2019-2020学年河南省郑州市第一中学高一上学期期中数学试题（解析版） 15页

‎2019-2020学年河南省郑州市第一中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．下列表述中正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据的定义可排除；根据点集和数集的定义可排除；根据元素与集合关系排除，确认正确.‎ ‎【详解】‎ 不包含任何元素，故，错误；‎ 为点集，为数集，故，错误；‎ 是集合中的一个元素，即，错误；‎ 表示自然数集，故，正确.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的定义、元素与集合的关系、相等集合的概念等知识，属于基础题.‎ ‎2．设集合，则韦恩图中阴影部分表示的集合的真子集个数是（ ）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】由韦恩图得到阴影部分表示的集合，含个元素；根据元素个数可确定真子集个数为个.‎ ‎【详解】‎ 由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为 阴影部分表示集合的真子集个数为：个 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查韦恩图表示集合、集合真子集个数的求解；关键是明确一个含个元素的集合的真子集个数为个.‎ ‎3．已知幂函数的图像过点，则的值为（ ）‎ A． B． C．1 D．-1‎ ‎【答案】A ‎【解析】设幂函数解析式，代入求得，进而得到，由对数运算可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 设幂函数解析式为：‎ ‎ ，则 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查待定系数法求解函数解析式、对数运算等知识；关键是明确在已知函数类型时，通常采用待定系数法求解函数解析式.‎ ‎4．方程的解所在的区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，则方程解所在区间即为函数零点所在区间；利用零点存在定理，根据区间端点处的函数值的符号可确定零点所在区间，进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 令 当时，；；；‎ ‎；‎ ‎ 零点所在区间为 方程的解所在区间为 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查方程根所在区间的求解，关键是能将方程根所在区间问题转化为函数零点所在区间的求解，考查了零点存在定理的应用，属于基础题.‎ ‎5．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用对数运算将化为，由可得；由可得，进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎， ‎ 又 ‎ 综上所述：‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据对数函数、指数函数单调性比较函数值大小的问题；关键是能够根据函数单调性确定函数值的临界值，属于常考题型.‎ ‎6．函数的图像 A．关于原点对称 B．关于主线对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 ‎【答案】A ‎【解析】因为函数的定义域为(-2,2),又因为 所以函数f(x)为奇函数，所以关于原点对称.‎ ‎7．函数的定义域和值域都是，那么的图象一定位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】由与的对称关系可得的定义域和值域，从而确定图象所处象限.‎ ‎【详解】‎ 与图象关于轴对称 的定义域为，值域为 的图象一定位于第四象限 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图象的对称，关键是明确两函数之间的对称关系：‎ ‎①与图象关于轴对称；‎ ‎②与图象关于轴对称；‎ ‎③与图象关于原点对称.‎ ‎8．设，则的值是(　　)‎ A．24 B．21 C．18 D．16‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据自变量范围代入对应解析式，经多次代入求解得结果.‎ ‎【详解】‎ f(5)＝f(f(10))＝f(f(f(15)))＝f(f(18))＝f(21)＝24.‎ 选 A.‎ ‎【点睛】‎ 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值 ‎9．函数的大致图象是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据特殊位置的所对应的的值，排除错误选项，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为 所以当时，，故排除A、D选项，‎ 而，‎ 所以 即是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B项，‎ 故选C项.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数的解析式判断函数图象，属于简单题.‎ ‎10．若函数为偶函数，为奇函数，且满足，则（ ）‎ A．-3 B．3 C．5 D．-5‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据函数奇偶性可将已知方程化为，代入即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 为偶函数，为奇函数 ，‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的奇偶性求解函数值的问题，关键是能够根据奇偶性将已知关系式进行转化.‎ ‎11．对于给定的正数，定义函数，若对于函数的定义域内的任意实数，恒有，则（ ）‎ A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为1‎ ‎【答案】B ‎【解析】先根据得到与最值的关系，然后利用换元法求解函数的值域，即可确定的取值范围，则的最值可确定.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以由定义知，‎ 因为，所以，则函数的定义域为，‎ 令 ，则 ， ，所以 ，因此 .‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 指数型函数值域的求解方法：利用换元法令，求解出的值域即为的取值范围，根据指数函数的单调性即可求解出的值域.‎ ‎12．定义在上的函数满足：①，②，③且时，，则等于（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】将代入求得，根据求得；分别令和求得；由可求得，进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由得：，又 ‎ 由得：‎ 令，则 ，则 令，则； ‎ ‎ ，即 ‎ ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据抽象函数的性质求解函数值的问题；解决此类问题通常采用特殊值的方式，代入已知关系式中，采用构造的方式，通过自变量的关系求得具体的函数值.‎ 二、填空题 ‎13．函数的定义域为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据分式分母不为零、偶次根式被开方数大于等于零和对数真数大于零可构造不等式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：，解得：‎ 的定义域为：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查具体函数定义域的求解问题，涉及到分式、偶次根式和对数的形式，关键是明确不同形式有意义的具体要求，属于基础题.