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- 2021-06-19 发布
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热点探究训练(五)
平面解析几何中的高考热点问题
1.设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;
(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
[解] (1)根据c=及题设知M,=,2b2=3ac.2分
将b2=a2-c2代入2b2=3ac,
解得=,=-2(舍去).
故C的离心率为.5分
(2)由题意,原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,
所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,
故=4,即b2=4a.①
由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.8分
设N(x1,y1),由题意知y1<0,则
即10分
代入C的方程,得+=1.②
将①及c=代入②得+=1.
解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=2.12分
2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),右顶点为A,且|AF|=1.
图5
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若动直线l:y=kx+m与椭圆C有且只有一个交点P,且与直线x=4交于点Q,问:是否存在一个定点M(t,0),使得·=0.若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
【导学号:01772351】
[解] (1)由c=1,a-c=1,得a=2,∴b=,
故椭圆C的标准方程为+=1.5分
(2)由
消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
∴Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,
即m2=3+4k2.8分
设P(xP,yP),则xP=-=-,
yP=kxP+m=-+m=,即P.
∵M(t,0),Q(4,4k+m),
∴=,=(4-t,4k+m),10分
∴·=·(4-t)+·(4k+m)=t2-4t+3+(t-1)=0恒成立,故即t=1.
∴存在点M(1,0)符合题意.12分
3.如图6,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).
图6
(1)证明:动点D在定直线上;
(2)作C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2,证明:|MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值.
【导学号:01772352】
[解] (1)证明:依题意可设AB方程为y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2=-8.
直线AO的方程为y=x;BD的方程为x=x2.2分
解得交点D的坐标为
注意到x1x2=-8及x=4y1,
则有y===-2.
因此D点在定直线y=-2上(x≠0).5分
(2)依题设,切线l的斜率存在且不等于0,设切线l的方程为y=ax+b(a≠0),代入x2=4y得x2=4(ax+b),
即x2-4ax-4b=0.8分
由Δ=0得(4a)2+16b=0,化简整理得b=-a2.
故切线l的方程可写为y=ax-a2.
分别令y=2,y=-2得N1,N2的坐标为N1,N2,10分
则|MN2|2-|MN1|2=2+42-2=8,
即|MN2|2-|MN1|2为定值8.12分
4.(2016·重庆模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2=-4x的焦点相同,且椭圆C上一点与椭圆C的左、右焦点F1,F2构成的三角形的周长为2+2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l:y=kx+m(k,m∈R)与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,△AOB的重心G满足:·=-,求实数m的取值范围.
【导学号:01772353】
[解] (1)依题意得即
∴椭圆C的方程为+y2=1.4分
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).
联立得方程组消去y并整理,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,则
①6分
设△AOB的重心为G(x,y),
由·=-,可得x2+y2=. ②
由重心公式可得G,代入②式,
整理可得(x1+x2)2+(y1+y2)2=4⇒(x1+x2)2+[k(x1+x2)+2m]2=4, ③8分
将①式代入③式并整理,得m2=,代入(*)得k≠0,
则m2==1+=1+.10分
∵k≠0,∴t=>0,
∴t2+4t>0,
∴m2>1,
∴m∈(-∞,-1)∪(1,+∞).12分
5.(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O
且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.
(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;
(2)若l过点,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由.
[解] (1)证明:设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).
将y=kx+b代入9x2+y2=m2,得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故xM==,yM=kxM+b=.
于是直线OM的斜率kOM==-,即kOM·k=-9.
所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.
(2)四边形OAPB能为平行四边形.
因为直线l过点,所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0,k≠3.
由(1)得OM的方程为y=-x.7分
设点P的横坐标为xP.
由得x=,
即xP=.
将点的坐标代入直线l的方程得b=,
因此xM=.9分
四边形OAPB为平行四边形,当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即xP=2xM.
于是=2×,解得k1=4-,k2=4+.
因为ki>0,ki≠3,i=1,2,所以当直线l的斜率为4-或4+时,四边形
OAPB为平行四边形.12分
6.(2016·全国卷Ⅱ)已知A是椭圆E:+=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;
(2)当2|AM|=|AN|时,证明:0.
由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.
又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.2分
将x=y-2代入+=1得7y2-12y=0.
解得y=0或y=,所以y1=.
因此△AMN的面积S△AMN=2×××=. 5分
(2)证明:设直线AM的方程为y=k(x+2)(k>0),
代入+=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.7分
由x1·(-2)=得x1=,
故|AM|=|x1+2|=.
由题意,设直线AN的方程为y=-(x+2),
故同理可得|AN|=.9分
由2|AM|=|AN|得=,
即4k3-6k2+3k-8=0.
设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点.f′(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,所以f(t)在(0,+∞)单调递增.又f()=15-26<0,f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+∞)有唯一的零点,且零点k在(,2)内,所以<k<2. 12分