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- 2021-06-19 发布
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2.2 两角和与差的正弦、正切公式
及其应用
必备知识·自主学习
1.两角和与差的正弦公式
名称 简记
符号 公式 使用条件
两角和
的正弦 _____
sin(α+β)=
______________________
____
α,β∈R
两角差
的正弦 _____
sin(α-β)=
______________________
____
α,β∈R
Sα+β
sin αcos β+cos αsin β
Sα-β sin αcos β-cos αsin β
【思考】
对照识记两角和与差的余弦公式的方法,你能总结一下识记两角和与差的正弦
公式的方法吗?
提示:可简单记为“正余余正,符号同”,即展开后的两项分别为两角的正弦乘
余弦、余弦乘正弦;展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相同.
2.两角和与差的正切公式
名称 简记
符号 公式 使用条件
两角和
的正切 Tα+β
tan(α+β)=
____________
α,β,α+β≠kπ+
(k∈Z) 且tan α·tan
β≠1
两角差
的正切 Tα-β
tan(α-β)=
α,β,αβ≠kπ+
(k∈Z)且tan α·tan
β≠-1
2
2
tan tan
1 tan tan
＋
－
tan tan
1 tan tan
－
＋
【思考】
(1)由同角三角函数的商数关系知tan(α+β)= 由此能否推导出两角
和的正切公式?
提示:能.tan(α+β)= ,分子分母同除以cos α
cos β可得tan(α+β)= .
(2)两角和与差的正切公式中为什么限制α,β,α+β,α-β都不等于kπ+
(k∈Z)?
提示:这是由正切函数的定义域决定的.
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
＋ ＋
＋ －
tan tan
1 tan tan
＋
－
sin( )
cos( )
＋
＋
2
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的. ( )
(2)存在α,β∈R,使得sin(α-β)=sin α-sin β成立.( )
(3)存在α,β∈R,使tan(α+β)=tan α+tan β成立. ( )
(4)对任意α,β∈R,tan(α+β)= 都成立. ( )tan tan
1 tan tan
＋
－
提示:(1)√.根据公式的推导过程可得.
(2)√.当α=45°,β=0°时,sin(α-β)=sin α-sin β.
(3)√.当α=0,β= 时,tan(α+β)=tan =tan 0+tan ,但一般情况
下不成立.
(4)×.两角和的正切公式的适用范围是α,β,α+β≠kπ+ (k∈Z).
3
(0 )3
＋ 3
2
2.化简cos(x+y)sin y-sin(x+y)cos y等于 ( )
A.sin(x+2y) B.-sin(x+2y)
C.sin x D.-sin x
【解析】选D.cos(x+y)·sin y-sin(x+y)cos y=sin[y-(x+y)]=-sin x.
3.(教材二次开发:例题改编)若tan α=3,tan β= ,则tan(α-β)=( )
A. B. C.- D.-3
【解析】选A.因为tan α=3,tan β= ,所以tan(α-β)= =
.
1
3
1
2
1
3
4
343 13
4 31 3 3
－
＝
＋
tan tan
1 tan tan
－
＋
4
3
4.函数f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x的最大值为________.
【解析】因为f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x=cos φsin x-sin φcos x
=sin(x-φ),又-1≤sin(x-φ)≤1,所以f(x)的最大值为1.
答案:1
关键能力·合作学习
类型一 两角和与差的正弦公式的应用(数学抽象)
角度1 化简求值
【典例】1. 的值是( )
A. B. C.1 D.
2.若sin = ,cos = ,且0<α< <β< ,则cos(α+β)的值
为________.
2sin 40 sin 20
cos 20
3 6
2
1
2
3( )4
5
13
3
5
( )4
4
3
4
【思路导引】1.由sin 40°=sin 套用两角差的正弦公式化简可求值.
2.考虑如何利用已知条件中的角拼凑成所求问题中的角,可使用诱导公式.
【解析】1.选A.原式= =
(60 20 ) －
2sin(60 20 ) sin 20
cos 20
－
2sin 60 cos 20 2cos 60 sin 20 sin 20
cos 20
3 12 cos 20 2 sin 20 sin 202 2
cos 20
3cos 20 sin 20 sin 20 3.cos 20
－
－
－
2.因为0<α< <β< ,所以 < +α<π,- < -β<0,
又已知sin = ,cos = ,
所以cos =- ,sin =- .
