山东省临沂市2020届高三一模数学试题 23页

‎2020年临沂市高三模拟试题 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，，再计算交集得到答案.‎ ‎【详解】，，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.‎ ‎2.已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则的共轭复数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，，，再计算共轭复数得到答案.‎ ‎【详解】复数，在复平面内对应的点分别为，，故，，‎ ‎，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的除法，共轭复数，复数对应的点，意在考查学生对于复数知识的综合应用.‎ ‎3.若，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次判断充分性和必要性，取得到不充分，得到答案.‎ ‎【详解】当时，取，则，故不充分；‎ 当时，根据幂函数的单调性得到，故，必要性成立.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.‎ ‎4.已知向量，其中与是相反向量，且，，则（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，则，计算得到，，再计算数量积得到答案.‎ ‎【详解】设，则，，故，‎ ‎，故，，.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎5.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到，，，得到答案.‎ ‎【详解】，，又，‎ 所以，，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据对数函数和指数函数的单调性比较函数值大小，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎6.已知函数，，当时，取得最大值，则函数的大致图象为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，，，对比图像得到答案.‎ ‎【详解】，故，.‎ ‎，对比图像知满足条件.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数的最值，指数型函数图像，意在考查学生对于函数性质的综合应用.‎ ‎7.‎ ‎《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，问积为粟几何？”，意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，问它的体积和粟各为多少？”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知园周率约为3，一斛粟的体积约为2700立方寸（单位换算：1立方丈立方寸），一斛粟米卖270钱，一两银子1000钱，则主人卖后可得银子（ ）‎ A. 200两 B. 240两 C. 360两 D. 400两 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算底面半径为，，换算单位得到答案.‎ ‎【详解】底面半径为，立方丈立方寸斛，‎ 故两.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了圆锥的体积的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎8.点为抛物线上任意一点，点为圆上任意一点，若函数的图象恒过定点，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，则，计算得到答案.‎ ‎【详解】函数的图象恒过定点，故.‎ ‎，即，焦点为，准线为，‎ ‎，即.‎ ‎，当共线时等号成立.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了对数函数过定点问题，抛物线的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．‎ ‎9.下列结论正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. “，”的否定是“，”‎ D. 将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称 ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据齐次式计算，错误，，正确，特称命题的否定是全称命题，正确，平移后得到偶函数，错误，得到答案.‎ ‎【详解】，则，故错误；‎ ‎，则，正确；‎ 根据特称命题的否定是全称命题：“，”的否定是“，”，故正确；‎ 将函数的图象向左平移个单位长度，得到为偶函数，故错误.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了齐次式求值，函数取值范围，命题否定，函数平移和奇偶性，意在考查学生的综合应用能力.‎ ‎10.某同学在微信上查询到近十年全国高考报名人数、录取人数和山东夏季高考报名人数的折线图，其中2019年的录取人数被遮挡了．他又查询到近十年全国高考录取率的散点图，结合图表中的信息判定下列说法正确的是（ ）‎ A. 全国高考报名人数逐年增加 B. 2018年全国高考录取率最高 C. 2019年高考录取人数约820万 D. 2019年山东高考报名人数在全国的占比最小 ‎【答案】BCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图表2016年的人数少于2015年人数，故错误，2018年的录取率为，为最高，正确，2019年高考录取人数为，故正确，计算占比得到正确，得到答案.‎ ‎【详解】2016年的人数少于2015年人数，故错误；‎ ‎2018年的录取率为，为最高，正确；‎ ‎2019年高考录取人数为，故正确；‎ 从2010—2019年山东高考报名人数在全国的占比分别为：‎ ‎，故正确.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了折线图和散点图，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎11.