2020届二轮复习小题考法——函数的概念与性质课时作业（全国通用） 10页

课时跟踪检测（十八） 小题考法——函数的概念与性质 A组——10＋7提速练 一、选择题 ‎1．(2019届高三·杭州四校联考)已知函数f(x)＝则f(f(4))的值为(　　)‎ A．－　　　　　　　 　B．－9‎ C． D．9‎ 解析：选C　因为f(x)＝所以f(f(4))＝f(－2)＝.‎ ‎2．已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　)‎ A．函数f(x)是偶函数 B．函数f(x)是减函数 C．函数f(x)是周期函数 D．函数f(x)的值域为[－1，＋∞)‎ 解析：选D　由函数f(x)的解析式，知f(1)＝2，f(－1)＝cos(－1)＝cos 1，f(1)≠f(－1)，则f(x)不是偶函数．当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f(x)>1；当x≤0时，f(x)＝cos x，则f(x)在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f(x) ∈[－1,1]．所以函数f(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．故选D.‎ ‎3．(2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为(　　)‎ 解析：选D　法一：令f(x)＝－x4＋x2＋2，‎ 则f′(x)＝－4x3＋2x，‎ 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝±，‎ 则f′(x)>0的解集为∪，‎ f(x)单调递增；f′(x)<0的解集为∪，f(x)单调递减，结合图象知选D.‎ 法二：当x＝1时，y＝2，所以排除A、B选项．当x＝0时，y＝2，而当x＝时，y＝－＋＋2＝2>2，所以排除C选项．故选D.‎ ‎4．已知函数f(x－1)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的图象可能是(　　)‎ 解析：选B　函数f(x－1)的图象向左平移1个单位，即可得到函数f(x)的图象．因为函数f(x－1)是定义在R上的奇函数，所以函数f(x－1)的图象关于原点对称，所以函数f(x)的图象关于点(－1,0)对称，排除A、C、D，故选B.‎ ‎5．(2019届高三·镇海中学测试)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)－3x＋a(a∈R)，则f(－2)＝(　　)‎ A．－1 B．－5‎ C．1 D．5‎ 解析：选D　因为f(x)为定义在R上的奇函数，‎ 所以f(0)＝1＋a＝0，即a＝－1.‎ 故f(x)＝log2(x＋2)－3x－1(x≥0)，‎ 所以f(－2)＝－f(2)＝5.故选D.‎ ‎6．(2018·诸暨高三期末)已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且f(x)为奇函数，g(x)的图象关于直线x＝1对称，则下列四个命题中错误的是(　　)‎ A．y＝g(f(x)＋1)为偶函数 B．y＝g(f(x))为奇函数 C．函数y＝f(g(x))的图象关于直线x＝1对称 D．y＝f(g(x＋1))为偶函数 解析：选B　由题可知 选项A，g(f(－x)＋1)＝g(－f(x)＋1)＝g(1＋f(x))，‎ 所以y＝g(f(x)＋1)为偶函数，正确；‎ 选项B，g(f(－x))＝g(－f(x))＝g(2＋f(x))，‎ 所以y＝g(f(x))不一定为奇函数，错误；‎ 选项C，f(g(－x))＝f(g(2＋x))，所以y＝f(g(x))的图象关于直线x＝1对称，正确；‎ 选项D，f(g(－x＋1))＝f(g(x＋1))，所以y＝f(g(x＋1))为偶函数，正确．‎ 综上，故选B.‎ ‎7．函数y＝＋在[－2,2]上的图象大致为(　　)‎ 解析：选B　当x∈(0,2]时，函数y＝＝，x2>0恒成立，令g(x)＝ln x＋1，则g(x)在(0,2]上单调递增，当x＝时，y＝0，则当x∈时，y＝<0，x∈时，y＝>0，∴函数y＝在(0,2]上只有一个零点，排除A、C、D，只有选项B符合题意．‎ ‎8．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)‎ A．－50 B．0‎ C．2 D．50‎ 解析：选C　法一：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，‎ ‎∴f(1－x)＝－f(x－1)．‎ 由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，‎ ‎∴f(x＋2)＝－f(x)，‎ ‎∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，‎ ‎∴函数f(x)是周期为4的周期函数．‎ 由f(x)为奇函数得f(0)＝0.‎ 又∵f(1－x)＝f(1＋x)，‎ ‎∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，‎ ‎∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.‎ 又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，‎ ‎∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，‎ ‎∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)‎ ‎＝0×12＋f(49)＋f(50)‎ ‎＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.