所以cos(α+β)=sin =sin
=sin cos -cos sin
= .
答案:-
4
3
4
3
4
3
4
4
2
3( )4
5
13 ( )4
3
5
3( )4
12
13 ( )4
4
5
[ ( )]2
3[( ) ( )]4 4
3( )4
( )4
3( )4
( )4
5 3 12 4 33( ) ( )13 5 13 5 65
－ － －
33
65
【变式探究】
本例1考查利用两角和与差的正弦公式解决给角求值问题,突出考查了数学抽象
与数学运算的核心素养.若本例1变形为下式,试求值.
的值是 ( )
A. B. C.1 D.
2cos 50 sin 20
cos 20
3 6
2
1
2
【解析】选A.原式= =2cos(30 20 ) sin 20
cos 20
2cos 30 cos 20 2sin 30 sin 20 sin 20
cos 20
3 12 cos 20 2 sin 20 sin 202 2
cos 20
3cos 20 sin 20 sin 20 3.cos 20
－
－
－
角度2 给值求角
【典例】已知α,β均为锐角,且sin α= ,cos β= ,则α-β=_______.
【思路导引】先由已知的三角函数值,选择适当的三角函数名求出所求角的三
角函数值,再由已知角的范围,确定所求角的值.
10
10
5
5
【解析】因为α,β均为锐角,且sin α= ,cos β= ,
所以cos α= ,sin β= .
所以sin (α-β)=sin αcos β-cos αsin β= =- .
又因为α,β均为锐角,所以- <α-β< ,故α-β=- .
答案:-
10
10
5
5
2 5
5
3 10
10
5 10 2 5 3 10
5 10 5 10
－ 2
2
2
2
4
4
【解题策略】
1.解决给角求值问题的一般思路
(1)非特殊角型:把非特殊角转化为特殊角的和或差(如15°=45°-30°或15°
=60°-45°),直接应用公式求值.
(2)逆用结构型:把两角的和与差的展开式中的角视为一个整体,借助诱导公式
等工具,构造两角和与差的正余弦公式的展开式,然后逆用公式求值.
2.给值求角问题的解题步骤
①求所求角的某个三角函数值;
②确定所求角的范围.此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论,或范围过大或
过小,会使求出的角不合题意或者漏解,同时要根据角的范围确定取该角的哪一
种三角函数值.
【题组训练】
1.若cos α=- ,α是第三象限的角,则sin =( )
A.- B. C.- D.
【解析】选A.因为cos α=- ,α是第三象限的角,所以sin α=- ,由两角
和的正弦公式可得sin =sin αcos +cos αsin =
.
4
5 ( )4
＋
4
5
3
5
( )4
＋ 4
4
3 2 4 2) )5 2 5 2
(－ ＋(－
7 2
10＝－
2
10
7 2
10
7 2
10
2
10
2.已知α∈ ,β∈ ,且cos(α-β)= ,sin β=- ,求sin α.
【解析】因为α∈ ,β∈ ,
所以α-β∈(0,π).
因为cos(α-β)= ,所以sin(α-β)= .因为β∈ ,sin β=- ,
所以cos β= .所以sin α=sin[(α-β)+β]
=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β
= .
(0 )2
， ( 0)2
－ ， 3
5
2
10
(0 )2
， ( 0)2
－ ，
3
5
4
5 ( 0)2
－ ， 2
10
7 2
10
4 7 2 3 2 2(5 10 5 10 2
＋ － )＝
3.已知sin α= ,sin(α-β)=- ,α,β均为锐角,求β.
【解析】因为α为锐角,sin α= ,所以cos α= .因为- <α-β<
且sin(α-β)=- ,所以cos(α-β)= ,所以sin β=sin[(β-α)+α]
=sin(β-α)cos α+cos(β-α)sin α= ,因为β为
锐角,所以β= .
