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- 2021-06-19 发布
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课时作业51 双曲线
[基础达标]
一、选择题
1.[2019·北京朝阳区期末]已知双曲线C:-=1(a>0)的一条渐近线方程为4x+3y=0,F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,点P在双曲线上,且|PF1|=7,则|PF2|=( )
A.1 B.13
C.17 D.1或13
解析:由题意,双曲线-=1(a>0)的一条渐近线方程为4x+3y=0,可得=,解得a=3,所以c==5.又由F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,点P在双曲线上,且|PF1|=7,可得点P在双曲线的左支上,所以|PF2|-|PF1|=6,可得|PF2|=13,故选B.
答案:B
2.[2019·浙江卷]渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是( )
A. B.1
C. D.2
解析:因为双曲线的渐近线方程为x±y=0,所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上,都满足a=b,所以c=a,所以双曲线的离心率e==.故选C.
答案:C
3.[2020·吉林长春模拟]双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点为(-3,0),且C的离心率为,则双曲线C的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
解析:由题意,可得c=3.又由e==,得a=2.又b2=32-22=5,故双曲线C的方程为-=1,故选C.
答案:C
4.[2020·湖北六校联考]已知F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P
6
为双曲线上一点,PF2与x轴垂直,∠PF1F2=30°,且虚轴长为2,则该双曲线的标准方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.x2-=1
解析:依题意得2b=2,tan 60°==,于是b=,2c=×,∴ac=,a=,得a=1,因此该双曲线的标准方程为x2-=1,故选D.
答案:D
5.[2019·天津卷]已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为( )
A. B.
C.2 D.
解析:由题意可知抛物线的焦点F的坐标为(1,0),准线方程为x=-1,又知双曲线的渐近线方程为y=±x,
∵|AB|=4|OF|=4,不妨设A在B上方,
∴A(-1,2),又点A在直线y=-x上,
∴2=-·(-1),∴=2,
∴双曲线的离心率e===.故选D.
答案:D
二、填空题
6
6.[2019·江苏扬州期末]已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x-2y=0,则该双曲线的离心率为________.
解析:双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,所以=,离心率e====.
答案:
7.[2020·江西红色七校第一次联考]已知F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=________.
解析:将双曲线的方程x2-y2=2化为-=1,则a=b=,c=2.因为|PF1|=2|PF2| ①,所以点P在双曲线的右支上.由双曲线的定义知,|PF1|-|PF2|=2a=2 ②.由①②,得|PF1|=4,|PF2|=2.在△PF1F2中,根据余弦定理得cos∠F1PF2===.
答案:
8.[2020·辽宁五校协作体联考]已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A为双曲线C虚轴的一个端点,若线段AF2与双曲线右支交于点B,且|AF1||BF1||BF2|=341,则双曲线C的离心率为________.
解析:由双曲线的定义可得|BF1|-|BF2|=2a,因为|BF1||BF2|=41,所以|BF1|=4|BF2|,所以3|BF2|=2a.又|AF1|=|AF2|,|AF1||BF2|=31,所以|AF2|=3|BF2|,所以|AF2|=2a.不妨设A(0,b),因为F2(c,0),所以|AF2|=,所以2a=,又a2+b2=c2,所以5a2=2c2,所以=,所以e==,即双曲线C的离心率为.
答案:
三、解答题
9.若双曲线E:-y2=1(a>0)的离心率等于,直线y=kx-1与双曲线E的右支交于A,B两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若|AB|=6,求k的值.
解析:(1)由得
故双曲线E的方程为x2-y2=1.
6
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由
得(1-k2)x2+2kx-2=0.①
∵直线与双曲线右支交于A,B两点,
故
即所以1<k<.
故k的取值范围为(1,).
(2)由①得x1+x2=,x1x2=,
∴|AB|=·
=2=6,
整理得28k4-55k2+25=0,
∴k2=或k2=.又1<k<,∴k=.
10.已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点,O为坐标原点.
(1)求双曲线C2的方程;
(2)若直线l:y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且·>2,求k的取值范围.
解析:(1)设双曲线C2的方程为-=1(a>0,b>0),
则a2=4-1=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1,
故双曲线C2的方程为-y2=1.
(2)将y=kx+代入-y2=1,
得(1-3k2)x2-6kx-9=0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点,
得
∴k2<1且k2≠.①
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=.
∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+)(kx2+)
6
=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+2
=.
又∵·>2,即x1x2+y1y2>2,
∴>2,即>0,
解得0,b>0)上不同的三点,且A,B的连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积kPA·kPB=3,则该双曲线的离心率为( )
A. B.
C.2 D.3
解析:由双曲线的对称性知,点A,B关于原点对称,设A(x1,y1),B(-x1,-y1),P(x2,y2),则-=1,-=1,又kPA=,kPB=,所以kPA·kPB===3,所以离心率e==2.故选C.
答案:C
12.[2020·河北衡水中学五调]已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作圆x2+y2=a2的切线,交双曲线右支于点M,若∠F1MF2=45°,则双
曲线的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±2x
解析:
6
如图,作OA⊥F1M于点A,F2B⊥F1M于点B,∵F1M与圆x2+y2=a2相切,∠F1MF2=45°,∴|OA|=a,|F2B|=|BM|=2a,|F2M|=2a,|F1B|=2b.又点M在双曲线上,∴|F1M|-|F2M|=2a+2b-2a=2a,整理,得b=a,∴=,∴双曲线的渐近线方程为y=±x,故选A.
答案:A
13.[2019·全国卷Ⅱ]设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为( )
A. B.
C.2 D.
解析:如图,由题意,知以OF为直径的圆的方程为2+y2= ①,
将x2+y2=a2记为②式,①-②得x=,则以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2的相交弦所在直线的方程为x=,所以|PQ|=2.由|PQ|=|OF|,得2=c,整理得c4-4a2c2+4a4=0,即e4-4e2+4=0,解得e=,故选A.
答案:A
6