高考数学专题复习：《立体几何中的向量方法》同步训练题 16页

‎《立体几何中的向量方法》同步训练题 一、选择题 ‎1、正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，CD的中点，．则三棱锥的体积V （ ）‎ ‎ A． B． C ． D．‎ ‎2、如图，图 ABCD—A1B‎1C1D1是正方体，B1E1＝D‎1F1＝，则BE1与DF1所成角的余弦值是（ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎3、如图，A1B‎1C1—ABC是直三棱柱，图 ∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A‎1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎4、正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离（ ）‎ ‎ A． B． C ． D．‎ A A1‎ D C B B1‎ C1‎ 图 ‎5、已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点．点到平面的距离（ ）‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎6、在棱长为的正方体中，则平面与平面间的距离 （ ）‎ ‎ A． B． C ． D．‎ ‎7、在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8、在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G．则与平面ABD所成角的余弦值 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9、在正三棱柱ABC—A1B‎1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（ ）‎ ‎ A．60° B．90° C．105° D．75°‎ ‎10、正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且，则二面角的大小 （ ）‎ ‎ A． B． C ． D．‎ 二、填空题 ‎11、在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求点到截面的距离 ．‎ ‎12、已知棱长为1的正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E、F分别是B‎1C1和C1D1的中点，点A1到平面DBEF的距离 ．‎ ‎13、已知棱长为1的正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值 ．‎ ‎14、在正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离 ．‎ 三、解答题 ‎15、（14分）如图5：正方体ABCD-A1B‎1C1D1，过线段BD1上一点P（P平面ACB1）作垂直于D1B的平面分别交过D1的三条棱于E、F、G．‎ ‎(1)求证：平面EFG∥平面A CB1，并判断三角形类型；‎ ‎(2)若正方体棱长为a，求△EFG的最大面积，并求此时EF与B‎1C的距离．‎ ‎16、（12分）已知棱长为1的正方体ABCD－A1B‎1C1D1，求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的大小 ‎17、（12分）已知棱长为1的正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E、F、M分别是A‎1C1、A1D和B‎1A上任一点，求证：平面A1EF∥平面B1MC．‎ ‎18、（12分）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=‎2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．‎ ‎（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；‎ ‎（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值．‎ ‎19、（12分）已知棱长为1的正方体AC1，E、F分别是B‎1C1、C1D的中点．‎ ‎（1）求证：E、F、D、B共面；‎ ‎（2）求点A1到平面的BDEF的距离；‎ ‎（3）求直线A1D与平面BDEF所成的角．‎ ‎20、（14分）已知正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点，求：‎ ‎（Ⅰ）D1E与平面BC1D所成角的大小；‎ ‎（Ⅱ）二面角D－BC1－C的大小；‎ ‎（Ⅲ）异面直线B1D1与BC1之间的距离．