2019高三数学（人教B版理）一轮：单元质检卷九+解析几何 20页

单元质检卷九　解析几何 (时间:100 分钟　满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.“a=3”是“直线 ax+2y+3a=0 和直线 3x+(a-1)y=a-7 平行”的(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2017 河南焦作二模,理 8)已知 M 是抛物线 C:y2=2px(p>0)上一点,F 是抛物线 C 的焦点,若 |MF|=p,K 是抛物线 C 的准线与 x 轴的交点,则∠MKF=(　　) A.45° B.30° C.15° D.60° 3.(2017 江西新余一中模拟七,理 11)设 F 是双曲线푥2 푎2 ― 푦2 푏2=1(a>0,b>0)的右焦点,双曲线两渐近线分别 为 l1,l2,过点 F 作直线 l1 的垂线,分别交 l1,l2 于 A,B 两点,若 A,B 两点均在 x 轴上方且|OA|=3,|OB|=5,则 双曲线的离心率 e 为(　　) A. 5 2 B.2 C. 5 D. 6 4.(2017 辽宁鞍山一模,理 10)已知点 P 在抛物线 x2=4y 上,则当点 P 到点 Q(1,2)的距离与点 P 到抛物 线焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为(　　) A.(2,1) B.(-2,1) C.( -1,1 4) D.(1,1 4) 5.(2017 云南昆明一中仿真,理 5)若双曲线 M:푥2 푎2 ― 푦2 푏2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1,F2,以 F1F2 为直径的圆与双曲线 M 相交于点 P,且|PF1|=16,|PF2|=12,则双曲线 M 的离心率为(　　) A.5 4 B.4 3 C.5 3 D.5 〚导学号 21500644〛 6.(2017 河北保定二模,理 9)当双曲线 푥2 푚2 + 8 ― 푦2 6 - 2푚=1 的焦距取得最小值时,其渐近线的方程为(　　) A.y=±x B.y=±2 3x C.y=±1 3x D.y=±1 2x 7.(2017 广西南宁一模,理 11)已知双曲线 C:푥2 푎2 ― 푦2 푏2=1(a>0,b>0)的左焦点为 F(-c,0),M,N 在双曲线 C 上,O 是坐标原点,若四边形 OFMN 为平行四边形,且四边形 OFMN 的面积为 2cb,则双曲线 C 的离心率为 (　　) A. 2 B.2 C.2 2 D.2 3 8.(2017 福建厦门二模,理 6)已知 A,B 为抛物线 E:y2=2px(p>0)上异于顶点 O 的两点,△AOB 是等边三 角形,其面积为 48 3,则 p 的值为(　　) A.2 B.2 3 C.4 D.4 3 9.(2017 河南洛阳三模,理 11)已知点 A 是抛物线 x2=4y 的对称轴与准线的交点,点 B 为抛物线的焦 点,P 在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当 m 取最大值时,点 P 恰好在以 A,B 为焦点的双曲线上,则双曲线 的离心率为(　　) A. 2 + 1 2 B. 2+1 C. 5 - 1 2 D. 5-1 10.(2017 山东临沂一模,理 8)抛物线 x2=-6by 的准线与双曲线푥2 푎2 ― 푦2 푏2=1(a>0,b>0)的左、右支分别交 于 B,C 两点,A 为双曲线的右顶点,O 为坐标原点,若∠AOC=∠BOC,则双曲线的离心率为(　　) A.2 3 3 B.3 C.4 3 3 D.2 3 11.(2017 辽宁沈阳三模,理 9)已知直线 3x-y- 3=0 与抛物线 y2=4x 交于 A,B 两点(A 在 x 轴上方),与 x 轴交于点 F,푂퐹=λ푂퐴+μ푂퐵,则 λ-μ=(　　) A.1 2 B.-1 2 C.1 3 D.-1 3 〚导学号 21500645〛 12.(2017 全国Ⅲ,理 12)在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若 퐴푃=λ퐴퐵+μ퐴퐷,则 λ+μ 的最大值为(　　) A.3 B.2 2 C. 5 D.2 〚导学号 21500646〛 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.(2017 河北邯郸一模,理 16)已知点 A(a,0),点 P 是双曲线 C:푥2 4 -y2=1 右支上任意一点,若|PA|的最小 值为 3,则 a=　　　　　. 