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- 2021-06-19 发布
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考纲要求:
1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
基础知识回顾:
1.一元二次不等式的解法
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a
＞0)的根
有两相异实根 x1，
x2(x1＜x2)
有两相等实根
x1＝x2＝－
b
2a
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|xx2} Error! R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
2.一元二次不等式的解法
设一元二次不等式为 ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，其中 Δ＝b2－4ac，x1，x2 是方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
的两个根且 x1＜x2.
(1)当 a＞0 时，若 Δ＞0，则不等式的解集为{x|x＜x1，或 x＞x2}；
若 Δ＝0，则不等式的解集为Error!；若 Δ＜0，则不等式的解集为 R.
(2)当 a＜0 时，若 Δ＞0，则不等式的解集为{x|x1＜x＜x2}；
若 Δ＝0，则不等式的解集为∅； 若 Δ＜0，则不等式的解集为∅.
3.一元二次不等式恒成立的条件
（1）不等式 ax2＋bx＋c>0 对任意实数 x 恒成立⇔Error!或Error!
(2)不等式 ax2＋bx＋c<0 对任意实数 x 恒成立⇔{a＝b＝0，
c < 0， 或Error!
应用举例:
类型一、一元二次不等式的解法
【例 1】【2017 山东烟台市高三摸底考试】已知函数 f(x)＝Error!则不等式 f(x)－x≤2 的解集是________．
∅ ∅
【答案】Error!.
【解析】当 x≤0 时，原不等式等价于 2x2＋1－x≤2，∴－
1
2≤x≤0；当 x>0 时，原不等式等价于－2x－
x≤2，∴x>0.综上所述，原不等式的解集为Error!.
【例 2】【2017 河北省冀州中学高三摸底考试】不等式
2x＋1
x－5 ≥－1 的解集为________．
【答案】Error!.
【解析】将原不等式移项通分得
3x－4
x－5 ≥0，等价于Error!所以原不等式的解集为Error!.
【例 3】【2017 浙江省宁波市高三入学考试】不等式 0＜x2－x－2≤4 的解集为________ ．
【答案】{x|－2 ≤ x＜－1或2＜x ≤ 3}.
点评：解一元二次不等式的 4 个步骤
(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式，如“题组练透”第 3 题中(1)题；
(2)判：计算对应方程的判别式；
(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根；
(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
类型二、含参数的一元二次不等式的解法
角度一：两根大小引起的分类讨论
【例 4】【福建省 2016 届高三毕业班总复习】已知函数 ，
（Ⅰ）当 时，解不等式 ；
（Ⅱ）比较 的大小；
（Ⅲ）解关于 x 的不等式 ．
【答案】（1） （2）见解析（3）见解析
( ) 2 1 1f x x a xa
= − + + 0a >
1
2a = ( ) 0f x ≤
1a a
与
( ) 0f x ≤
1{ | 2}2x x≤ ≤
（3）∵不等式
当 时，有 ，∴不等式的解集为 ；
当 时，有 ，∴不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ．
角度二：两根符号引起的分类讨论
【例 5】【宁夏大学附属中学 2018 届高三上学期第三次月考】求不等式 的解集.
【答案】见解析
( ) ( )1 0f x x x aa
= − − ≤
0 1a< < 1 aa
> 1{ | }x a x a
≤ ≤
1a > 1 aa
< 1{ | }x x aa
≤ ≤
1a = { }1x∈
( )2 1 1 0( 0)ax a x a− + + < >
角度三：判别式引起的分类讨论
【例 6】【2017 河北省定州中学高三月考】解关于 x 的不等式 2x2+kx-k≤0.
【答案】见解析
【解析】由已知得 Δ=k2+8k=k(k+8).
(1)当 Δ＞0,即 k＜-8 或 k＞0 时，方程 2x2+kx-k=0 有两个不相等的实根.
所以不等式 2x2+kx-k≤0 的解集是：
(2)当 Δ=0，即 k=-8 或 k=0 时，方程 2x2+kx-k=0 有两个相等的实根，
所以不等式 2x2+kx-k≤0 的解集是 即{0}或{2}.
(3)当 Δ＜0，即-8＜k＜0 时，方程 2x2+kx-k=0 无实根,即不等式的解集为 .
