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- 2021-06-19 发布
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2019届高三一轮复习理科数学专题卷
专题五 导数及其应用
考点13:导数的概念及运算(1,2题)
考点14:导数的应用(3-11题,13-15题,17-22题)
考点15:定积分的计算(12题,16题)
考试时间:120分钟 满分:150分
说明:请将选择题正确答案填写在答题卡上,主观题写在答题纸上
第I卷(选择题)
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的。)
1.【来源】2017-2018年河北武邑中学高二理周考 考点13 易
函数的导数是( )
A. B. C. D.
2.【来源】2017-2018年河北武邑中学高二理周考 考点13 易
已知,为的导函数,则的图像是( )
3.【2017课标II,理11】 考点14 易
若是函数的极值点,则的极小值为( )
A. B. C. D.1
4.【来源】2017届湖北孝感市高三理上学期第一次统考 考点14 中难
若曲线的一条切线为,其中为正实数,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.【来源】2017届福建闽侯县三中高三上期中 考点14 难
已知函数的图象在点处的切线为,若也与函数,的图象相切,则必满足( )
A. B. C. D.
6.【来源】2017届河北磁县一中高三11月月考 考点14 易
已知函数的导数为,且对恒成立,则下列函数在实数集内一定是增函数的为( )
A. B. C. D.
7.【来源】2017届江西抚州市七校高三上学期联考 考点14 易
已知函数与的图象如图所示,则函数的递减区间为( )
A. B. C. D.
8.【来源】2017届山东省青州市高三10月段测 考点14中难
定义在上的函数满足:,,是的导函数,则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为( )
A. B.
C. D.
9.【2017课标3,理11】考点14 难
已知函数有唯一零点,则a=( )
A. B. C. D.1
10.【来源】2017届河南中原名校高三理上质检三 考点14 难
已知函数的定义域为,为函数的导函数,当时,且,.
则下列说法一定正确的是( )
A.
B.
C
D.
11.【来源】2017届辽宁沈阳二中高三理上学期期中 考点14 中难
已知函数 在上的最大值为 ,当时,恒成立,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
12.【来源】2017届辽宁盘锦高级中学高三11月月考 考点15 中难
已知,,为的导函数,若,且,则的最小值为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题)
二.填空题(每题5分,共20分)
13.【来源】2017届广东省仲元中学高三9月月考 考点14易
已知函数,求曲线在点处的切线方程____________
14.【来源】2017届广西陆川县中学高三8月月考 考点14 中难
若函数在上存在单调递增区间,则实数的取值范围是 .
15.【来源】2017届湖北襄阳四中高三七月周考二 考点14 中难
若函数在其定义域内的一个子区间内存在极值,则实数的取值范围 .
16.【来源】2015-2016新疆哈密地区二中高二下期末考试 考点15易
如图,阴影部分的面积是_________.
三.解答题(共70分)
17.(本题满分10分)
【来源】2017届四川遂宁等四市高三一诊联考 考点14 易
已知函数,其中为自然对数的底数,….
(Ⅰ)判断函数的单调性,并说明理由;
(Ⅱ)若,不等式恒成立,求的取值范围.
18.(本题满分12分)
【来源】2017届河南百校联盟高三文11月质监 考点14 中难
已知函数,().
(Ⅰ)记的极小值为,求的最大值;
(Ⅱ)若对任意实数恒有,求的取值范围.
19.(本题满分12分)
【来源】2017届河北唐山市高三理上学期期末 考点14中难
已知函数.
(1)求的最大值;
(2)当时,函数有最小值. 记的最小值为,求函数的值域.
20.(本题满分12分)
【来源】2017-2018学年江苏南通海安县实验中学高二上学期期中 考点14中难
已知函数.
(1)若是在定义域内的增函数,求的取值范围;
(2)若函数(其中为的导函数)存在三个零点,求的取值范围.
21.(本题满分12分)
【来源】2017届四川自贡市高三一诊考试 考点14中难
已知函数是的导数,为自然对数的底数),.
(Ⅰ)求的解析式及极值;
(Ⅱ)若,求的最大值.
22.(本题满分12分)
【2017课标1,理21】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个零点,求a的取值范围.
参考答案
1.D
【解析】由题意得,函数的导数为.
2.A
【解析】由题意得,,
所以,所以函数为奇函数,即函数的图象关于原点对称,当时,,当时,恒成立,故选A.
3.【答案】A
【解析】
4.C
【解析】设切点为,则有,,,故选C.
5.D
【解析】函数的导数,在点处的切线斜率为,切线方程为,设切线与相交的切点为,(),由的导数为可得,切线方程为,令,可得,由可得,且,解得由,可得,令
在递增,
且,则有的根,故选D.
