高中数学选修2-2教案第一章 2 10页

明目标、知重点 ‎1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．‎ ‎2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．‎ ‎1．综合法的含义 从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这样的思维方法称为综合法．‎ ‎2．分析法的含义 从求证的结论出发，一步步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．这样的思维方法称为分析法．‎ ‎[情境导学]‎ 证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．‎ 探究点一　综合法 思考1　请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？‎ 已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.‎ 证明　因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.‎ 又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.‎ 因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.‎ 小结　此证明过程运用了综合法．‎ 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．‎ 思考2　综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？‎ 答　因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理．‎ 例1　在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．‎ 证明　由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C，①‎ 由于A，B，C为△ABC的三个内角，‎ 所以A＋B＋C＝π.②‎ 由①②，得B＝，③‎ 由a，b，c成等比数列，有b2＝ac，④‎ 由余弦定理及③，‎ 可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，‎ 再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，‎ 从而a＝c，所以A＝C.⑤‎ 由②③⑤，得A＝B＝C＝，‎ 所以△ABC为等边三角形．‎ 反思与感悟　综合法的证明步骤如下：‎ ‎(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；‎ ‎(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．‎ 跟踪训练1　在△ABC中，＝，证明：B＝C.‎ 证明　在△ABC中，由正弦定理及已知条件得 ＝.‎ 于是sin Bcos C－cos Bsin C＝0，‎ 即sin(B－C)＝0，因为－π0，b>0)是怎样证明的？‎ 答　要证≥，‎ 只需证a＋b≥2，‎ 只需证a＋b－2≥0，‎ 只需证(－)2≥0，‎ 因为(－)2≥0显然成立，所以原不等式成立．‎ 思考2　证明过程有何特点？‎ 答　从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．‎ 小结　分析法定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)为止，这种证明方法叫做分析法．‎ 思考3　综合法和分析法的区别是什么？‎ 答　综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件．‎ 例2　求证：－<－(a≥3)．‎ 证明　方法一　要证－<－，‎ 只需证＋<＋，‎ 只需证(＋)2<(＋)2，‎ 只需证2a－3＋2<2a－3＋2，‎ 只需证<，‎ 只需证0<2，而0<2显然成立，‎ 所以 －<－(a≥3)．‎ 方法二　因为＋>＋>0，‎ 所以<，‎ 所以－<－.‎ 反思与感悟　当已知条件和结论联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，用结论反推的方法．‎ 跟踪训练2　求证：＋<2.‎ 证明　因为＋和2都是正数，‎ 所以要证＋<2，只需证(＋)2<(2)2，‎ 展开得10＋2<20，‎ 只需证<5，只需证21<25，‎ 因为21<25成立，所以＋<2成立．‎ 探究点三　综合法和分析法的综合应用 思考　在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？‎ 答　对思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论Q；再根据结构的特点去转化条件，得到中间结论P.若P⇒Q，则结论得证．‎ 例3　已知α，β≠kπ＋(k∈Z)，且 sin θ＋cos θ＝2sin α，　　　　　　 ①‎ sin θcos θ＝sin2β. ②‎ 求证：＝.‎ 证明　因为(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1，‎ 所以将①②代入，可得 ‎4sin2α－2sin2β＝1. ③‎ 另一方面，要证＝，‎ 即证＝，‎ 即证cos2α－sin2α＝(cos2β－sin2β)，‎ 即证1－2sin2α＝(1－2sin2β)，‎ 即证4sin2α－2sin2β＝1.‎ 由于上式与③相同，于是问题得证．‎ 反思与感悟　用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则综合法和分析法的综合应用可用框图表示为：‎ →→…→←…←← 跟踪训练3　若tan(α＋β)＝2tan α，求证：3sin β＝sin(2α＋β)．‎ 证明　由tan(α＋β)＝2tan α 得＝，‎ 即sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.①‎ 要证3sin β＝sin(2α＋β)，‎ 即证3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，‎ 即证3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]‎ ‎＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，‎ 化简得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.‎ 这就是①式．所以，命题成立．‎ ‎1．