5
5
10
10
5
5
2 5
5 2
2
10
10
3 10
10
10 2 5 3 10 5 2
10 5 10 5 2
＋ ＝
4
【补偿训练】
若锐角α,β满足cos α= ,cos(α+β)= ,则sin β的值是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.因为cos α= ,cos(α+β)= ,α,β∈ ,所以sin α=
,sin(α+β)= .
所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α
= .
4
5
3
5
1
5
17
25
3
5
7
25
4
5
3
5 (0 )2
，
3
5
4
5
4 4 3 3 7
5 5 5 5 25
－ ＝
4.在△ABC中,3sin A+4cos B=6,3cos A+4sin B=1,则C的大小为 ( )
A. B.
C. 或 D. 或
【解析】选A.由已知可得(3sin A+4cos B)2+(3cos A+4sin B)2=62+12,即
9+16+24sin(A+B)=37.所以sin(A+B)= .所以在△ABC中,sin C= ,所以
C= 或C= .又1-3cos A=4sin B>0,所以cos A< .又 < ,所以A> ,
所以C< ,所以C= 不符合题意,所以C= .
6
6
5
6
5
6
3
2
3
1
2
1
2
6
5
6
1
3
1
3
1
2 3
5
6
6
2
3
5.求下列各式的值:
(1)cos 105°+sin 195°;
(2)sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°;
(3)sin - cos .
12
12
3
【解析】(1)cos 105°+sin 195°
=cos(90°+15°)+sin(180°+15°)
=-sin 15°-sin 15°=-2sin 15°=-2sin(45°-30°)
=-2(sin 45°·cos 30°-cos 45°·sin 30°)
=-2 .2 3 2 1 2 6( 2 2 2 2 2
－－ )＝
(2)sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°
=sin 14°cos 16°+sin(90°-14°)cos(90°-16°)
=sin 14°cos 16°+cos 14°sin 16°
=sin(14°+16°)=sin 30°= .1
2
(3)方法一:sin - cos =2
=2
=-2cos
=-2cos =-2× =- .
方法二:sin - cos
=2
=2
=-2sin =-2sin =-2× =- .
12
12
3
1 3( sin cos )2 12 2 12
－
(sin sin cos cos )6 12 6 12
－
( )6 12
＋
4
2
2 2
12
3
12
1 3( sin cos )2 12 2 12
－
(cos sin sin cos )3 12 3 12
－
( )3 12
－ 4
2
2 2
类型二 两角和与差的正切公式的应用(数学运算、逻辑推理)
【典例】1.计算 =________.
2.tan 72°-tan 42°- tan 72°tan 42°=________.
1 tan 15
3 tan 60 tan 15
－
3
3
3.如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边
分别与单位圆交于A,B两点.已知A,B的横坐标分别为 , .求:
(1)tan(α+β)的值;(2)α+2β的值.
2 5
5
2
10
【思路点拨】1.先用“tan45°=1”替换,再利用两角和的正切公式求值.
2.利用两角差的正切公式的变形公式解决.
3.(1)由三角函数的定义得出角α,β的正弦、余弦值,求出它们的正切值,利用
两角和的正切公式解决.
(2)由α+2β=(α+β)+β,利用两角和的正切公式解决.
【解析】1.原式= = tan(45°+15°)= tan 60°=1.
答案:1
2.原式=tan(72°-42°)(1+tan 72°·tan 42°)- tan 72°tan 42°=
tan 30°(1+tan 72°tan 42°)-tan 30°tan 72°tan 42°=tan 30°= .
答案:
tan 45 tan 15
3(1 tan 45 tan 15 )
－
1
3
1
3
3
3
3
3
3
3
3.(1)由已知条件及三角函数的定义可知,
cos α= ,cos β= .因为α为锐角,故sin α>0,
从而sin α= .
同理可得sin β= .因此tan α=7,tan β= .
即tan(α+β)= = =-3.
2
10
2 5
5
2 7 21 cos 10
－ ＝
5
5
1
2
tan tan
1 tan tan
＋
－
17 2
11 7 2
＋
－
(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]= =-1.
又0<α< ,0<β< ,故0<α+2β< ,
从而由tan(α+2β)=-1得α+2β= π.
