数学卷·2018届内蒙古包头市北重三中高二上学期期中数学试卷（文科）+（解析版） 16页

‎2016-2017学年内蒙古包头市北重三中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个正确选项.）‎ ‎1．已知直线l的方程为y=x+1，则l的斜率为（　　）‎ A． B．﹣2 C．2 D．﹣‎ ‎2．在空间直角坐标系中，点P（3，1，5）关于原点对称的点的坐标为 （　　）‎ A．（﹣3，1，5） B．（3，﹣1，﹣5） C．（3，﹣1，﹣5） D．（﹣3，1，﹣5）‎ ‎3．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（　　）‎ A．50 B．40 C．25 D．20‎ ‎4．点A（3，2）到直线x+y+3=0的距离为（　　）‎ A．4 B．3 C．4 D．3‎ ‎5．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　）‎ ‎7816‎ ‎6572‎ ‎0802‎ ‎6314‎ ‎0702‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ A．08 B．07 C．02 D．01‎ ‎6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．7‎ ‎8．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题：‎ ‎①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；‎ ‎②若m⊥α，n⊥m，则n∥α；‎ ‎③若α⊥β，m∥α，则m⊥β；‎ ‎④若m⊥α，m∥β，则α⊥β；‎ 其中正确命题的个数是（　　）‎ A．①② B．①③ C．①④ D．②④‎ ‎9．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB=2，AA1=3，点D是B1C1的中点，则AD与平面ABC所成的角为（　　）‎ A．90° B．60° C．45° D．30°‎ ‎10．已知圆C关于y轴对称，经过点（1，0）且被x轴分成两段弧长比为1：2，则圆C的方程为（　　）‎ A． B．（x±）2+y2=‎ C．x2+（y±）2= D．x2+（y±）2=‎ ‎11．母线长为1的圆锥的侧面展开图的面积是π，则该圆锥的体积为（　　）‎ A．π B．π C．π D．π ‎12．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，，则球O的表面积为（　　）‎ A．16π B．12π C．8π D．4π ‎　‎ 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸对应的横线处.）‎ ‎13．已知直线l1：ax+y+1=0，l2：x+y+2=0，若l1⊥l2，则实数a的值是　　．‎ ‎14．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，若从初中生中抽取了30人，则n的值等于　　．‎ ‎15．直线l：y=x+2与圆x2+y2=5相交于M，N两点，则线段MN的长为　　．‎ ‎16．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，给出下列结论：①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角；④AC⊥SO；⑤AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角其中，正确结论的序号是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共6小题，17题10分，18～22题每题12分.共70分）‎ ‎17．求经过点（﹣3，﹣1），且与直线x﹣3y﹣1=0平行的直线的一般式方程．‎ ‎18．求经过点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程．‎ ‎19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．‎ 求证：‎ ‎（1）DE∥平面AA1C1C；‎ ‎（2）BC1⊥AB1．‎ ‎20．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，求直线A1M与DN所成角的大小．‎ ‎21．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．‎ ‎（1）求该几何体的体积V；‎ ‎（2）求该几何体的侧面积S．‎ ‎22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．‎ ‎（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；‎ ‎（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年内蒙古包头市北重三中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个正确选项.）‎ ‎1．已知直线l的方程为y=x+1，则l的斜率为（　　）‎ A． B．﹣2 C．2 D．﹣‎ ‎【考点】直线的斜率．‎ ‎【分析】利用斜截式即可得出斜率．‎ ‎【解答】解：直线l的方程为y=x+1，则l的斜率为．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．在空间直角坐标系中，点P（3，1，5）关于原点对称的点的坐标为 （　　）‎ A．（﹣3，1，5） B．（3，﹣1，﹣5） C．（3，﹣1，﹣5） D．（﹣3，1，﹣5）‎ ‎【考点】空间中的点的坐标．‎ ‎【分析】直接利用中点坐标公式，求出点P（3，1，5）关于原点的对称点的坐标即可．‎ ‎【解答】解：由中点坐标公式可知，点P（3，1，5）关于原点的对称点的坐标是（﹣3，﹣1，﹣5）．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（　　）‎ A．50 B．40 C．25 D．