎ ‎ ‎ ‎