‎ 法二：由题意可设f(x)＝2sin，作出f(x)的部分图象如图所示．由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.‎ ‎9．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>b>c)的图象经过点A(m1，f(m1))和点B(m2，f(m2))，f(1)＝0.若a2＋[f(m1)＋f(m2)]a＋f(m1)·f(m2)＝0，则(　　)‎ A．b≥0 B．b<0‎ C．‎3a＋c≤0 D．‎3a－c<0‎ 解析：选A　∵函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>b>c)，‎ 满足f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0.‎ 若a≤0，∵a>b>c，∴b<0，c<0，‎ 则有a＋b＋c<0，这与a＋b＋c＝0矛盾，∴a>0成立．‎ 若c≥0，则有b>0，a>0，‎ 此时a＋b＋c>0，这与a＋b＋c＝0矛盾，‎ ‎∴c<0成立．‎ ‎∵a2＋[f(m1)＋f(m2)]·a＋f(m1)·f(m2)＝0，‎ ‎∴[a＋f(m1)]·[a＋f(m2)]＝0，‎ ‎∴m1，m2是方程f(x)＝－a的两根，‎ ‎∴Δ＝b2－‎4a(a＋c)＝b(b＋‎4a)＝b(‎3a－c)≥0，‎ 而a>0，c<0，‎ ‎∴‎3a－c>0，∴b≥0.故选A.‎ ‎10．已知函数f(x)＝若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(1,2] B．(－∞，2]‎ C．(0,2] D．[2，＋∞)‎ 解析：选A　依题意，当x≥1时，f(x)＝1＋log2x单调递增，f(x)＝1＋log2x在区间[1，＋∞)上的值域是[1，＋∞)．因此，要使函数f(x)的值域是R，则需函数f(x)在(－∞，1)上的值域M⊇(－∞，1)．①当a－1<0，即a<1时，函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，函数f(x)在(－∞，1)上的值域M＝(－a＋3，＋∞)，显然此时不能满足M⊇(－∞，1)，因此a<1不满足题意；②当a－1＝0，即a＝1时，函数f(x)在(－∞，1)上的值域M＝{2}，此时不能满足M⊇(－∞，1)，因此a＝1不满足题意；③当a－1>0，即a>1时，函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，函数f(x)在(－∞，1)上的值域M＝(－∞，－a＋3)，由M⊇(－∞，1)得解得1时，f ＝f ，则f(0)＝________，f(6)＝________.‎ 解析：函数f(x)在[－1,1]上为奇函数，故f(0)＝0，‎ 又由题意知当x>时，f ＝f ，‎ 则f(x＋1)＝f(x)．‎ 又当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，‎ ‎∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)．‎ 又当x<0时，f(x)＝x3－1，‎ ‎∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.‎ 答案：0　2‎ ‎12．(2018·台州第一次调考)若函数f(x)＝a－(a∈R)是奇函数，则a＝________，函数f(x)的值域为____________．‎ 解析：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，‎ ‎∵f(x)是奇函数，‎ ‎∴f(－x)＝－f(x)恒成立，‎ ‎∴a－＝－恒成立，‎ ‎∴a＝＋＝＋＝＝－1.‎ ‎∴f(x)＝－1－，当x∈(0，＋∞)时，2x>1，‎ ‎∴2x－1>0，∴>0，∴f(x)<－1；‎ 当x∈(－∞，0)时，0<2x<1，‎ ‎∴－1<2x－1<0，∴<－1，‎ ‎∴－>2，∴f(x)>1，‎ 故函数f(x)的值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．‎ 答案：－1　(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ ‎13．(2018·绍兴柯桥区模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，若f(x－2)>0，则x的取值范围是________．‎ 解析：∵偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，‎ 且f(2)＝0，‎ ‎∴f(2)＝f(－2)＝0，‎ 则不等式f(x－2)>0，等价为f(|x－2|)>f(2)，‎ ‎∴|x－2|<2，‎ 即－21)，都有f(x－2)≤g(x)，则m的取值范围是________．‎ 解析：作出函数y1＝e|x－2|和y＝g(x)的图象，如图所示，由图可知当x＝1时，y1＝g(1)，又当x＝4时，y1＝e24时，由ex－2≤4e5－x，得e2x－7≤4，即2x－7≤ln 4，解得x≤＋ln 2，又m>1，‎ ‎∴10时，f(x)＝1＋x＋≥1＋2 ＝3，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，∴函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3，故①正确；函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(1)＝1＋1＋1＝3，f(－1)＝1－1－1＝－1，∴f(－1)≠－f(1)且f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)为非奇非偶函数，故②③错误；根据函数的单调性，知函数f(x)＝1＋x＋的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，故④正确；由④知，函数f(x)＝1＋x＋不是周期函数，故⑤正确．