20‎ ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】根据系统抽样的定义，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵从1000名学生中抽取40个样本，‎ ‎∴样本数据间隔为1000÷40=25．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．点A（3，2）到直线x+y+3=0的距离为（　　）‎ A．4 B．3 C．4 D．3‎ ‎【考点】点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．‎ ‎【解答】解：利用点到直线的距离公式可得：点A（3，2）到直线x+y+3=0的距离d==4．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　）‎ ‎7816‎ ‎6572‎ ‎0802‎ ‎6314‎ ‎0702‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ A．08 B．07 C．02 D．01‎ ‎【考点】简单随机抽样．‎ ‎【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．‎ ‎【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，‎ 第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，‎ 第三个数为08，符合条件，‎ 以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，‎ 故第5个数为01．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【分析】首先由几何体的俯视图断定原几何体的最上面的平面图形应是圆，再由俯视图内部只有一个虚圆，断定原几何体下部分的图形不可能是棱柱，由此可排除前三个选项．‎ ‎【解答】解：由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项A和选项C．‎ 而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除B．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．7‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．‎ ‎【解答】解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；‎ 当i=2时，S=1+2﹣1=2；‎ 当i=3时，S=2+3﹣1=4；‎ 当i=4时，退出循环，输出S=4；‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题：‎ ‎①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；‎ ‎②若m⊥α，n⊥m，则n∥α；‎ ‎③若α⊥β，m∥α，则m⊥β；‎ ‎④若m⊥α，m∥β，则α⊥β；‎ 其中正确命题的个数是（　　）‎ A．①② B．①③ C．①④ D．②④‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】在①中，由线面垂直的性质定理得m∥n；在②中，n与α相交、平行或n⊂α；在③中，m与β相交、平行或m⊂β，；在④中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．‎ ‎【解答】解：由m，n为两条不同的直线，α，β为两个不重合的平面，知：‎ 在①中，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故①正确；‎ 在②中，若m⊥α，n⊥m，则n与α相交、平行或n⊂α，故②错误；‎ 在③中，若α⊥β，m∥α，则m与β相交、平行或m⊂β，故③错误；‎ 在④中，若m⊥α，m∥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故④正确．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB=2，AA1=3，点D是B1C1的中点，则AD与平面ABC所成的角为（　　）‎ A．90° B．60° C．45° D．30°‎ ‎【考点】直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】如图所示，取BC的中点E，连接ED，EA．由正三棱柱ABC﹣A1B1C1，可得：AE⊥BC，四边形DECC1是平行四边形，可得DE⊥平面ABC，∠DAE是AD与平面ABC所成的角．利用直角三角形的边角关系即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ 取BC的中点E，连接ED，EA．‎ 由正三棱柱ABC﹣A1B1C1，可得：AE⊥BC，四边形DECC1是平行四边形．‎ ‎∴DE∥CC1，‎ 又CC1⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC．‎ ‎∴∠DAE是AD与平面ABC所成的角．‎ ‎∵等边三角形ABC中，AB=2，则AE=．‎ ‎∴∠DAE是AD与平面ABC所成的角．‎ 在RT△ADE中，tan∠DAE===．‎ ‎∴∠DAE=60°．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．已知圆C关于y轴对称，经过点（1，0）且被x轴分成两段弧长比为1：2，则圆C的方程为（　　）‎ A． B．（x±）2+y2=‎ C．x2+（y±）2= D．x2+（y±）2=‎ ‎【考点】关于点、直线对称的圆的方程．‎ ‎【分析】设圆心C（0，a），由题意可得圆被x轴截得的弦对的圆心角为，故有tan=||，解得a=±，可得半径的值，从而求得圆的方程．‎ ‎【解答】解：设圆心C（0，a），则半径为CA，根据圆被x轴分成两段弧长之比为1：2，‎ 可得圆被x轴截得的弦对的圆心角为，故有tan=||，解得a=±，‎ 半径r=，故圆的方程为 x2+（y±）2=，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．