13 2
11 ( 3) 2
－ ＋
－－
2
2
3
2
3
4
【解题策略】
1.公式Tα+β,Tα-β 应用的解题策略
(1)公式Tα+β,Tα-β有tan α·tan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),
tan(α+β)(或tan(α-β)).三者知二可求出第三个;
(2)化简过程中注意“1”与“tan ”,“ ”与“tan ”等特殊数与
特殊角的函数值之间的转化.
3
4
3
2.解决给值求角问题的选择原则
(1)已知正切函数值,选正切函数;
(2)已知正余弦函数值,选正弦或余弦函数,若角的范围是 ,选正弦或余弦
函数均可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围是 ,选正弦较好.
(0, )2
( , )2 2
【跟踪训练】
1.化简求值:
(1)tan 75°;(2) .
【解析】(1)tan 75°=tan(45°+30°)= = =
= .
(2)原式= =tan(60°-15°)=tan 45°=1.
3 tan 15
1 3tan 15
－
＋
tan 45 tan 30
1 tan 45 tan 30
＋
－
31 3
31 3
＋
－
3 3
3 3
＋
－
12 6 3 2 36
＋ ＝ ＋
tan 60 tan 15
1 tan 60 tan 15
－
＋
2.设方程x2+3 x+4=0的两根为tan α,tan β,且0<|α|< ,0<|β|< ,
求α+β的值.
【解析】由已知,得tan α+tan β=-3 ,tan αtan β=4.
所以tan(α+β)= = = ,
且tan α<0,tan β<0,所以- <α<0,- <β<0,
所以-π<α+β<0,所以α+β=- π.
3 2
2
3
tan tan
1 tan tan
＋
－
3 3
1 4
－
－ 3
2
2
2
3
【补偿训练】
1.求值tan .
【解析】tan =tan = = .
12
12
( )4 6
－
tan tan4 6
1 tan tan4 6
－
＋
31 3 2 3
31 3
－
＝ －
＋
2.已知tan α= ,tan β=-2,且0<α< <β<π,
求:(1)tan(α-β)的值;
(2)角α+β的值.
1
3 2
【解析】(1)因为tan α= ,tan β=-2,
所以tan(α-β)= = =7.
(2)tan(α+β)= = =-1,
因为0<α< <β<π,所以 <α+β< ,所以α+β= .
1
3
tan tan
1 tan tan
－
＋
1 23
21 3
＋
－
tan tan
1 tan tan
＋
－
1 23
21 3
－
＋
2
2
3
2
3
4
1.计算sin 43°cos 13°-cos 43°sin 13°的结果等于( )
A. B. C. D.
【解析】选A.sin 43°cos 13°-cos 43°sin 13°=sin(43°-13°)=
sin 30°= .
课堂检测·素养达标
3
2
1
2
3
3
2
2
1
2
2.在△ABC中,若sin(B+C)=2sin Bcos C,则△ABC是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
【解析】选D.因为sin(B+C)=2sin Bcos C,
所以sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C,
即sin Bcos C-cos Bsin C=0,所以sin(B-C)=0,
所以B=C,所以△ABC是等腰三角形.
3.计算 = ( )
A.-1 B.1 C. D.-
【解析】选C. =tan(82°-22°)=tan 60°= .tan 82 tan 22
1 tan 82 tan 22
－
＋
3 3
tan 82 tan 22
1 tan 82 tan 22
－
＋
3
4.(教材二次开发:例题改编)计算
=________.
【解析】因为tan 10°+tan 50°=tan 60°-tan 60°tan 10°tan 50°,
所以 .
答案:-
tan 10 tan 50 tan 120
tan 10 tan 50
tan 60 tan 60 tan 10 tan 50 tan 120 3.tan 10 tan 50
－ －
3
5.已知tan α,tan β是方程x2+ x-2=0的两个根,且- <α< ,- <β< ,
求α+β的值.
【解析】由根与系数的关系得
故tan α与tan β一正一负,不妨设tan α>0,tan β<0,
则0<α< ,- <β<0,所以- <α+β< ,
又tan(α+β)= ,所以α+β=- .