14.已知直线 l:mx+y+3m- 3=0 与圆 x2+y2=12 交于 A,B 两点,过 A,B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C,D 两点.若|AB|=2 3,则|CD|=　　　　　. 15.(2017 北京东城区二模,理 13)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F,且与该抛 物线相交于 A,B 两点,其中点 A 在 x 轴上方.若直线 l 的倾斜角为 60°,则|OA|=　　　　　. 16. (2017 北京,理 14)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点 Ai 的横、纵 坐标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的零件数,点 Bi 的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的 工作时间和加工的零件数,i=1,2,3. (1)记 Qi 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数,则 Q1,Q2,Q3 中最大的是　　　　　; (2)记 pi 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则 p1,p2,p3 中最大的是　　　　　.〚导学 号 21500647〛 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分) 17.(14 分)(2017 安徽蚌埠一模)已知椭圆 C:푥2 푎2 + 푦2 푏2=1(a>b>0)的离心率为 15 4 ,F1,F2 是椭圆的两个焦 点,P 是椭圆上任意一点,且△PF1F2 的周长是 8+2 15. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设圆 T:(x-2)2+y2=4 9,过椭圆的上顶点 M 作圆 T 的两条切线交椭圆于 E,F 两点,求直线 EF 的斜率. 18.(14 分)(2017 河北保定二模,理 20)已知椭圆 C:푥2 푎2 + 푦2 푏2=1(a>b>0)的离心率为1 2,A(a,0),b(0,b),D(-a,0), △ABD 的面积为 2 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,设 P(x0,y0)是椭圆 C 在第二象限的部分上的一点,且直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴 交于点 N,求四边形 ABNM 的面积. 〚导学号 21500648〛 19.(14 分)(2017 河北邯郸一模,理 20)已知 F 为抛物线 E:x2=2py(p>0)的焦点,直线 l:y=kx+푝 2交抛物线 E 于 A,B 两点. (1)当 k=1,|AB|=8 时,求抛物线 E 的方程; (2)过点 A,B 作抛物线 E 的切线 l1,l2,且 l1,l2 交点为 P,若直线 PF 与直线 l 斜率之和为-3 2,求直线 l 的斜 率. 20.(14 分)(2017 湖南岳阳一模)已知椭圆 C:푥2 푎2 + 푦2 푏2=1(a>b>0)的两个焦点为 F1,F2,|F1F2|=2 2,点 A,B 在椭圆上,F1 在线段 AB 上,且△ABF2 的周长等于 4 3. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过圆 O:x2+y2=4 上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线 PM 和 PN 与圆 O 交于点 M,N,求△PMN 面积 的最大值. 21.(14 分)已知 F1,F2 是椭圆푥2 푎2 + 푦2 푏2=1(a>b>0)的左、右焦点,且离心率 e=1 2,点 P 为椭圆上的一个动点, △PF1F2 的内切圆面积的最大值为4π 3 . (1)求椭圆的方程; (2)若 A,B,C,D 是椭圆上不重合的四个点,满足向量퐹1퐴与퐹1퐶共线,퐹1퐵与퐹1퐷共线,且퐴퐶·퐵퐷=0,求|퐴퐶 |+|퐵퐷|的取值范围. 〚导学号 21500649〛 参考答案 单元质检卷九　解析几何 1.C　当 a=3 时,两直线的方程分别是 3x+2y+9=0 和 3x+2y+4=0,此时两条直线平行成立; 反之,当两条直线平行时,有-푎 2 = 3 1 - 푎且-3 2a≠푎 - 7 푎 - 1,∴a=3. ∴a=3 是两条直线平行的充要条件.