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- 2021-06-19 发布
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1.3
相似三角形的判定及性质
第一课时 相似三角形的判定
1.
掌握证明两个三角形相似的方法,正确选择好的方法.
2.
能应用三角形相似解决有关问题
.
1
.相似比:
__________________
的两个三角形叫做相似三角形,相似三角形
____________________
叫做相似比
(
或相似系数
)
.
2
.判定定理
1
:对于任意两个三角形,如果一个三角形的
____________
与另一个三角形的
____________
对应相等,那么这两个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似.
3
.判定定理
2
:对于任意两个三角形,如果一个三角形的
________
与另一个三角形的
____________
对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
1
.对应角相等、对应边成比例 对应边的比值
2
.两个角 两个角
3
.两边 两边
4
.判定定理
3
:对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边
__________
,那么这两个三角形相似.简述为:三边对应成比例,两三角形相似.
5
.定理:
(1)
如果两个直角三角形有一个
________
相等,那么它们相似.
(2)
如果两个直角三角形的
__________
对应成比例,那么它们相似.
6
.定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应
__________
,那么这两个直角三角形
__________
.
4
.对应成比例
5
.锐角对应 两条直角边
6
.成比例 相似
如图所示,已知在△
ABC
中,
AB
=
AC
,∠
A
=
36°
,
BD
是∠
B
的角平分线,试利用三角形相似的关系证明:
AD
2
=
DC
·
AC
.
分析:
有一个角是
36°
的等腰三角形,它的底角是
72°
,而
BD
是底角的平分线,所以∠
CBD
=
36°
,则可推出△
ABC
∽△
BCD
,进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系.
证明:
∵∠
A
=
36°
,
AB
=
AC
,
∴∠
ABC
=∠
C
=
72°.
又∵
BD
平分∠
ABC
,
∴∠
ABD
=∠
CBD
=
36°.
∴
AD
=
BD
=
BC
,且△
ABC
∽△
BCD
.
∴
BC
∶
AB
=
CD
∶
BC
.
∴
BC
2
=
AB
·
CD
, ∴AD=BC,AB=AC.
∴
AD
2
=
AC
·
CD
.
如图所示,已知在△
ABC
中,
AB
=
AC
,
AD
是
BC
边上的中线,
CF
∥
BA
,
BF
交
AD
于点
P
,交
AC
于点
E
.
求证:
BP
2
=
PE
·
PF
.
证明:
如图
,
连接
PC
,在△
ABC
中,
∵
AB
=
AC
,
D
为
BC
中点,
∴
AD
垂直平分
BC
.
∴
PB
=
PC
,∠
1
=∠
2.
∵
AB
=
AC
,∴∠
ABC
=∠
ACB
.
∴∠
ABC
-∠
1
=∠
ACB
-∠
2.
∴∠3
=∠
4.
∵
CF∥AB
,
∴∠
3
=∠
F
.∴∠4
=∠
F
.
又∵∠
EPC
=∠
CPF
.
∴△
PCE
∽△
PFC
.
∴
=
.
∴
PC
2
=
PE
·
PF
.
∵
PC
=
PB
.
∴
PB
2
=
PE
·
PF
.
如图所示,在△
ABC
中,∠
ACB
=
90°
,
CD
⊥
AB
于点
D
,
AE
是∠
CAB
的角平分线,
CD
与
AE
相交于点
F
,
EG
⊥
AB
于点
G
.
求证:
EG
2
=
FD
·
EB
.
证明:
∵∠
ACE
=
90°
,
CD
⊥
AB
,
∴∠
CAE
+∠
AEC
=
90°
,∠
FAD
+∠
AFD
=
90°.
∵∠
AFD
=∠
CFE
,
∴∠
FAD
+∠
CFE
=
90°.
又∵∠
CAE
=∠
FAD
,
∴∠
AEC
=∠
CFE
,∴
CF
=
CE
.
∵
AE
是∠
CAB
的平分线,
EG
⊥
AB
,
EC
⊥
AC
,
∴
EC
=
EG
,∴
CF
=
EG
.
∵∠
B
+∠
CAB
=
90°
,
∠
ACF
+∠
CAB
=
90°
,
∴∠
ACF
=∠
B
.
1
.下列命题正确的是
(
)
A
.有两边成比例及一个角相等的两个三角形相似
B
.有两边成比例的两个等腰三角形相似
C
.有三边分别对应平行的两个三角形相似
D
.有两边及一边上的高对应成比例的两个三角形相似
C
2
.如图所示,△
ABC
∽△
AED
∽△
AFG
,
DE
是△
ABC
的中位线,△
ABC
与△
AFG
的相似比是
3∶2
,则△
ADE
与△
AFG
的相似比是
(
)
A
.