3 2
2
2
2
tan tan 3
tan tan 2
＋ ＝－ ，
＝－ ，
2
2
2
2
3 3
1 ( 2) 3
－ ＝－－－ 6
三十 两角和与差的正弦、正切公式及其应用
【基础通关——水平一】
(15分钟 30分)
1.若tan =3,则tan α的值为 ( )
A.-2 B.- C. D.2
【解析】选B.tan α=tan
课时素养评价
( )4
－
1 tan( ) 1 3 14[ ( )] .4 4 1 3 21 tan( )4
－ － －＝ ＝ ＝－＋＋ －
1
2
1
2
2.若sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=m,且β为第三象限角,则cos β的
值为 ( )
A. B.-
C. D.-
【解析】选B.由条件得,sin[(α-β)-α]=sin(-β)=-sin β=m,所以sin β=-m.
又因为β为第三象限角,所以cos β=- =- .21 m－
21 m－
2m 1－ 2m 1－
21 sin －
21 m－
3.在△ABC中,cos Acos B>sin Asin B,则△ABC为 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法判定
【解析】选C.因为cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B)>0,-cos C>0,所以cos C
<0,故C为钝角,△ABC为钝角三角形.
4.在△ABC中,C=120°,tan A+tan B= ,则tan A·tan B= ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.因为C=120°,则A+B=60°,又tan(A+B)= ,故
,所以tan Atan B= .
2 3
3
5
3
1
4
1
3
1
2
tan A tan B
1 tan Atan B
＋
－
2 3
3 31 tan Atan B＝－
1
3
5.已知tan = ,tan =2 .
求:(1)tan ; (2)tan(α+β).
( )12
＋ 2 ( )3
－ 2
( )4
＋ －
【解析】(1)tan ( )4
＋ －
tan[( )]12 3
tan( ) tan( )12 3
1 tan( )tan(12 3
2 2 2
1 2 2 2
2.
＝ ＋ )＋( －
＋ ＋ －
＝
－ ＋ － ）
＋＝
－
＝－
(2)tan(α+β)=tan
=2 -3.
tan( ) tan4 4
1 tan( )tan4 4
2 1
1 ( 2) 1
＋ － ＋
＝
－ ＋ －
－ ＋
－－
[( ]4 4
＋ － )＋
2
【能力进阶——水平二】
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.若tan 28°·tan 32°=m,则tan 28°+tan 32°=( )
A. m B. (1-m)
C. (m-1) D. (m+1)
3
3
3
3
【解析】选B.tan(28°+32°)=tan 60°
所以tan 28°+tan 32°= (1-m).
tan 28 tan 32
1 tan 28 tan 32
tan 28 tan 32 31 m
＋＝ －
＋＝ ＝ ，－
3
【补偿训练】
的值为 ( )
A.-1 B.1 C.- D.
【解析】选B.原式= =tan(105°-60°)=tan 45°=1.
tan 105 3
1 3 tan 105
g
－
＋
3 3
3
tan 105 tan 60
1 tan 60 tan 105
g
－
＋
2.已知cos +sin α= ,则sin 的值为 ( )
A.- B. C.- D.
【解析】选C.因为cos +sin α= ,所以cos αcos +sin αsin
+sin α= ,
所以 cos α+ sin α= ,即 cos α+ sin α= ,所以sin
= ,所以sin =-sin =- .
( )6
－ 4 3
5
7( )6
＋
2 3
5
2 3
5
4
5
4
5
( )6
－ 4 3
5 6
6
4 3
5
3
2
3
2
4 3
5
1
2
3
2
4
5 ( )6
＋
7( )6
＋ ( )6
＋
4
5
4
5
3.如果 ,那么 等于 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选A. = = ,
所以nsin αcos β+ncos αsin β=msin αcos β-mcos αsin β,
所以(m-n)sin αcos β=(m+n)cos αsin β,
所以 = ,即 = .
sin( ) m
sin( ) n
＋
－
tan
tan
m n
m n
－
＋
n m
n m
－
＋
m n
m n
＋
－
n m
n m
＋
－
sin( )
sin( )
＋
－
sin cos cos sin
sin cos cos sin
＋
－
m
n
cos sin
sin cos
m n
m n
－
＋
tan
tan
m n
m n
－
＋
4.在△ABC中,若00,tan C>0,所以tan(B+C)=
>0.所以B+C为锐角,从而A为钝角,从而△ABC是钝角三角形.
