高中数学选修2-2教案第五章 2_2 7页

‎2．2　复数的乘法与除法 明目标、知重点 ‎1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算．‎ ‎2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．‎ ‎3．理解共轭复数的概念．‎ ‎1．复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，‎ 则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.‎ ‎2．复数乘法的运算律 对任意复数z1、z2、z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1‎ 结合律 ‎(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)‎ 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3‎ ‎3.共轭复数 如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用表示．即z＝a＋bi，则＝a－bi.‎ ‎4．复数的除法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，‎ 则＝＝＋i.‎ ‎ [情境导学]‎ 我们学习过实数的乘法运算及运算律，那么复数的乘法如何进行运算，复数的乘法满足运算律吗？‎ 探究点一　复数乘除法的运算 思考1　怎样进行复数的乘法？‎ 答　两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．‎ 思考2　复数的乘法与多项式的乘法有何不同？‎ 答　复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1.‎ 例1　计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；‎ ‎(2)(3＋4i)(3－4i)；(3)(1＋i)2.‎ 解　(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)‎ ‎＝－20＋15i；‎ ‎(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25；‎ ‎(3)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.‎ 反思与感悟　复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．‎ 跟踪训练1　计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2.‎ 解　(1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；‎ ‎(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.‎ 思考3　如何理解复数的除法运算法则？‎ 答　复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．‎ 例2　计算：(1)＋；‎ ‎(2)()6＋.‎ 解　(1)原式＝＋＝＋＝＋＝；‎ ‎(2)方法一　原式＝[]6＋ ‎＝i6＋＝－1＋i.‎ 方法二　(技巧解法)‎ 原式＝[]6＋ ‎＝i6＋＝－1＋i.‎ 反思与感悟　复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．‎ 跟踪训练2　计算：(1)；(2).‎ 解　(1)＝＝＝1－i.‎ ‎(2)＝＝＝－1－3i.‎ 探究点二　共轭复数及其应用 思考1　像3＋4i和3－4i这样的两个复数我们称为互为共轭复数，那么如何定义共轭复数呢？‎ 答　一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数．通常记复数z的共轭复数为.虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数．‎ 思考2　复数a＋bi的共轭复数如何表示？这两个复数之积是实数还是虚数？‎ 答　复数a＋bi的共轭复数可表示为a－bi，由于 (a＋bi)·(a－bi)＝a2＋b2 ，所以两个共轭复数之积为实数．‎ 思考3　共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？‎ 答　(1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．‎ ‎(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．‎ ‎(3)若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．‎ 思考4　z·与|z|2和||2有什么关系？‎ 答　z·＝|z|2＝||2.‎ 例3　已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数.‎ 解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi且|z|＝＝1，即a2＋b2＝1.①‎ 因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是纯虚数，‎ 所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.②‎ 由①②联立，解得或 所以＝－i，或＝－＋i.‎ 反思与感悟　本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点．‎ 跟踪训练3　已知复数z满足：z·＋2iz＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和．‎ 解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·＝a2＋b2，‎ ‎∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，‎ 即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴a＋b＝4，∴复数z的实部与虚部的和是4.‎ ‎1．设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于(　　)‎ A．－i B．i C．－1 D．1‎ 答案　A 解析　z＝＝－i.‎ ‎2．已知集合M＝{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z等于(　　)‎ A．－2i B．2i C．－4i D．4i 答案　C 解析　由M∩N＝{4}得zi＝4，z＝＝－4i.‎ ‎3．复数等于(　　)‎ A．i B．－i C．－－i D．－＋i 答案　A ‎4．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　因为z＝＝＝，故复数z对应的点在第四象限，选D.‎ ‎[呈重点、现规律]‎ ‎1．复数代数形式的乘除运算 ‎(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．‎ ‎(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．‎ ‎2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．‎ ‎3．复数问题实数化思想．‎ 复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化．‎ 一、基础过关 ‎1．复数－i＋等于(　　)‎ A．－2i B.i C．0 D．2i 答案　A 解析　－i＋＝－i－＝－2i，选A.‎ ‎2．i为虚数单位，＋＋＋等于(　　)‎ A．0 B．2i C．－2i D．4i 答案　A 解析　＝－i，＝i，＝－i，＝i，‎ ‎∴＋＋＋＝0.‎ ‎3．已知复数z满足(3＋4i)z＝25，则z等于(　　)‎ A．－3＋4i B．－3－4i C．3＋4i D．3－4i 答案　D 解析　方法一　由(3＋4i)z＝25，‎ 得z＝＝＝3－4i.‎ 方法二　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(3＋4i)(a＋bi)＝25，即3a－4b＋(4a＋3b)i＝25，所以解得故z＝3－4i.‎ ‎4．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　＋(1＋i)2＝＋i＋(－2＋2i)‎ ‎＝－＋(2＋)i，‎ 对应点(－，2＋)在第二象限．‎ ‎5．设复数z的共轭复数是，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·是实数，则实数t＝________.‎ 答案　 解析　∵z2＝t＋i，∴＝t－i.‎ z1·＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i，‎ 又∵z1·∈R，∴4t－3＝0，∴t＝.‎ ‎6．若z＝，则复数＝________.‎ 答案　2＋i 解析　z＝＝2－i，∴＝2＋i.‎ ‎7．计算：(1)＋()2 010；‎ ‎(2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)．‎ 解　(1)＋()2 010＝＋() 1 005‎ ‎＝i(1＋i)＋()1 005＝－1＋i＋(－i)1 005‎ ‎＝－1＋i－i＝－1.‎ ‎(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)‎ ‎＝22－14i＋25－25i＝47－39i.‎ 二、能力提升 ‎8．设复数z满足(1－i)z＝2i，则z等于(　　)‎ A．－1＋i B．－1－i C．1＋i D．1－i 答案　A 解析　由已知得z＝＝＝－1＋i.‎ ‎9．复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为(　　)‎ A．2＋i B．2－i C．5＋i D．5－i 答案　D 解析　由(z－3)(2－i)＝5得，z－3＝＝2＋i，‎ ‎∴z＝5＋i，∴＝5－i.‎ ‎10．设复数i满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．‎ 答案　1‎ 解析　由i(z＋1)＝－3＋2i得到z＝－1＝2＋3i－1＝1＋3i.‎ ‎11．已知复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，求z及.‎ 解　因为(1＋2i)z＝4＋3i，‎ 所以z＝＝＝2－i，故＝2＋i.‎ 所以＝＝＝＝－i.‎ ‎12．设z是虚数，w＝z＋是实数，且－1