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么(　　)‎ A．x<x>0，且x＋y＝1，∴设y＝，x＝，‎ 则＝，2xy＝，∴x<2xy<b>0时，才有a2>b2，‎ ‎∴只需证：＋<＋，‎ 即证：(＋)2<(＋)2.‎ ‎3．已知＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．‎ 证明　要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，‎ 只需证＝3，只需证＝3，‎ 只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，‎ 只需证tan α＝－，‎ ‎∵＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，‎ 即2tan α＝－1.∴tan α＝－显然成立，‎ ‎∴结论得证．‎ ‎[呈重点、现规律]‎ ‎1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．‎ ‎2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．‎ ‎3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．‎ 一、基础过关 ‎1．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是(　　)‎ A．若a>b，则ac2>bc2‎ B．若>，则a>b C．若a3>b3且ab<0，则> D．若a2>b2且ab>0，则< 答案　C 解析　对于A：若c＝0，则A不成立，故A错；对于B：若c<0，则B不成立，B错；对于C：若a3>b3且ab<0，则，所以>，故C对；对于D：若，则D不成立．‎ ‎2．A、B为△ABC的内角，A>B是sin A>sin B的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　由正弦定理＝＝2R，又A、B为三角形的内角，∴sin A>0，sin B>0，∴sin A>sin B⇔2Rsin A>2Rsin B⇔a>b⇔A>B.‎ ‎3．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，mβ，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 答案　B 解析　若l⊥α，mβ，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确；‎ 若l⊥α，mβ，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；‎ 若l⊥α，mβ，α⊥β，l与m可能平行、相交或异面，③不正确；‎ 若l⊥α，mβ，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确．‎ ‎4．设a，b∈R＋，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　)‎ A．1≤ab≤ B．ab<1< C．ab<<1 D.ab.‎ 又因为a＋b＝2>2，‎ 故ab<1，＝＝2－ab>1，‎ 即>1>ab.‎ ‎5．已知函数y＝f(x)(x∈R)，对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)>g(x)恒成立，则实数b的取值范围是________．‎ 答案　(2，＋∞)‎ 解析　由已知得 ＝3x＋b，‎ 所以h(x)＝6x＋2b－.‎ h(x)>g(x)恒成立，即6x＋2b－>，‎ ‎3x＋b>恒成立．‎ 在同一坐标系内，画出直线y＝3x＋b及半圆y＝(如图所示)，‎ 可得>2，即b>2，故答案为(2，＋∞)．‎ ‎6．已知p＝a＋(a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，则p、q的大小关系为________．‎ 答案　p>q 解析　p＝a－2＋＋2≥2·＋2＝4，－a2＋4a－2＝2－(a－2)2<2，∴q<22＝4≤p.‎ ‎7．在△ABC中，三边a，b，c成等比数列，求证：acos2＋ccos2≥b.‎ 证明　∵左边＝＋ ‎＝(a＋c)＋(acos C＋ccos A)‎ ‎＝(a＋c)＋(a·＋c·)‎ ‎＝(a＋c)＋b≥＋ ‎＝b＋＝b＝右边．‎ ‎∴acos2＋ccos2≥b.‎ 二、能力提升 ‎8．已知a，b为非零实数，则使不等式：＋≤－2成立的一个充分不必要条件是(　　)‎ A．ab>0 B．ab<0‎ C．a>0，b<0 D．a>0，b>0‎ 答案　C 解析　∵与同号，‎ 由＋≤－2，知<0，<0，‎ 即ab<0.又若ab<0，则<0，<0.‎ ‎∴＋＝－ ‎≤－2＝－2，‎ 综上，ab<0是＋≤－2成立的充要条件，‎ ‎∴a>0，b<0是＋≤－2成立的一个充分不必要条件．‎ ‎9．已知a、b、c∈R，且a＋b＋c＝0，abc>0，则＋＋的值(　　)‎ A．一定是正数 B．一定是负数 C．可能是0 D．正、负不能确定 答案　B 解析　∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝0，‎ 又abc>0，∴a，b，c均不为0，∴a2＋b2＋c2>0.‎ ‎∴ab＋bc＋ca<0，∴＋＋＝<0.‎ ‎10.如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．‎ 答案　对角线互相垂直 解析　本题答案不唯一，要证A1C⊥B1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1⊥CC1，故只需证B1D1⊥A1C1即可．‎ ‎11．若－10.(*)‎ 因为－10)，求证：以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切．‎ 证明　(如图)作AA′、BB′垂直于准线，取AB的中点M，作MM′垂直于准线．‎ 只需证|MM′|＝|AB|.‎ 由抛物线的定义：‎ ‎|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，‎ 所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|.‎ 因此只需证|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)，‎ 根据梯形的中位线定理可知上式是成立的．‎ 所以以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切．‎ 三、探究与拓展 ‎13．已知a、b、c是不全相等的正数，且0abc.‎ 由公式≥>0，≥>0，‎ ≥>0.又∵a，b，c是不全相等的正数，‎ ‎∴··>＝abc.‎ 即··>abc成立．‎ ‎∴logx＋logx＋logx