在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理得到，，根据余弦定理得到，，得到答案.‎ ‎【详解】，故，根据正弦定理：，即，‎ ‎，故，，.‎ ‎，化简得到，解得或，‎ 若，故，故，不满足，故.‎ ‎.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎12.如图，点为正方形边上异于点，的动点，将沿翻折成，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）‎ A. 存在点和某一翻折位置，使得 B. 存在点和某一翻折位置，使得平面 C. 存在点和某一翻折位置，使得直线与平面所成的角为45°‎ D. 存在点和某一翻折位置，使得二面角的大小为60°‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次判断每个选项：当时，，正确，平面，则，这与已知矛盾，故错误，取二面角的平面角为，取，计算得到，正确，取二面角的平面角为，计算得到，故正确，得到答案.‎ ‎【详解】当时，，，故平面，故，正确；‎ 若平面，因平面，平面平面，则，‎ 这与已知矛盾，故错误；‎ 如图所示：交于，交于，在平面的投影在上，‎ 连接，故为直线与平面所成的角，‎ 取二面角的平面角为，取，，故，‎ ‎，，，故只需满足，‎ 在中，根据余弦定理：‎ ‎，解得，故正确；‎ 过作交于，则为二面角的平面角，‎ 取二面角的平面角为，故只需满足，‎ 设，，则，‎ ‎，化简得到，解得，验证满足，故正确；‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了线线垂直，线面平行，线面夹角，二面角，意在考查学生的计算能力，推断能力和空间想象能力.‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.三名旅游爱好者商定，新冠肺炎疫情全面结束后，前往湖北省的武汉、宜昌、黄冈三个城市旅游.如果三人均等可能的前往上述三个城市之一，则他们选择同一个城市的概率是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据三人均等可能的前往三个城市之一，可得共有种选择情况，他们选择同一城市有种情况，即可求得答案.‎ ‎【详解】三人均等可能前往三个城市之一 共有种选择情况，‎ 他们选择同一城市有种情况，‎ 概率为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了求事件概率问题，解题关键是掌握概率计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.‎ ‎14.若展开式中的各项系数的和为1024，则常数项为__________．‎ ‎【答案】405‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据系数和得到，再根据二项式定理计算得到答案.‎ ‎【详解】展开式中的各项系数的和为，故，‎ 故的展开式的通项为：，‎ 取得到常数项为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎15.已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则该双曲线的离心率为__________，__________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据渐近线得到，得到离心率，不妨取，计算得到答案.‎ ‎【详解】一条渐近线方程为，故，，故.‎ ‎，不妨取，故.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎16.已知函数，若方程有两个不相等的实根，则实数取值范围是__________．‎ ‎【答案】，或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分段求导得到函数单调区间，画出函数图像，，即，根据图像得到答案.‎ ‎【详解】当时，，故，故函数在上单调递增，在上单调递减，，；‎ 当时，，故，故函数在上单调递减，在上单调递增，，画出函数图像，如图所示：‎ ‎，即，根据图像知：或，‎ 解得或.‎ 故答案为：，或.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的零点问题，求出单调区间得到函数图像是解题的关键.‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.记为数列的前项和，已知，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求满足的正整数的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）8．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据公式得到得到通项公式.‎ ‎（2），故，解得答案.‎ ‎【详解】（1）当，，，又，．‎ 当时，，①，②‎ ‎①—②整理得，，，．‎ ‎（2）因为，所以，‎ 所以，‎ 故，‎ 令，解得，所以的最大值为8．‎ ‎【点睛】本题考查了数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.‎ ‎18.已知函数满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是：①，②周期，③过点，④．‎ ‎（1）写出所满足的3个条件的序号（不需要说明理由），并求的解析式；‎ ‎（2）求函数的图象与直线相邻两个交点间的最短距离．‎ ‎【答案】（1）②③④；；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）所满足的三个条件是：②③④，计算得到，，，解得，，得到解析式.‎ ‎（2）根据题意，故，或，，得到答案.‎ ‎【详解】（1）所满足的三个条件是：②③④，‎ 的周期，，，‎ 又过点，且，，，‎ ‎，，‎ ‎，，又，，‎ 又，，，．‎ ‎（2）由，得，‎ ‎，或，，‎ ‎，或，，‎ 所以函数的图象与直线相邻两个交点间的最短距离为．‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数解析式，图像中的最短距离，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎19.如图，斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，为的中点，平面，点在上，，为与的交点，且与平面所成的角为．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连结，证明相似得到，得到证明.‎ ‎（2）以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，平面的法向量为，平面的法向量为，计算夹角得到答案.‎ ‎【详解】（1）连结，为的中点，，，‎ 又，，．‎ 又平面，平面，所以平面．‎ ‎（2）因为是边长为2的正三角形，为的中点，平面，‎ 所以，，，两两垂直，以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 与平面所成的角为，又∥，与平面所成的角为，‎ 又平面，与平面所成的角为，即．‎ 又是边长为2的正三角形，为的中点，，‎ 由题意知，，，，‎ 所以，，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 所以，，即，取，‎ 设平面的法向量为，‎ 由，得，取，‎ 所以，‎ 设二面角的大小为，．‎ 所以二面角的正弦值为．‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎20.动点在椭圆上，过点作轴的垂线，垂足为，点满足，已知点的轨迹是过点的圆．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆交于，两点（，在轴的同侧），，‎ 为椭圆的左、右焦点，若，求四边形面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）3．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设点，，得到，点的轨迹是过的圆，故，得到椭圆方程.‎ ‎（2）如图，延长交于点，由对称性可知：，设，，直线的方程为，联立方程得到，，计算，利用均值不等式得到答案.‎ ‎【详解】（1）设点，，则点，，，‎ ‎，，，‎ 点在椭圆上，，即为点的轨迹方程．‎ 又点的轨迹是过的圆，，解得，‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）如图，延长交于点，由对称性可知：，‎ 由（1）可知，，‎ 设，，直线的方程为，‎ 由可得，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 设与的距离为，则四边形面积 ‎，‎ 而，‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，取等号．‎ 故四边形面积的最大值为3．‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆方程，四边形面积的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.‎ ‎21.2020年新冠肺炎疫情暴发以来，中国政府迅速采取最全面、最严格、最彻底的防控举措，坚决遏制疫情蔓延势头，努力把疫情影响降到最低，为全世界抗击新冠肺炎疫情做岀了贡献．为普及防治新冠肺炎的相关知识，某高中学校开展了线上新冠肺炎防控知识竞答活动，现从大批参与者中随机抽取200名幸运者，他们的得分（满分100分）数据统计结果如图：‎ ‎（1）若此次知识竞答得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为这200名幸运者得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值代替），求，的值（，的值四舍五入取整数），并计算；‎ ‎（2）在（1）的条件下，为感谢大家积极参与这次活动，对参与此次知识竞答的幸运者制定如下奖励方案：得分低于的获得1次抽奖机会，得分不低于的获得2次抽奖机会．假定每次抽奖中，抽到18元红包的概率为，抽到36元红包的概率为．已知高三某同学是这次活动中的幸运者，记为该同学在抽奖中获得红包的总金额，求的分布列和数学期望，并估算举办此次活动所需要抽奖红包的总金额．‎ 参考数据：；；．‎ ‎【答案】（1），；；（2）分布列详见解析，数学期望为36；总金额为7200元．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算，，故服从正态分布，计算得到答案.‎ ‎（2）的取值为18，36，54，72，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎．即．‎ ‎．‎ 由，则，而，故，‎ 则服从正态分布，‎ ‎．‎ ‎（2）取值为18，36，54，72．‎ 由题意知，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 所以的分布列为 ‎18‎ ‎36‎ ‎54‎ ‎72‎ ‎，‎ 估算所需要抽奖红包的总金额为：（元）．‎ ‎【点睛】本题考查了正态分布，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎22.已知函数，，.‎ ‎（1）设，求在上的最大值；‎ ‎（2）设，若的极大值恒小于0，求证：.‎ ‎【答案】（1）最大值（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导得，得到单调区间，分类讨论即可得最大值． ，的极大值恒小于0可得，从而得到的最大值，构造函数即可证明．‎ ‎【详解】由已知，， 当时，，当时，， 从而的单调递增区间是，单调递减区间是， 从而，， 于是 当时，，所以 当时，，所以； 综上所得． 依题意，则， 因为存在极大值，则关于x的方程有两个不等的正根， 不妨，则，则，且， ‎ 设列设表如下：‎ x ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 从而，，‎ 又， 从而对恒成立， 设，，‎ 则， 所以在上递增，从而， 所以，‎ ‎， 设，则，‎ 又， 若，‎ 若， ‎ 从而，‎ 即．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值与最值，利用导数研究存在或恒成立问题，利用导数证明不等式，属于难题．‎