综上所述，所有正确说法的序号为①④⑤.‎ 答案：①④⑤‎ ‎16．(2018·镇海中学阶段性测试)已知函数f(x)＝ln－2，g(x)和f(x)的图象关于原点对称，将函数g(x)的图象向右平移a(a>0)个单位长度，再向下平移b(b>0)个单位长度，若对于任意实数a，平移后g(x)和f(x)的图象最多只有一个交点，则b的最小值为________．‎ 解析：由f(x)＝ln－2，知x>0，f(x)≥ln e－2＝－1，∴f(x)min＝－1，此时x＝.‎ 在同一直角坐标系中，作出f(x)，g(x)的图象(图略)，若对于任意的a，平移后g(x)和f(x)的图象最多只有一个交点，则平移后g(x)的图象的最高点不能在f(x)图象的最低点的上方，则1－b≤－1，则b的最小值为2.‎ 答案：2‎ ‎17．(2018·山东高考)若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________．‎ ‎①f(x)＝2－x；②f(x)＝3－x；③f(x)＝x3；‎ ‎④f(x)＝x2＋2.‎ 解析：设g(x)＝exf(x)，对于①，g(x)＝ex·2－x，‎ 则g′(x)＝(ex·2－x)′＝ex·2－x(1－ln 2)>0，‎ 所以函数g(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，故①符合要求；‎ 对于②，g(x)＝ex·3－x，‎ 则g′(x)＝(ex·3－x)′＝ex·3－x(1－ln 3)<0，‎ 所以函数g(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，故②不符合要求；‎ 对于③，g(x)＝ex·x3，‎ 则g′(x)＝(ex·x3)′＝ex·(x3＋3x2)，‎ 显然函数g(x)在(－∞，＋∞)上不单调，故③不符合要求；‎ 对于④，g(x)＝ex·(x2＋2)，‎ 则g′(x)＝[ex·(x2＋2)]′＝ex·(x2＋2x＋2)＝ex·[(x＋1)2＋1]>0，‎ 所以函数g(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，故④符合要求．‎ 综上，具有M性质的函数的序号为①④.‎ 答案：①④‎ B组——能力小题保分练 ‎1．(2019届高三·浙江新高考名校联考)函数f(x)＝ln |x|＋x2的大致图象是(　　)‎ 解析：选A　因为f(－x)＝ln |－x|＋(－x)2＝ln |x|＋x2＝f(x)，所以f(x)是偶函数，于是其图象关于y轴对称，排除D；当x>0时，f(x)＝ln x＋x2，f′(x)＝＋x≥2，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，排除B；当x∈(0,1)时，f′(x)>2，且f′(x)是减函数，当x>1时，f′(x)>2，且f′(x)是增函数，因此，当x趋近于0或x趋近于＋∞时，曲线较陡，因此排除C.故选A.‎ ‎2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)‎ A．f(－25)0时的图象即可．对于选项A，当x>0时，f(x)＝x2－2ln x，所以f′(x)＝2x－＝，因此f(x)在x＝1处取得极小值，故A错误；对于选项B，当x>0时，f(x)＝x2－ln x，所以f′(x)＝2x－＝，因此f(x)在x＝处取得极小值，故B正确；对于选项C，当x>0时，f(x)＝x ‎－2ln x，所以f′(x)＝1－＝，因此f(x)在x＝2处取得极小值，故C错误；对于选项D，当x>0时，f(x)＝x－ln x，所以f′(x)＝1－＝，因此f(x)在x＝1处取得极小值，故D错误．故选B.‎ ‎4．定义：F(x)＝max{f(t)|－1≤t≤x≤1}，G(x)＝min{f(t)|－1≤t≤x≤1}，其中max{m，n}表示m，n中的较大者，min{m，n}表示m，n中的较小者．已知函数f(x)＝2ax2＋bx，则下列说法一定正确的是(　　)‎ A．若F(－1)＝F(1)，则f(－1)>f(1)‎ B．若G(1)＝F(－1)，则F(－1)G(1)‎ D．若G(－1)＝G(1)，则f(－1)>f(1)‎ 解析：选B　依据题意，由≤4可得f(x)＝2ax2＋bx的图象的对称轴x＝－∈[－1,1]，由F(－1)＝F(1)知f(－1)＝F(1)，F(1)为f(t)在t∈[－1,1]上的最大值，无法排除f(－1)＝f(1)的可能，所以A错误；由G(1)＝F(－1)＝f(－1)知，f(t)在t∈[－1,1]上的最小值为f(－1)，所以F(－1)＝f(－1)0)图象上一动点．若点 P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为________．‎ 解析：设P ，则|PA|2＝(x－a)2＋2＝2－‎2a＋‎2a2－2，‎ 令t＝x＋，则t≥2(x>0，当且仅当x＝1时取“＝”)，则|PA|2＝t2－2at＋‎2a2－2.‎ ‎①当a≤2时，(|PA|2)min＝22－‎2a×2＋‎2a2－2＝‎2a2－‎4a＋2，‎ 由题意知，‎2a2－‎4a＋2＝8，‎ 解得a＝－1或a＝3(舍去)．‎ ‎②当a>2时，(|PA|2)min＝a2－‎2a×a＋‎2a2－2＝a2－2.‎ 由题意知，a2－2＝8，解得a＝或a＝－(舍去)，‎ 综上知，a＝－1，.‎ 答案：－1，