综上所述，关于 x 的不等式 2x2+kx-k≤0 的解集为：
(1)当 k＜-8 或 k＞0 时，
(2)当 k=-8 时，{2}或 k=0 时，{0}； (3)当-8＜k＜0 时， .
点评：解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是大于 0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系
数为正的形式．
(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式 Δ 与 0 的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
( ) ( )k k k 8 k k k 8{x x }.4 4
− − + − + +≤ ≤｜
k{ }4
− ，
∅
( ) ( )k k k 8 k k k 8{x x }4 4
− − + − + +≤ ≤｜ ；
∅
[提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于 0 的情况．
类型三、一元二次不等式恒成立问题
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之
间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与 x 轴
的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．
角度一：形如 f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围
【例 7】【2017 浙江省温州市高三月考试题】已知不等式 mx2－2x－m＋1＜0，是否存在实数 m 对所有的实数
x，不等式恒成立？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】不存在
角度二：形如 f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围
【例 8】【江苏省苏北三市 2017 届高三年级第三次模拟考试】已知对于任意的 ，都有
，则实数 的取值范围是____．
【答案】 (或 )
( ) ( ),1 5,x∈ −∞ ∪ +∞
( )2 2 2 0x a x a− − + > a
( ]1,5 1 5a< ≤
角度三：形如 f(x)≥0(参数 m∈[a，b])确定 x 的范围
【 例 9 】【河 南 省 南 阳 市 第 一 中 学 2018 届 高 三 实 验 班 第 一 次 考 试 】 已 知 当 时 ，
恒成立，则实数 的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】试题分析：设 ，由于 恒成立，所以
，因此 ，整理得 ，解得 .
考点：不等式在给定区间上的恒成立．
点评：一元二次型不等式恒成立问题的 3 大破解方法
方法 解读 适合题型
判别
式法
(1)ax2＋bx＋c≥0 对任意实数 x 恒成立的条件
是Error!
(2)ax2＋bx＋c≤0 对任意实数 x 恒成立的条件
是Error!
二次不等式在 R 上恒成立
分离参
数法
如果不等式中的参数比较“孤单”，分离后其系
数与 0 能比较大小，便可将参数分离出来，利
用下面的结论求解．a≥f(x)恒成立等价于
适合参数与变量能分离且 f(x)
的最值易求
1 1a− ≤ ≤
( )2 4 4 2 0x a x a+ − + − > x
( ) ( ),1 3,−∞ ∪ +∞
( ) ( ) ( )22 4 4g a x a x x= − + − + ( )2 4 4 2 0x a x a+ − + − >
( ) 0g a > ( )
( )
1 0{ 1 0
g
g
− >
− >
2
2
5 6 0{
3 2 0
x x
x x
− + >
− + > 1 3x x或
a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立等价于 a≤f(x)min
主参换
位法
把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的
函数，根据原变量的取值范围列式求解．常见
的是转化为一次函数 f(x)＝ax＋b(a≠0)在[m，
n]恒成立问题，若 f(x)>0 恒成立⇔Error!
若 f(x)<0 恒成立⇔Error!
若在分离参数时会遇到讨论参
数与变量，使求函数的最值比较
麻烦，或者即使能容易分离出却
难以求出时
方法、规律归纳:
1、解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是大于 0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项
系数为正的形式．
(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式 Δ 与 0 的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
实战演练:
1．【安徽省 2018 届高三上学期“五校”联考】在关于 的不等式 的解集中至多包含
个整数，则 的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
所以实数 的取值范围是 ，故选 D.
点睛：本题主要考查了不等式解集中整数解的存在性问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的求解，元
素与集合的关系等知识点的综合应用，试题比较基础，属于基础题，同时着重考查了分类讨论思想的应用，
解答中正确求解不等式的解集是解答的关键.
2．【宁夏育才中学 2018 届高三上学期第三次月考】已知关于 的不等式 对任意实
数 都成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
x ( )2 1 0x a x a− + + < 2
a
( )3,5− ( )2,4− [ ]3,5− [ ]2,4−
a [ ]2,4a∈ −
x ( )2 1 1 0x k x k− − − + ≥
x k
( ] [ ), 3 1,−∞ − ∪ +∞ ( ] [ ),1 3,−∞ ∪ +∞ [ ]1,3− [ ]3,1−
【答案】D
【解析】关于 的不等式 对任意实数 都成立，
则 ，解得 ，故选 D.