‎ ‎14．已知在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，则由题意可得函数在区间上为增函数且，故有，由此解得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 令，则由函数，在区间上为减函数，‎ 可得函数在区间上为增函数且，故有，解得，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题；求复合函数的单调区间的步骤：（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；（3）分别确定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间.‎ ‎15．_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将每个被开方数化为完全平方式的形式，从而开方整理得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根式的化简求值问题，关键是能够将被开方数化为完全平方数的形式，属于基础题.‎ ‎16．已知函数，则关于的不等式的解集是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据对数真数大于零可求得函数的定义域；由复合函数单调性可知在定义域内单调递增；根据单调性可将所求函数不等式化为且自变量在定义域范围内，由此构造出不等式组，解不等式组求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由得： 的定义域为 在上单调递增 在上单调递增 由得：，解得：‎ 不等式的解集为 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的单调性求解函数不等式的问题，关键是能够利用复合函数单调性的判定确定函数的单调性，从而将函数大小关系转化为自变量之间的大小关系；易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误.‎ 三、解答题 ‎17．（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）21；（2）‎ ‎【解析】（1）根据分式、根式与指数运算的关系、分母有理化运算将式子化简为指数运算的形式，根据指数运算法则求得结果；‎ ‎（2）根据指数幂运算、对数运算法则化简求值即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据指数幂运算、对数运算法则化简求值的问题；关键是能够熟练掌握分式、偶次根式与指数幂的互化、对数运算的基本法则等知识，属于基础题.‎ ‎18．已知集合.‎ ‎（Ⅰ）用列举法表示集合A；‎ ‎（Ⅱ）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）解方程求得方程的根，进而列举法表示出集合；‎ ‎（Ⅱ）由知；分别在、中只有一个元素和中有两个元素的情况下，构造方程和不等式求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由得：或 ‎ ‎（Ⅱ） ‎ ‎①当时，，解得：‎ ‎②当中只有一个元素时，由得：‎ 此时，满足题意 ‎③当中有两个元素时，‎ 则，解得：‎ 综上所述：的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查列举法表示集合、根据交集运算的结果求解参数值的问题；关键是能够根据交集运算结果得到两集合之间的包含关系；易错点为忽略集合为空集的情况.‎ ‎19．设，是R上的偶函数 ‎(1)求的值；⑵证明：在上是增函数 ‎【答案】⑴；⑵证明见解析.‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎⑴是R上的偶函数对于任意的，都有 即，化简得（，‎ ‎，‎ ‎⑵由⑴得 故任取，则 因此 所以在上是增函数 ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性以及函数的单调性，属于中档题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数.‎ ‎20．（Ⅰ）对于任意的，都有，求数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）已知是奇函数，，若，求和的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）令，表示出；代入已知关系式可构造出方程组，解方程组求得，进而得到；‎ ‎（Ⅱ）由奇偶性可知；根据已知关系式和奇偶性可将所给函数值表示为，解方程组求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）令，则 ‎……①，则……②‎ ‎①②联立可得： ‎ ‎（Ⅱ）为奇函数 ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查构造方程组法求解函数解析式、函数值的问题；关键是能够利用换元法或奇偶性，利用已知关系式构造出方程组的形式，进而求得结果.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若对于恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）分别在和两种情况下得到，由可构造方程求得结果；‎ ‎（Ⅱ）根据的范围和函数解析式，将恒成立的不等式化为，根据单调性可求得的范围，进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）当时，；当时，‎ 由得：，即，解得：或（舍）‎ ‎（Ⅱ）当时，，‎ 对恒成立 ‎， 不等式可化为：‎ 当时， ‎ 即的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查根据分段函数的函数值求解自变量的值、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为所求参数与函数最值之间的关系，通过求解函数最值求得结果.‎ ‎22．己知实数，函数 ‎（Ⅰ）设，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）将表示为的函数；‎ ‎（Ⅲ）若函数的最大值为，求的解析式.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）‎ ‎【解析】首先根据偶次根式的要求，确定的定义域；‎ ‎（Ⅰ）将平方后再开方可整理得，根据定义域可求得的范围；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，代入可整理得到结果；‎ ‎（Ⅲ）将问题转化为最大值的求解，即二次函数最大值的求解；分别在、和三种情况下，根据二次函数性质得到最大值，从而得到.‎ ‎【详解】‎ 由得：，即定义域为 ‎（Ⅰ）由得：，又，则 ‎ ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：‎ ‎，‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，最大值即为最大值 ‎ 为开口方向向下，对称轴为的二次函数 ‎①当，即时，‎ ‎②当，即时，‎ ‎③当，即时，‎ 综上所述：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查换元法表示函数、函数最值的求解问题；关键是能够将问题转化为二次函数最值的求解问题，进而通过对对称轴位置的讨论得到最大值点，求得所求最大值；易错点是在转化时，忽略自变量的取值范围，造成求解错误.‎