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、C；解 以D为坐标原点，建立如图10所示的直角坐标系，‎ 则 ， ，‎ ‎，，‎ ‎∴ ，，‎ ‎， ‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ，‎ 所以 ，‎ 设 平面的方程为：，将点代入得 ‎， ∴ ，‎ ‎ ∴ 平面的方程为：，其法向量为 ‎， ∴点到平面的距离，‎ ‎∴ 即为所求．‎ 评析 （1）在求点到平面的距离时，有时也可直接利用点到平面的距离公式　 计算得到．‎ ‎（2） 法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等．‎ ‎2、A；‎ ‎3、A；‎ ‎4、C；‎ 分析：建立如图所示的直角坐标系，则 A B C D O S 图 ‎，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎，．‎ ‎，．‎ 令向量，且，则，‎ ‎，，‎ ‎，．‎ 异面直线和之间的距离为：‎ ‎．‎ ‎5、A；分析：‎ 为正方形，，又平面平面，面，是平面的一个法向量，设点到平面的距离为，则 ‎=‎ ‎== ．‎ ‎6、B；分析：建立如图所示的直角坐标系，‎ A B C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ E 图 设平面的一个法向量，则，即，‎ ‎，平面与平面间的距离 ‎7、D；‎ ‎8、B；解 以C为坐标原点，CA所在直线为轴，CB所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系， ‎ 设，‎ 则 ，，， ‎ ‎∴ ， ， ，， ‎ ‎∵ 点E在平面ABD上的射影是的重心G， ‎ ‎∴ 平面ABD， ∴ ，解得 ．‎ ‎∴ ， ，‎ ‎∵ 平面ABD， ∴ 为平面ABD的一个法向量．‎ 由 ‎ ‎∴ 与平面ABD所成的角的余弦值为．‎ 评析 因规定直线与平面所成角，两向量所成角，所以用此法向量求出的线面角应满足．‎ ‎9、B；‎ ‎10、A；取BC的中点O，连AO．由题意 平面平面，，‎ ‎∴平面，‎ 以O为原点，建立如图6所示空间直角坐标系，‎ 则 ，，，， ‎ ‎ ∴ ， ， ，‎ 由题意 平面ABD， ∴ 为平面ABD的法向量．‎ 设 平面的法向量为 ，‎ 则 ， ∴ ， ∴ ，‎ 即 ． ∴ 不妨设 ，‎ 由 ，‎ ‎ 得． 故所求二面角的大小为．‎ 评析：（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神．‎ ‎（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取时，会算得，从而所求二面角为，但依题意只为．因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角．所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”．‎ 二、填空题 ‎11、分析：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ A E A1‎ D C B B1‎ C1‎ D1‎ F 图 则．‎ ‎，；‎ 设面的法向量为，‎ 则有：，‎ ‎，‎ ‎，又，所以点到截面的距离为=．‎ ‎12、1；解：如图建立空间直角坐标系，‎ ‎＝（1，1，0） ，＝（0，，1）， ＝（1，0，1） ‎ ‎ 设平面DBEF的法向量为＝（x，y，z），则有：‎ ‎ 即 x＋y＝0 ‎ ‎ y＋z＝0‎ z x B A1‎ y F E B1‎ C1‎ D1‎ D C A 令x＝1, y=－1, z=, 取＝（1，－1，），则A1到平面DBEF的距离 ‎13、解：如图建立空间直角坐标系，＝（0，1，0），＝（－1，0，1），＝（0，，1）‎E z x D1‎ y A C1‎ B1‎ A1‎ B D C 设平面ABC1D1的法向量为＝（x，y，z）,‎ 由 可解得＝（1，0，1）‎ ‎ 设直线AE与平面ABC1D1所成的角为θ，则，‎ ‎14、分析：设正方体棱长为，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设和公垂线段上的向量为，则，即，，，又，，所以异面直线和间的距离为．‎ 三、解答题 ‎15、(证明（1）用纯粹的几何方法要辗转证明EF∥AC，EG∥B‎1C，FG∥AB1来证明，而我们借用向量法使问题代数化，运算简洁，思路简单明了．)‎ ‎(1)分析：要证平面EFG平面ACB1，由题设知只要证BD1垂直平面ACB1即可．‎ 证明：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图5，不妨设正方体棱长为a，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），D1（0，0，a），B1（a，a，a），E（xE，0，a），F（0，yF，a），G（0，0，zG）．