3．【辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学 2018 届高三上学期第一次联考】不等式 的
解集为 ，则不等式 的解集为（ ）
A. 或 B. C. D. 或
【答案】A
4．若关于 x 的不等式 在区间 内有解，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】试题分析：不等式 在区间 内有解等价于 ，
令 ， ，所以 ，所以 .
考点：1.二次函数求最值；2.含参一元二次不等式的解法.
5．【2017 届甘肃天水一中高三周练 11.26】若不等式 对任意实数 均成立，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
x ( )2 1 1 0x k x k− − − + ≥ x
( ) ( )21 4 1 0k k= − + − ≥ 3 1k− ≤ ≤
2 4 2 0x x a− − − > ( )1,4
2a < − 2a > − 6a > − 6a < −
2 4 2 0x x a− − − > ( )1,4 ( )2
max
4 2a x x< − −
( ) 2 4 2g x x x= − − ( )1,4x∈ ( ) ( )4 2g x g≤ = − 2a < −
2 22 4 2 4mx mx x x+ − < + x
m
( , 2) [2, )−∞ − +∞ ( )2,2−
( 2,2]− ( ,2]−∞
【答案】C
6．【内蒙古杭锦后旗奋斗中学 2018 届高三上学期第三次月考】关于 的不等式 的解集为
，则不等式 的解集为__________．
【答案】
【解析】∵ 不等式 的解集为
∴ 或 是方程 的解，即 ，
∴
∵
∴ 或
∴ 或
∴不等式 的解集为
故答案为
7．对任意 ，函数 的值总大于零，则 的取值范围是__________．
【答案】
x 2 0x ax b− + <
{ }|1 2x x< < 5bx a+ >
( ) ( ), 4 1,−∞ − ∪ +∞
2 0x ax b− + < { }|1 2x x< <
1x = 2 2 0x ax b− + = 3a = 2b =
2 3bx a x+ = +
5bx a+ >
2 3 5x + < − 2 3 5x + >
4x < − 1x >
5bx a+ > ( ) ( ), 4 1,−∞ − ∪ +∞
( ) ( ), 4 1,−∞ − ∪ +∞
[ ]1,1a∈ − ( ) ( )2 4 4 2f x x a x a= + − + − x
( ) ( ),1 3,−∞ ∪ +∞
8．【2017 届河南豫北名校联盟高三理上精英对抗赛】已知当 时， 恒成立，
则实数 的取值范围是____________.
【答案】
【解析】试题分析：设 ，则 对 成立等价于 ，即
，解之得 或 ，即实数 的取值范围是 .
考点：函数与不等式恒成立.
9．【上海市复旦大学附属中学 2017 届高三上学期第一次月考】已知关于 的不等式组
有唯一实数解，则实数 的取值是________
【答案】
【解析】若 ，不等式组 可化为 不满足条件，若 ，则若不等式组
， 时 ， 满 足 条 件 ， 解 得 ： 若 ， 则 若 不 等 式 组
， 时，满足条件，解得： ，故填 .
点睛：本题主要考查二次不等式组有唯一解的问题，属于中档题.解决此类问题只需要将问题转化为研究二
次函数的最大值与最小值问题即可，不等式 有唯一解 最大值 ，
不等式 有唯一解 最小值 .
x 21 2 2kx x k≤ + + ≤
k
1 5 ,1 22
− +
0k = 21 2 2kx x k≤ + + ≤ 1 2x≤ ≤ 0k >
21 2 2kx x k≤ + + ≤
24 4 24
k
k
− = 1 2k = + 0k <
21 2 2kx x k≤ + + ≤
24 4 14
k
k
− = 1 5
2k
−= 1 5 ,1 22
− +
2 ( 0)ax bx c M a+ + ≤ < ⇔
24
4
ac b Ma
− =
2 ( 0)ax bx c M a+ + ≤ > ⇔
24
4
ac b Ma
− =
10．【2017 届黑龙江虎林一中高三上期中】已知 ，不等式 的解集是 .
（1）求 的解析式；
（2）若对于任意 ，不等式 恒成立， 求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
考点：（1）二次函数的性质；（2）恒成立问题.
( ) 22f x x bx c= + + ( ) 0f x < ( )0,5
( )f x
[ ]1,1x∈ − ( ) 2f x t+ ≤ t
( ) xxxf 102 2 −= 10−≤t
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