6.D
【解析】
设,则.
对恒成立,且.在上递增.
7.D
【解析】,令即,由图可得,故函数单调减区间为,故选D.
8.A
【解析】设
在定义域上单调递增,
又∴不等式的解集为.
9.【答案】C
【解析】函数的零点满足,
设,则,
当时,,当时,,函数 单调递减,
当时,,函数 单调递增,
当时,函数取得最小值,
设 ,当时,函数取得最小值 ,
10.B
【解析】令,则.因为当时,,即,所以,所以在上单调递增.又,,所以,
所以, ,故为奇函数,所以在上单调递增,所以.即,故选B.
11.B
【解析】,所以在上是增函数,上是减函数在上恒成立, 由知,,所以恒成立等价于在,时恒成立,令,有,所以在上是增函数,有,所以.
12.C
【解析】∵,∴,∵,,∴,∴,∵,,∴,当且,即
时等号成立,故选C.
13.
【解析】,所以,切线方程为即
14.
【解析】因为函数,所以,因为在上存在单调递增区间,所以,即有解,令,则,则,所以当时,;当时,,当时,,所以.
15.
【解析】函数的定义域为,令,解得或(不在定义域内舍),所以要使函数在子区间内存在极值等价于,即,解得,答案为.
16.
【解析】由题意得,直线与抛物线,解得交点分别为和,抛物线与轴负半轴交点,设阴影部分的面积为,则
.
17.(Ⅰ)理由见解析;(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)由题可知,,则,
(i)当时,,函数为上的减函数,
(ii)当时,令,得,
② ,则,此时函数为单调递减函数;
②若,则,此时函数为单调递增函数.………………(4分)
(Ⅱ)由题意,问题等价于,不等式恒成立,
即,恒成立,
令,则问题等价于不小于函数在上的最大值.………………(6分)
由,
当时,,所以函数在上单调递减,……………………………(8分)
所以函数在的最大值为,
故,不等式恒成立,实数的取值范围为.…………(10分)
18.(Ⅰ)(Ⅱ)的取值范围是.
【解析】(Ⅰ)函数的定义域是,.在定义域上单调递增。
,得,所以的单调区间是,函数在处取极小值,
.
,当时,,在上单调递增;
当时,,在上单调递减.
所以是函数在上唯一的极大值点,也是最大值点,所以.
…………………………………………………………………………………………………………………………………….(6分)
(Ⅱ)当时,,恒成立.
当时,,即,即.
令,,,
当时,,当,故的最小值为,
所以,故实数的取值范围是.
,,,由上面可知恒成立,
故在上单调递增,所以,
即的取值范围是. ………………………………………………………………(12分)
19.(1);(2).
【解析】(1)f′(x)=(x>0),
当x∈(0,e)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
所以当x=e时,f(x)取得最大值f(e)=. ………………………………………(3分)
(2)g′(x)=lnx-ax=x(-a),由(1)及x∈(0,e]得:
①当a=时,-a≤0,g′(x)≤0,g(x)单调递减,
当x=e时,g(x)取得最小值g(e)=h(a)=-. .....................(5分)
②当a∈[0,),f(1)=0≤a,f(e)=>a,
所以存在t∈[1,e),g′(t)=0且lnt=at,
当x∈(0,t)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(t,e]时,g′(x)>0,g(x)单调递增,
所以g(x)的最小值为g(t)=h(a). ...................................(7分)
令h(a)=G(t)=-t,
因为G′(t)=<0,所以G(t)在[1,e)单调递减,此时G(t)∈(-,-1]. ...(11分)
综上,h(a)∈[-,-1]. ...........................................(12分)
20.(1)(2)
【解析】(1)因为,
所以函数的定义域为,且,
由得即对于一切实数都成立.
再令,则,令得.
而当时,当时,
所以当时取得极小值也是最小值,即.
所以的取值范围是. ……………………………………(6分)
(2)由(1)知,所以由得
,整理得.
令,则,
令,解得或.
列表得:
由表可知当时,取得极大值;
当时,取得极小值.
又当时,,,所以此时.
因此当时,;当时,;
当时,;因此满足条件的取值范围是. ……(12分)
21.(Ⅰ);的极大值为,无极小值;(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)由已知得,
令,得,
即
又,∴,
从而
∴,
又在上递增,且,
∴当时,;时,,
故为极大值点,且 …………………………………………(4分)
(Ⅱ)得,
① 当时,在上单调递增,时,
与相矛盾; ……………………………………………(5分)
②当时, ,得:当时,,
即,
∴, 令,则,
∴,,
当时,,
即当,时,的最大值为, …………………………(11分)
∴的最大值为. …………………………(12分)
22.