2021届课标版高考文科数学一轮复习学案：平面解析几何第10节圆锥曲线中的证明与存在性问题 5页

第十节　圆锥曲线中的证明与存在性问题 ‎⊙考点1　证明问题 ‎　圆锥曲线中证明问题的类型及解题策略 ‎(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；二是数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．‎ ‎(2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明，多采用直接法证明，有时也会用到反证法．‎ ‎　(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．‎ ‎(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；‎ ‎(2)证明：∠ABM＝∠ABN.‎ ‎[解](1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得M的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.‎ ‎(2)当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN.‎ 当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.‎ 由得ky2－2y－4k＝0，‎ 可知y1＋y2＝，y1y2＝－4.‎ 直线BM，BN的斜率之和为 kBM＋kBN＝＋＝. ①‎ 将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得 x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0.‎ 所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.‎ 综上，∠ABM＝∠ABN.‎ ‎　把证明∠ABM＝∠ABN转化为证明kBM＋kBN＝0是解题的关键．‎ ‎　(2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.‎ ‎(1)求点P的轨迹方程；‎ ‎(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.‎ ‎[解](1)设P(x，y)，M(x0，y0)，‎ 则N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．‎ 由＝得x0＝x，y0＝y.‎ 因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.‎ 因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.‎ ‎(2)证明：由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，‎ ·＝3＋3m－tn，‎ ＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)．‎ 由·＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，‎ 又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.‎ 所以·＝0，即⊥.‎ 又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.‎ ‎⊙考点2　存在性问题 ‎　圆锥曲线中存在性问题的求解方法 ‎(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．‎ ‎(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．‎ ‎　(2019·泉州模拟)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，且满足向量·＝0.‎ ‎(1)若A(2,0)，求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)设P为椭圆上异于顶点的点，以线段PB为直径的圆经过点F1，问是否存在过点F2的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由．‎ ‎[解](1)易知a＝2，因为·＝0，‎ 所以△BF1F2为等腰直角三角形．‎ 所以b＝c，由a2－b2＝c2可知b＝，故椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)由已知得b2＝c2，a2＝2c2，‎ 设椭圆的标准方程为＋＝1，点P的坐标为(x0，y0)．‎ 因为F1(－c,0)，B(0，c)，所以＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)，‎ 由题意得·＝0，所以x0＋c＋y0＝0.‎ 又因为点P在椭圆上，所以＋＝1，由以上两式可得3x＋4cx0＝0.‎ 因为P不是椭圆的顶点，‎ 所以x0＝－c，y0＝c，故P.‎ 设圆心为(x1，y1)，则x1＝－c，y1＝c，‎ 圆的半径r＝＝c.‎ 假设存在过点F2的直线满足题设条件，并设该直线的方程为y＝k(x－c)，‎ 由相切可知＝r，‎ 所以＝c，‎ 即20k2＋20k－1＝0，解得k＝－±.‎ 故存在满足条件的直线，其斜率为－±.‎ ‎　本例第(2)问中，涉及直线与圆相切问题，需要求出圆心和半径，然后利用圆心到直线的距离等于半径，列等式求解．‎ ‎[教师备选例题]‎ ‎(2019·长沙模拟)已知椭圆C的中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过点F2的直线与椭圆C分别相交于不同的两点A，B，则△F1AB 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解](1)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)，∵e＝＝，a－c＝1，‎ ‎∴a＝2，c＝1，‎ ‎∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设y1>0，y2<0.‎ 由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my＋1.‎ 联立 得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，‎ 则y1＋y2＝，y1y2＝，‎ ‎∴S△F1AB＝|F1F2|(y1－y2)＝.‎ 令＝t，可知t≥1，‎ 则m2＝t2－1，‎ ‎∴S△F1AB＝＝.‎ ‎　令f(t)＝3t＋，则f′(t)＝3－，‎ 当t≥1时，f′(t)>0，即f(t)在区间[1，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴f(t)≥f(1)＝4，∴S△F1AB≤3，即当t＝1，m＝0时，△F1AB的面积取得最大值3，此时直线l的方程为x＝1.‎ ‎　(2019·哈尔滨模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点F为左焦点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)在圆x2＋y2＝3上是否存在一点P，使得在点P处的切线l与椭圆C相交于M，N两点，且满足⊥？若存在，求l的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解](1)∵e＝＝，∴3a2＝4b2.‎ 又∵|AB|＝＝3，∴a＝2，b＝.‎ ‎∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)假设存在点P，使得⊥.‎ 当直线l的斜率不存在时，‎ l：x＝或x＝－，与椭圆C：＋＝1相交于M，N两点，‎ 此时M，N或M，N，‎ ‎∴·＝3－＝≠0，‎ ‎∴当直线l的斜率不存在时，不满足⊥.‎ 当直线l的斜率存在时，设y＝kx＋m，‎ 联立得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.‎ ‎∵直线l与椭圆C相交于M，N两点，‎ ‎∴Δ＞0，化简得4k2＞m2－3.‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ ‎∴x1＋x2＝，x1x2＝，‎ y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝.‎ ‎∵·＝0，∴＋＝0，‎ ‎∴7m2－12k2－12＝0.‎ 又∵直线l与圆x2＋y2＝3相切，∴＝，‎ ‎∴m2＝3＋3k2，∴21＋21k2－12k2－12＝0，‎ 解得k2＝－1，显然不成立，‎ ‎∴在圆上不存在这样的点P使⊥成立．‎