故选 C. 2.A　由题意,|MF|=p, 则设点 M(푝 2,푝). ∵K( - 푝 2,0),∴kKM=1. ∴∠MKF=45°,故选 A. 3.C　在 Rt△AOB 中,|OA|=3,|OB|=5, 可得|AB|= 52 - 32=4, 可得 tan∠AOB=|퐴퐵| |푂퐴| = 4 3, 由直线 l1:y=푏 푎x,直线 l2:y=-푏 푎x, tan∠AOB= - 푏 푎 - 푏 푎 1 + ( - 푏 푎)·푏 푎 = 4 3, 化简可得 b=2a, 即有 e=푐 푎 = 푎2 + 푏2 푎 = 5. 4.D　如图,由几何性质可得,从 Q(1,2)向准线作垂线,其与抛物线交点就是所求点,将 x=1 代入 x2=4y, 可得 y=1 4,点 P 到点 Q(1,2)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为(1,1 4),故 选 D. 5.D　双曲线 M 的左、右焦点分别是 F1,F2,以 F1F2 为直径的圆与双曲线 M 相交于点 P,且 |PF1|=16,|PF2|=12,可得 2a=16-12=4,解得 a=2,2c= 162 + 122=20,可得 c=10. 所以双曲线的离心率为 e=푐 푎=5.故选 D. 6.B　由题意,6-2m>0,即 m<3,焦距 2c=2 (푚2 + 8) + (6 - 2푚)=2 푚2 - 2푚 + 14,当 m=1 时,双曲线的 焦距最小,此时双曲线的方程为푥2 9 ― 푦2 4 =1,其渐近线的方程为 y=±2 3x,故选 B. 7.D　双曲线 C:푥2 푎2 ― 푦2 푏2=1(a>0,b>0)的焦点在 x 轴上. 设 M(x0,y0),y0>0,由四边形 OFMN 为平行四边形,得点 M,N 关于 y 轴对称,且|MN|=|OF|=c, ∴x0=-푐 2,四边形 OFMN 的面积为 2cb. ∴|y0|c= 2cb,即|y0|= 2b. ∴M( - 푐 2, 2푏). 代入双曲线可得,푥2 푎2 ― 푦2 푏2=1, 整理得, 푐2 4푎2-2=1. 由 e=푐 푎,∴e2=12. 由 e>1,解得 e=2 3,故选 D. 8.A　设 B(x1,y1),A(x2,y2). ∵|OA|=|OB|, ∴푥21 + 푦21 = 푥22 + 푦22. 又푦21=2px1,푦22=2px2, ∴푥22 ― 푥1 2+2p(x2-x1)=0, 即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0. ∵x1,x2 与 p 同号, ∴x1+x2+2p≠0. ∴x2-x1=0,即 x1=x2. 由抛物线对称性,知点 B,A 关于 x 轴对称,不妨设直线 OB 的方程为 y= 3 3 x,联立 y2=2px,解得 B(6p,2 3p), ∴|OB|= (6푝)2 + (2 3푝)2=4 3p. ∴ 3 4 ·(4 3p)2=48 3,∴p=2. 故选 A. 9.B　过点 P 作准线的垂线,垂足为 N,则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|. ∵|PA|=m|PB|, ∴|PA|=m|PN|. ∴1 푚 = |푃푁| |푃퐴|. 设直线 PA 的倾斜角为 α,则 sin α=1 푚. 当 m 取得最大值时,sin α 最小,此时直线 PA 与抛物线相切. 设直线 PA 的方程为 y=kx-1,代入 x2=4y,可得 x2=4(kx-1),即 x2-4kx+4=0, ∴Δ=16k2-16=0, ∴k=±1,∴P(2,1). ∴双曲线的实轴长为|PA|-|PB|=2( 2-1), ∴双曲线的离心率为 1 ( 2 - 1) = 2+1. 故选 B. 10.C　抛物线的准线为 y=3 2b, ∴B( - 13 2 푎,3 2푏), C( 13 2 푎,3 2푏). 易得∠AOC=∠BOC=60°, ∴kOC=3 13푏 13푎 =tan 60°= 3. ∴푏2 푎2 = 13 3 , ∴e= 1 + 푏2 푎2 = 1 + 13 3 = 4 3 3 ,故选 C. 11.B　直线 3x-y- 3=0 过抛物线的焦点 F(1,0),把直线方程代入抛物线的方程 y2=4x, 解得{푥 = 3, 푦 = 2 3或{푥 = 1 3, 푦 = - 2 3 3 , 则 A(3,2 3), B(1 3, - 2 3 3 ). ∵푂퐹=λ푂퐴+μ푂퐵, ∴(1,0) =(3λ,2 3λ)+(1 3휇, - 2 3 3 휇) =(3휆 + 1 3휇,2 3휆 - 2 3 3 휇). ∴3λ+1 3μ=1,2 3λ-2 3 3 μ=0. ∴λ=1 4,μ=3 4,则 λ-μ=-1 2. 