方法二:因为00,所以cos A<0,所以A为钝角.
tan B tan C
1 tan Btan C
＋
－
sin Bsin C
cos Bcos C
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知cos α=- ,且α∈ ,则tan 等于________.
【解析】因为cos α=- ,且α∈ ,
所以sin α= .所以tan α= =- ,
所以tan = =7.
答案:7
4
5
( )2
， ( )4
－
1 tan
1 tan
－
＋
4
5
3
5
( )2
，
sin
cos
3
4
( )4
－
【补偿训练】
已知tan = ,tan =- ,则tan =________.
【解析】tan =tan = .
答案:
( )2
－ 1
2 ( )2
－ 1
3 ( )2
＋
2
＋ [( )]2 2
－ )＋( －
1 1 ) 12 3
1 1 71 (2 3
＋(－
＝
－ － ）
1
7
6.若(tan α-1)(tan β-1)=2,则tan(α+β)=________,α+β=________.
【解析】(tan α-1)(tan β-1)=2⇒tan αtan β-tan α-tan β+1=2⇒
tan α+tan β=tan αtan β-1⇒ =-1,
即tan(α+β)=-1,所以α+β=kπ- (k∈Z)
答案:-1 kπ- (k∈Z)
tan tan
1 tan tan
－
4
4
三、解答题
7.(10分)求下列各式的值;
(1)sin 119°sin 181°-sin 91°sin 29°.
(2) ;
(3)tan 78°-tan 33°-tan 78°tan 33°.
tan 75 tan 15
1 tan 75 tan 15
－
＋
【解析】(1)原式=sin(29°+90°)sin(1°+180°)-sin(1°+90°)·sin 29°
=cos 29°(-sin 1°)-cos 1°sin 29°
=-(sin 29°cos 1°+cos 29°sin 1°)
=-sin(29°+1°)=-sin 30°=- .
(2)原式=tan(75°-15°)=tan 60°= .
1
2
3
(3)tan 45°=1= ,
所以tan 78°-tan 33°=1+tan 78°tan 33°,
所以tan 78°-tan 33°-tan 78°tan 33°=1.
tan 78 tan 33
1 tan 78 tan 33
－
＋
【补偿训练】
1.tan(18°-x)tan(12°+x)+ [tan(18°-x)+tan(12°+x)].
【解题指南】对本题进行观察,发现它有两个特征:一个特征是该三角函数式
的前半段是两个角正切函数的积,而后半段是这两个角正切函数的和的倍数;
另一个特征是这两个角的和(18°-x)+(12°+x)=30°,而30°是特殊角,根据
这两个特征,很容易联想到正切的和角公式.
3
【解析】因为tan [(18°-x)+(12°+x)]= =tan 30°
= ,所以tan(18°-x)+tan(12°+x)= [1-tan(18°-x)·tan(12°+x)].
所以原式=tan(18°-x)tan(12°+x)+ × [1-tan(18°-x)·tan(12°+x)]=1.
tan(18 x) tan(12 x)
1 tan(18 x) tan(12 x)
g
－ ＋ ＋
－ － ＋
3
3
3
3
3
3
3
2.是否存在锐角α,β,使得
(1)α+2β= ,
(2)tan tan β=2- 同时成立?若存在,求出锐角α,β的值;若不存在,
说明理由.
2
3
2
3
【解析】假设存在锐角α,β,使得(1)α+2β= ,
(2)tan tan β=2- 同时成立.由(1)得 +β= ,
所以tan = = .
又tan tan β=2- ,
所以tan +tan β=3- ,
2
3
2
3 2
3
( )2
tan tan2
1 tan tan2
＋
－ 3
2
3
2
3
因此tan ,tan β可以看成是方程x2-(3- )x+2- =0的两个根.
解得x1=1,x2=2- .
若tan =1,则α= ,这与α为锐角矛盾.
所以tan =2- ,tan β=1,所以α= ,β= .
所以满足条件的α,β存在,且α= ,β= .
2
3 3
2
3
2
2
3 6
4
6
4
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