3∶4
B
.
4∶3
C
.
8∶9
D
.
9∶8
3
.如图所示,
AD
∥
EF
∥
BC
,
GH
∥
AB
,则图中与△
BOC
相似的三角形有
(
)
A
.
1
个
B
.
2
个
C
.
3
个
D
.
4
个
C
4
.如图所示,在
▱
ABCD
中,直线
EH
与
CB
、
CD
的延长线分别交于点
H
、
E
,
EH
与
AD
、
AB
分别交于点
F
、
G
,则图中相似三角形的对数是
(
)
A
.
3
对
B
.
4
对
C
.
5
对
D
.
6
对
B
5
.如图所示,小正方形的边长均为
1
,则下列图中的三角形
(
阴影部分
)
与
△
ABC
相似的是
(
)
A
6
.如图所示,在△
ABC
中,点
M
在
BC
上,点
N
在
AM
上,
CM
=
CN
,且 =
.
下列结论正确的是
(
)
A
.△
ABM
∽△
ACB
B
.△
ANC
∽△
AMB
C
.△
ANC
∽△
ACM
D
.△
CMN
∽△
BCA
B
7
.如图所示,在△
ABC
中,
P
为
AB
上一点,在下列四个条件中:①∠
ACP
=∠
B
;②∠
APC
=∠
ACB
;③
AC
2
=
AP
·
AB
;④
AB
·
CP
=
AP
·
CB
,能满足△
APC
和△
ACB
相似的条件是
(
)
A
.①②④
B
.①③④
C
.②③④
D
.①②③
D
8
.如图所示,△
ABC
的三边长是
2
、
6
、
7
,△
DEF
的三边长是
4
、
12
、
14
,且△
ABC
与△
DEF
相似,则∠
A
=∠
____
,∠
B
=∠
____
,∠
C
=∠
______.
= = =
______.
9
.如图所示,
DE
∥
BC
,则△
ADE
∽△______
,∠
A
=∠
______
、∠
ADE
=∠
____
,∠
AED
=∠
C
.
设
AD
=
5
,
DB
=
3
,则△
ADE
与△
ABC
的相似比是
______
.
答案:
ABC
A
B
10
.如图所示,
BD
、
CE
是△
ABC
的高,
BD
、
CE
交于点
F
,写出图中所有与△
ACE
相似的三角形:
__________.
10
.△
FCD
、△
FBE
、△
ABD
11
.如图所示,
AB
=
8
,
AD
=
3
,
AC
=
6
,当
AE
=
____
时,△
ADE
∽△
ACB
.
4
12
.在△
ABC
(
AB
>
AC
)
的边
AB
上取一点
D
,在边
AC
上取一点
E
,使
AD
=
AE
,直线
DE
和
BC
的延长线交于点
P
,求证:
=
.
分析:
如右图,要证 =
,
可过点
C
作
CM∥AB
,证明△
CPM
∽ △
BPD
,此时只需证明
CM
=
CE
即可.
证明:
过点
C
作
CM∥AB
,交
DP
于点
M
.
∵
AD
=
AE
,∴∠
ADE
=∠
AED
.
又
AD∥CM
,∠
ADE
=∠
CME
,∠
AED
=∠
CEM
,
∴∠
CEM
=∠
CME
,∴
CE
=
CM
.
∵
CM∥BD
,∴△
CPM
∽△
BPD
,
点评:
作出辅助线,证明
CM
=
CE
是解题的关键.利用相似三角形的性质可得等积式或比例式,是解决这类问题的基本方法.解此类题一般可分为三步:①把等积式化为比例式,从而确定相关的两三角形相似;②确定两个相关的三角形的方法是:把比例式横看或竖看,将两条线段中的相同字母消去一个,由余下的字母组成三角形;③设法找到证明这两个三角形相似的条件
13
.如图所示,∠
ABC
=∠
CDB
=
90°
,
AC
=
a
,
BC
=
b
,当
BD
与
a
、
b
之间满足怎样的关系式时,△
ABC
与△
CDB
相似?
时,
△
ABC
∽△
BDC
BD
=
综上所述:
当
BD=
或 时,△
ABC
与△
BDC
相似
.
判定两个三角形相似的方法
1
.定义法,即对应边成比例、对应角相等的三角形是相似三角形.
2
.平行法,即平行于三角形一边的直线和其他两边
(
或两边延长线
)
相交,所构成的三角形与原三角形相似.
3
.判定定理:
(1)
判定定理
1
:两角对应相等,两三角形相似
.
(2)
判定定理
2
:两边对应成比例,夹角相等,两三角形相似.
(3)
判定定理
3
:三边对应成比例,两三角形相似.
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