故选 B. 12. A　建立如图所示的平面直角坐标系, 则 A(0,1),B(0,0),D(2,1). 设 P(x,y), 由|BC|·|CD|=|BD|·r, 得 r=|퐵퐶|·|퐶퐷| |퐵퐷| = 2 × 1 5 = 2 5 5 , 即圆的方程是(x-2)2+y2=4 5. 易知퐴푃=(x,y-1),퐴퐵=(0,-1),퐴퐷=(2,0). 由퐴푃=λ퐴퐵+μ퐴퐷, 得{푥 = 2휇, 푦 - 1 = -휆, 所以 μ=푥 2,λ=1-y, 所以 λ+μ=1 2x-y+1. 设 z=1 2x-y+1, 即1 2x-y+1-z=0. 因为点 P(x,y)在圆(x-2)2+y2=4 5上, 所以圆心 C 到直线1 2x-y+1-z=0 的距离 d≤r, 即 |2 - 푧| 1 4 + 1 ≤ 2 5 5 ,解得 1≤z≤3, 所以 z 的最大值是 3,即 λ+μ 的最大值是 3,故选 A. 13.-1 或 2 5　设 P(x,y)(x≥2), 则|PA|2=(x-a)2+y2 =5 4(푥 - 4 5푎)2 + 1 5a2-1, 当 a>0 时,x=4 5a,|PA|的最小值为1 5a2-1=3,∴a=2 5. 当 a<0 时,2-a=3,∴a=-1. 故答案为-1 或 2 5. 14.4　因为|AB|=2 3,且圆的半径 R=2 3, 所以圆心(0,0)到直线 mx+y+3m- 3=0 的距离为 푅2 - (|퐴퐵| 2 )2 =3. 由|3푚 - 3| 푚2 + 1=3,解得 m=- 3 3 . 将其代入直线 l 的方程, 得 y= 3 3 x+2 3, 即直线 l 的倾斜角为 30°. 由平面几何知识知在梯形 ABDC 中,|CD|= |퐴퐵| cos30°=4. 15. 21　抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0),准线方程为 x=-1, 设点 A(x0,y0),若直线 l 的倾斜角为 60°, 即斜率 k=tan 60°= 3,∴直线 l 的方程为 y= 3(x-1),即 x= 3 3 y+1, 由{푦2 = 4푥, 푥 = 3 3 푦 + 1, 解得{푥 = 3, 푦 = 2 3,或{푥 = 1 3, 푦 = - 2 3 3 . ∵点 A 在 x 轴上方,则 A(3,2 3). ∴|OA|= 32 + (2 3)2 = 21. 故答案为 21. 16.(1)Q1　(2)p2　(1)连接 A1B1,A2B2,A3B3,分别取线段 A1B1,A2B2,A3B3 的中点 C1,C2,C3,显然 Ci 的纵坐 标即为第 i 名工人一天平均加工的零件数,由图可得点 C1 最高,故 Q1,Q2,Q3 中最大的是 Q1. (2)设某工人上午、下午加工的零件数分别为 y1,y2,工作时间分别为 x1,x2,则该工人这一天中平均 每小时加工的零件数为 p= 푦1 + 푦2 푥1 + 푥2 = 푦1 + 푦2 2 푥1 + 푥2 2 =kOC(C 为点(x1,y1)和(x2,y2)的中点),由图可得푘푂퐶2 > 푘푂퐶1 > 푘푂퐶3, 故 p1,p2,p3 中最大的是 p2. 17.解 (1)由题意,e=푐 푎 = 15 4 = 푎2 - 푏2 푎 ,可知 a=4b,c= 15b. ∵△PF1F2 的周长是 8+2 15, ∴2a+2c=8+2 15, ∴a=4,b=1. ∴所求椭圆方程为푥2 16+y2=1. (2)椭圆的上顶点为 M(0,1),由题意知过点 M 与圆 T 相切的直线存在斜率, 则设其方程为 l:y=kx+1, 由直线 y=kx+1 与圆 T 相切可知|2푘 + 1| 1 + 푘2 = 2 3, 即 32k2+36k+5=0, ∴k1+k2=-9 8,k1k2= 5 32. 由{푦 = 푘1푥 + 1, 푥2 16 + 푦2 = 1 得(1+16푘21)x2+32k1x=0, ∴xE=- 32푘1 1 + 16푘21 . 同理 xF=- 32푘2 1 + 16푘22 , kEF= 푦퐸 - 푦퐹 푥퐸 - 푥퐹 = 푘1푥퐸 - 푘2푥퐹 푥퐸 - 푥퐹 = 푘1 + 푘2 1 - 16푘1푘2 = 3 4. 故直线 EF 的斜率为3 4. 18.解 (1)由题意得{푐 푎 = 1 2, 1 2(2푎)푏 = 2 3, 푎2 = 푏2 + 푐2, 解得 a=2,b= 3. ∴椭圆 C 的方程为푥2 4 + 푦2 3 =1. (2)由(1)知,A(2,0),B(0, 3), 由题意可得 S 四边形 ABNM=1 2|AN|·|BM|. ∵P(x0,y0),-2