高中数学（人教A版）必修5能力强化提升及单元测试：1-2第2课时 4页

第2课时　正、余弦定理在三角形中的 应用 双基达标　(限时20分钟) ‎1．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为 (　　)．‎ A. B．3 C. D．7‎ 解析　∵S△ABC＝AB·ACsin A＝，∴AC＝1.‎ 由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3.即BC＝.‎ 答案　A ‎2．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为 (　　)．‎ A．75° B．60° C．45° D．30°‎ 解析　由△ABC的面积为3，且BC＝4，CA＝3可知 BC·CAsin C＝3，∴sin C＝，‎ 又△ABC为锐角三角形，∴C＝60°.‎ 答案　B ‎3．一梯形的两腰长分别为2和6，它的一个底角为60°，则它的另一个底角的余弦值为(　　)．‎ A. B. C．± D．± 解析　如图所示．设梯形ABCD中，AD∥BC.‎ 由题意可知C＝60°.‎ 过D作AB的平行线DB′与BC交于B′.‎ 在△B′CD中，B′D＝AB＝6，CD＝2，C＝60°，∠DB′C＝∠B，‎ 于是sin∠DB′C＝·sin C＝，‎ ‎∴cos∠DB′C＝＝.故选B.‎ 答案　B ‎4．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为________．‎ 解析　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，‎ 即c2＋5c－24＝0，‎ 解得c＝3.‎ ‎∴S△ABC＝acsin B＝×5×3sin 120°＝.‎ 答案　 ‎5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝，b＝1，三角形ABC的外接圆半径为1，则△ABC的面积S＝________.‎ 解析　由正弦定理＝＝2R，∴a＝，sin B＝，∴a>b，∴A>B，∴B＝，C＝.∴S△ABC＝.‎ 答案　 ‎6．(2011·海口高一月考)在△ABC中，A＝120°，c>b，a＝，S△ABC＝，求b，c.‎ 解　∵S△ABC＝bcsin A＝，∴bc＝4.①‎ 又a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ ‎∴b＋c＝5，②‎ 又c>b，由①②得b＝1，c＝4.‎ 综合提高　(限时25分钟) ‎7．在△ABC中，c＝，b＝1，B＝30°，则△ABC的面积为 (　　)．‎ A.或 B.或 C.或 D. 解析　根据正弦定理：sin C＝＝sin 30°＝.‎ ‎∵c>b，∴C>B＝30°，∴C＝60°或120°.‎ 当C＝60°时，A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋60°)＝90°，‎ ‎∴△ABC的面积S＝bc＝；‎ 当C＝120°时，A＝180°－(30°＋120°)＝30°，‎ ‎∴△ABC的面积S＝bcsin A＝×1×sin 30°＝.‎ 答案　B ‎8．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则等于 (　　)．‎ A. B. C. D．3 解析　由S△ABC＝bcsin A＝可知c＝4.‎ 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝1＋16－8cos 60°＝13，‎ ‎∴a＝.∴＝＝.‎ 答案　A ‎9．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．‎ 解析　不妨设三角形三边为a，b，c，且a＝6，b＝c＝12，‎ 由余弦定理得：‎ cos A＝＝＝，‎ ‎∴sin A＝ ＝.‎ 由(a＋b＋c)·r＝bcsin A得r＝.‎ ‎∴S内切圆＝πr2＝.‎ 答案　 ‎10．在▱ABCD中，AB＝6，AD＝3，∠BAD＝60°，则▱ABCD的对角线AC长为________，面积为________．‎ 解析　在▱ABCD中，连接AC，则CD＝AB＝6，‎ ‎∠ADC＝180°－∠BAD＝180°－60°＝120°.‎ 根据余弦定理得，‎ AC＝ ‎＝ ‎＝3.‎ S▱ABCD＝2S△ABD＝AB·AD·sin∠BAD ‎ ＝6×3sin 60°＝9.‎ 答案　3　9 ‎11．在△ABC中，内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.‎ ‎(1)若△ABC的面积等于，求a，b；‎ ‎(2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面积．‎ 解　(1)∵S＝absin C＝ab·＝，‎ ‎∴ab＝4. ①‎ ‎∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝‎ ‎(a＋b)2－2ab－2abcos C＝(a＋b)2－12＝4.‎ ‎∴a＋b＝4. ②‎ 由①②可得a＝2，b＝2.‎ ‎(2)∵sin B＝2sin A，∴b＝2a.‎ 又∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝4.‎ ‎∴a＝，b＝.‎ ‎∴S＝absin C＝.‎ ‎12．(创新拓展)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos C＝，‎ ‎(1)求sin的值；‎ ‎(2)若·＝1，a＋b＝，求边c的值及△ABC的面积．‎ 解　(1)由sin2C＋cos2C＝1，得sin C＝.‎ 则sin＝sin Ccos ＋cos Csin ＝×＋×＝.‎ ‎(2)因为·C＝||||cos C＝1，则ab＝5.‎ 又a＋b＝，所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝27.‎ 所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝25，则c＝5.‎ 所以S△ABC＝absin C＝.‎