母线长为1的圆锥的侧面展开图的面积是π，则该圆锥的体积为（　　）‎ A．π B．π C．π D．π ‎【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．‎ ‎【分析】求出圆锥的侧面展开图扇形的弧长，再求底面半径，求出圆锥的高，即可求它的体积．‎ ‎【解答】解：∵母线长为1的圆锥的侧面展开图的面积是π，‎ ‎∴扇形的弧长=‎ 圆锥的侧面展开图扇形的弧长，即底面圆的周长为π•1=π，于是设底面圆的半径为r，‎ 则有2πr=π，所以r=，‎ 于是圆锥的高为h==，‎ 该圆锥的体积为：π．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎12．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，，则球O的表面积为（　　）‎ A．16π B．12π C．8π D．4π ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC=，∠ABC=90°．故△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=1，由此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积．‎ ‎【解答】解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，‎ ‎∵SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，‎ ‎∴BC==，‎ ‎∴∠ABC=90°．‎ ‎∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=1，‎ ‎∴球O的半径R==2，‎ ‎∴球O的表面积S=4πR2=16π．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸对应的横线处.）‎ ‎13．已知直线l1：ax+y+1=0，l2：x+y+2=0，若l1⊥l2，则实数a的值是　﹣1　．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．‎ ‎【解答】解：∵l1⊥l2，则﹣1×（﹣a）=﹣1，‎ 解得a=﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎　‎ ‎14．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，若从初中生中抽取了30人，则n的值等于　100　．‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由分层抽样的定义得n==100，‎ 故答案为：100‎ ‎　‎ ‎15．直线l：y=x+2与圆x2+y2=5相交于M，N两点，则线段MN的长为　2　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】求出圆心到直线的距离，利用弦长公式求出线段MN的长．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2=5的圆心到直线x﹣y+2=0的距离等于=，‎ 由弦长公式得 MN=2=2，‎ 故答案为2．‎ ‎　‎ ‎16．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，给出下列结论：①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角；④AC⊥SO；⑤AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角其中，正确结论的序号是　①②③④　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】由题意和线面垂直的判定定理、定义判断出①④正确；由AB∥CD和线面平行的判定定理判断出②正确；由SD⊥底面ABCD、线面角的定义判断出③正确；由异面直线所成角的定义、边的大小关系判断出⑤错误．‎ ‎【解答】解：连接SO，如右图：‎ ‎∵四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，‎ ‎∴AC⊥BD、AB=AD=BC=CD、AC=BD，‎ ‎∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥AC，‎ ‎∵SD∩BD=D，∴AC⊥平面SBD，‎ ‎∵SB⊂平面SBD，∴AC⊥SB，则①正确；‎ ‎∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，‎ ‎∴AB∥平面SCD，则②正确；‎ ‎∵SD⊥底面ABCD，‎ ‎∴∠SAD和∠SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与平面ABD所成的角，‎ ‎∵AD=CD，SD=SD，‎ ‎∴∠SAD=∠SCD，则③正确；‎ ‎∵AC⊥平面SBD，SO⊂平面SBD，‎ ‎∴AC⊥SO，则④正确；‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠SCD是AB与SC所成的角，∠SAB是DC与SA所成的角，‎ ‎∵△SDA≌△SDC，∴SA=SC，‎ ‎∵AB=CD，SB＞SD，‎ ‎∴∠SCD≠∠SAB，则⑤不正确，‎ 故答案为：①②③④．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共6小题，17题10分，18～22题每题12分.共70分）‎ ‎17．求经过点（﹣3，﹣1），且与直线x﹣3y﹣1=0平行的直线的一般式方程．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】设所求的方程为x﹣3y+c=0，代点可得关于c的方程，解之代入可得．‎ ‎【解答】解：由题意可设所求的方程为x﹣3y+c=0，‎ 代入已知点（﹣3，﹣1），可得﹣3+3+c=0，即c=0，‎ 故所求直线的方程为：x﹣3y=0．‎ ‎　‎ ‎18．求经过点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程．