高考理科数学专题复习练习4.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式 3页

第四章三角函数、解三角形 ‎4.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式 专题2‎ 同角三角函数的基本关系 ‎■(2015河南省洛阳市高考数学一模,同角三角函数的基本关系,选择题,理3)已知θ为第二象限角,sin θ,cos θ是关于x的方程2x2+(‎3‎-1)x+m=0(m∈R)的两根,则sin θ-cos θ等于(　　)‎ A.‎1+‎‎3‎‎2‎ B.‎1-‎‎3‎‎2‎ C.‎3‎ D.-‎‎3‎ 解析:∵sin θ,cos θ是关于x的方程2x2+(‎3‎-1)x+m=0(m∈R)的两根,‎ ‎∴sin θ+cos θ=‎1-‎‎3‎‎2‎,sin θcos θ=m‎2‎,‎ 可得(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,‎ 即‎2-‎‎3‎‎2‎=1+m,即m=-‎3‎‎2‎,‎ ‎∵θ为第二象限角,∴sin θ>0,cos θ<0,即sin θ-cos θ>0,‎ ‎∵(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ=‎4-2‎‎3‎‎4‎-2m=1-‎3‎‎2‎‎+‎3‎=‎‎2+‎‎3‎‎2‎,‎ ‎∴sin θ-cos θ=‎2+‎‎3‎‎2‎‎=‎‎1+‎‎3‎‎2‎.故选A.‎ 答案:A ‎4.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 专题1‎ 三角函数的图象与变换 ‎■(2015河南省洛阳市高考数学一模,三角函数的图象与变换,填空题,理15)将函数y=sinω‎2‎xsinω‎2‎x+‎π‎3‎的图象向右平移π‎6‎个单位,所得图象关于y轴对称,则正数ω的最小值为　　　　. ‎ 解析:∵y=sinω‎2‎xsinω‎2‎x+‎π‎3‎‎=‎‎1‎‎2‎sin2ωx‎2‎‎+‎‎3‎‎4‎sin ωx=‎1-cosωx+‎3‎sinωx‎4‎‎=‎‎1‎‎2‎sinωx-‎π‎6‎‎+‎‎1‎‎4‎,‎ ‎∴将函数的图象向右平移π‎6‎个单位,所得解析式为y=‎1‎‎2‎sinωx-‎π‎6‎-‎π‎6‎‎+‎1‎‎4‎=‎‎1‎‎2‎sinωx-ωπ‎6‎‎-π‎6‎+‎‎1‎‎4‎,∵所得图象关于y轴对称,∴-ωπ‎6‎‎-‎π‎6‎=kπ+π‎2‎,k∈Z,‎ ‎∴可解得ω=-6k-4,k∈Z,∴k=-1时,正数ω的最小值为2,故答案为2.‎ 答案:2‎ ‎4.4两角和与差的正弦、余弦与正切公式 专题1‎ 非特殊角的三角函数式的化简、求值 ‎■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,非特殊角的三角函数式的化简、求值,填空题,理14)已知sinx-‎π‎4‎‎=‎‎3‎‎5‎,则sin 2x的值为　　　　　. ‎ 解析:∵sinx-‎π‎4‎‎=‎‎3‎‎5‎,‎ ‎∴sin2x-‎π‎4‎‎=‎1-cos‎2‎x-‎π‎4‎‎2‎=‎1-sin2x‎2‎=‎‎9‎‎25‎,∴1-sin 2x=‎18‎‎25‎,∴sin 2x=‎7‎‎25‎.故答案为‎7‎‎25‎.‎ 答案:‎‎7‎‎25‎ ‎4.6解三角形 专题1‎ 利用正弦定理、余弦定理解三角形 ‎■(2015河南省洛阳市高考数学一模,利用正弦定理、余弦定理解三角形,解答题,理18)‎ 如图,△ABC中,∠ABC=90°,点D在BC边上,点E在AD上.‎ ‎(1)若点D是CB的中点,∠CED=30°,DE=1,CE=‎3‎,求△ACE的面积;‎ ‎(2)若AE=2CD,∠CAE=15°,∠CED=45°,求∠DAB的余弦值.‎ 解:(1)在△CDE中,‎ CD=‎CE‎2‎+ED‎2‎-2CE·ED·cos∠CED ‎=‎3+1-2‎3‎·‎‎3‎‎2‎,‎ 解得CD=1,‎ 在Rt△ABD中,∠ADB=60°,AD=2,AE=1,‎ S△ACE=‎1‎‎2‎·AE·CE·sin∠AEC=‎1‎‎2‎·1·‎3‎·sin 150°=‎3‎‎4‎.‎ ‎(2)设CD=a,在△ACE中,CEsin∠CAE‎=‎AEsin∠ACE,‎ CE=‎2asin15°‎sin30°‎=(‎6‎‎-‎‎2‎)a,‎ 在△CED中,CDsin∠CED‎=‎CEsin∠CDE,‎ sin∠CDE=‎CEsin∠CEDCD ‎=‎(‎6‎-‎2‎)a·‎‎2‎‎2‎a‎=‎‎3‎-1,‎ 则cos∠DAB=cos(∠CDE-90°)=sin∠CDE=‎3‎-1.‎ ‎■(2015河南省洛阳市高考数学一模,利用正弦定理、余弦定理解三角形,填空题,理16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b=1,a=2c,则当C取最大值时,△ABC的面积为　　　　. ‎ 解析:由于b=1,a=2c,‎ 由余弦定理,可得 cos C=‎a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab‎=‎‎4c‎2‎+1-‎c‎2‎‎2×1×2c ‎=‎1+3‎c‎2‎‎4c‎=‎1‎‎4‎‎3c+‎‎1‎c≥‎‎1‎‎4‎×2‎3c·‎‎1‎c‎=‎‎3‎‎2‎,‎ 当且仅当c=‎3‎‎3‎,cos C取得最小值‎3‎‎2‎,即有C取最大值π‎6‎,此时a=‎2‎‎3‎‎3‎,‎ 则面积=‎1‎‎2‎absin C=‎1‎‎2‎‎×‎‎2‎‎3‎‎3‎×1×‎1‎‎2‎‎=‎‎3‎‎6‎.故答案为‎3‎‎6‎.‎ 答案:‎‎3‎‎6‎ ‎■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,利用正弦定理、余弦定理解三角形,解答题,理17)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a‎3‎cosA‎=‎csinC,‎ ‎(1)求A的大小;‎ ‎(2)若a=6,求b+c的取值范围.‎ 解:(1)由正弦定理知a‎3‎cosA‎=csinC=‎asinA,‎ ‎∴sin A=‎3‎cos A,即tan A=‎3‎,‎ ‎∵00,c>0,b+c>a=6,‎ 由余弦定理得36=b2+c2-2bccosπ‎3‎=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-‎3‎‎4‎(b+c)2=‎1‎‎4‎(b+c)2(当且仅当b=c时取等号),∴(b+c)2≤4×36,‎ 又b+c>6,∴6