‎ ‎∴=（－a，－a，a），=（0，a，a），（－xE，yF，0），=（－a，a，0），=（－a，0，－a），‎ ‎∵·=(－a，－a，a)·(0，a，a)=0，‎ ‎∴⊥ ，‎ 同理 ⊥，‎ 而与不共线且相交于点A，‎ ‎∴⊥平面ACB1，又已知⊥平面EFG，‎ ‎∴ 平面EFG∥平面ACB1；‎ 又因为⊥平面EFG，所以 ⊥，‎ 则·=0， ‎ 即 (－a，－a，a)·(－xE，yF，0)=0，‎ 化简得 xE－yF=0；‎ 同理 xE－zG=0, yF－zG=0，‎ 易得 ==，‎ ‎ ∴ △EFG为正三角形．‎ ‎(2)解：因为△EFG是正三角形，显然当△EFG与△A‎1C1D重合时，△EFG的边最长，其面积也最大，此时，=A‎1C1=·a，‎ ‎ ∴= ‎ ‎ = ·sin600‎ ‎ = (·a)2·‎ ‎ =·a2 ．‎ 此时EF与B1C的距离即为A1C1与B1C的距离，由于两异面直线所在平面平行，所求距离转化为求点B1到平面 A1C1D的距离，记A1C1与B1D1交于点O1，作O1H∥D1B并交BB1于点H，则O1H⊥平面A1C1D，垂足为O1，则O1(，，a)，H(a，a，)，而作为平面A1C1D的法向量，‎ 所以异面直线EF与B1C的距离设为d是 d = ==·a．‎ ‎(证明（2）时一般要找到求这两平面距离的两点，如图5*，而这两点为K与J，在立体图形中较难确定，且较难想到通过作辅助线DO1，OB1来得到，加上在如此复杂的空间图形中容易思维混乱，但只要借助平面法向量求线段的射影长度的思想，结合题设，使思路清晰明了，最终使问题的解决明朗化；把握这种思想，不管是空间线线距离，线面距离，面面距离问题，一般我们都能转化成点线或点面距离，再借助平面法向量很好地解决了．)‎ ‎16、z y x D1‎ A1‎ D B1‎ C1‎ C B A 解：如图建立空间直角坐标系，＝（－1，1，0），＝（0，1，－1）‎ ‎ 设、分别是平面A1BC1与平面ABCD的法向量，‎ ‎ 由 可解得＝（1，1，1）‎ 易知＝（0，0，1），‎ 所以，＝‎ 所以平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角大小为arccos或 －arccos．‎ 注：用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求 ‎ 出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小．‎ ‎17、F y E M x z D1‎ C1‎ B1‎ A1‎ C D B A 证明：如图建立空间直角坐标系，‎ ‎ 则＝（－1，1，0），＝（－1，0，－1）‎ ‎ ＝（1，0，1）， ＝（0，－1，－1）‎ ‎　　　设，，（、、 ，且均不为0）‎ ‎ 设、分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量，‎ ‎ 由 可得 即 ‎ ‎ ‎ 解得：＝（1，1，－1）‎ ‎ 由 可得 即 ‎ ‎ ‎ ‎ 解得＝（－1，1，－1），所以＝－， ∥，‎ ‎ 所以平面A1EF∥平面B1MC．‎ 注：如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用⊥来证明．‎ ‎18、（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD．∴AB⊥平面PAD．又∵AE⊥PD，∴PD⊥平面ABE，故BE⊥PD．‎ ‎（2）解：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C、D的坐标分别为（a，a，0），（0，2a，0）．‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，∠PDA是PD与底面ABCD所成的角，∴∠PDA=30°．‎ 于是，在Rt△AED中，由AD=2a，得AE=a．过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE中，由AE=a，∠EAF=60°，得AF=，EF=a，∴E（0，a）‎ 于是，={－a，a，0}‎ 设与的夹角为θ，则由 cosθ=‎ AE与CD所成角的余弦值为．‎ 评述：第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段．‎ ‎19、解：（1）略．‎ ‎（2）如图，建立空间直角坐标系D—xyz,‎ 则知B（1，1，0），‎ 设 得则 令．‎ 设点A1在平面BDFE上的射影为H，连结A1D，知A1D是平面BDFE的斜线段．‎ 即点A1到平面BDFE的距离为1．‎ ‎（3）由（2）知，A1H=1，又A1D=，则△A1HD为等腰直角三角形，‎ ‎20、解：A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ A B C D E x y z 建立坐标系如图，则、，，‎ ‎，，，，，‎ ‎，，．‎ ‎（Ⅰ）不难证明为平面BC1D的法向量，‎ ‎∵ ‎ ‎∴ D1E与平面BC1D所成的角的大小为 （即）．‎ ‎（Ⅱ）、分别为平面BC1D、BC1C的法向量，‎ ‎∵ ，∴ 二面角D－BC1－C的大小为．‎ ‎（Ⅲ）∵ B1D1∥平面BC1D，∴ B1D1与BC1之间的距离为．‎