‎ ‎【考点】圆的一般方程．‎ ‎【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A、B、C的坐标代入得到关于D、E、F的方程组，解之得到圆的方程．‎ ‎【解答】解：设经过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，‎ ‎∵点A（0，0），B（1，1），C（4，2）三点在圆上，‎ ‎∴将A、B、C的坐标代入，‎ 可得，‎ 解得，故圆的方程为x2+y2 ﹣8x+6y=0．‎ ‎　‎ ‎19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．‎ 求证：‎ ‎（1）DE∥平面AA1C1C；‎ ‎（2）BC1⊥AB1．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；‎ ‎（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．‎ ‎【解答】证明：（1）根据题意，得；‎ E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；‎ 又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，‎ 所以DE∥平面AA1C1C；‎ ‎（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，‎ 所以CC1⊥平面ABC，‎ 因为AC⊂平面ABC，‎ 所以AC⊥CC1；‎ 又因为AC⊥BC，‎ CC1⊂平面BCC1B1，‎ BC⊂平面BCC1B1，‎ BC∩CC1=C，‎ 所以AC⊥平面BCC1B1；‎ 又因为BC1⊂平面BCC1B1，‎ 所以BC1⊥AC；‎ 因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，‎ 所以BC1⊥平面B1AC；‎ 又因为AB1⊂平面B1AC，‎ 所以BC1⊥AB1．‎ ‎　‎ ‎20．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，求直线A1M与DN所成角的大小．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的数量积求出与的夹角，即可得出异面直线A1M与DN所成的角．‎ ‎【解答】解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 设棱长为2，则D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），‎ A1（2，0，2），‎ ‎=（0，2，1），=（﹣2，1，﹣2）；‎ 所以•=0×（﹣2）+2×1+1×（﹣2）=0，‎ 所以⊥，‎ 即A1M⊥DN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°．‎ ‎　‎ ‎21．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．‎ ‎（1）求该几何体的体积V；‎ ‎（2）求该几何体的侧面积S．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形，分析出图形之后，再利用公式求解即可．‎ ‎【解答】解：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形，如图所示．‎ ‎（1）几何体的体积为 V=•S矩形•h=×6×8×4=64．‎ ‎（2）正侧面及相对侧面底边上的高为：‎ h1==5．‎ 左、右侧面的底边上的高为：‎ h2==4．‎ 故几何体的侧面面积为：‎ S=2×（×8×5+×6×4）‎ ‎=40+24．‎ ‎　‎ ‎22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．‎ ‎（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；‎ ‎（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由PA⊥面ABCD，可得PA⊥BD；设AC与BD的交点为O，则由条件可得BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．再利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥面PAC．‎ ‎（Ⅱ）由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO为DG与平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DGO的值．‎ ‎（Ⅲ）先证 PC⊥OG，且 PC==．由△COG∽△CAP，可得，解得GC的值，可得PG ‎=PC﹣GC 的值，从而求得 的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD． ‎ ‎∵AB=BC=2，AD=CD=，设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．‎ 而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．‎ ‎（Ⅱ）若G是PC的中点，O为AC的中点，则GO平行且等于PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，‎ ‎∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．‎ 由题意可得，GO=PA=．‎ ‎△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12，‎ ‎∴AC=2，OC=．‎ ‎∵直角三角形COD中，OD==2，‎ ‎∴直角三角形GOD中，tan∠DGO==．‎ ‎（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，∵OG⊂平面BGD，∴PC⊥OG，且 PC==．‎ 由△COG∽△CPA，可得，即，解得GC=，‎ ‎∴PG=PC﹣GC=﹣=，∴==．‎ ‎　‎ ‎2016年12月1日