2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练57+绝对值不等式 5页

课时分层训练(五十七)　绝对值不等式 ‎ (对应学生用书第309页)‎ ‎1．(2018·榆林模拟)已知函数f(x)＝|x－2|.‎ ‎(1)求不等式f(x)＋x2－4＞0的解集；‎ ‎(2)设g(x)＝－|x＋7|＋3m，若关于x的不等式f(x)＜g(x)的解集非空，求实数m的取值范围．‎ ‎[解]　(1)由题意，知x－2＞4－x2(x≥2)或x－2＜x2－4(x＜2)， 1分 由x－2＞4－x2(x≥2)得x＞2；由x－2＜x2－4(x＜2)，‎ 得x＜－1， 3分 ‎∴原不等式的解集为{x|x＞2或x＜－1}. 4分 ‎(2)问题等价于|x－2|＋|x＋7|＜3m的解集非空， 5分 ‎∵|x－2|＋|x＋7|≥|x－2－x－7|＝9， 8分 ‎∴3m＞9，∴m＞3. 10分 ‎2．若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，求实数a的值．‎ ‎[解]　当a＝－1时，f(x)＝3|x＋1|≥0，不满足题意；‎ 当a＜－1时，f(x)＝ 3分 f(x)min＝f(a)＝－3a－1＋2a＝5，‎ 解得a＝－6； 5分 当a＞－1时，f(x)＝ 7分 f(x)min＝f(a)＝－a＋1＋2a＝5，‎ 解得a＝4. 9分 综上所述，实数a的值为－6或4. 10分 ‎3．(2018·秦皇岛模拟)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.‎ ‎(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；‎ ‎(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)当a＝－3时，‎ 不等式f(x)≥3化为|x－3|＋|x－2|≥3.(*)‎ 若x≤2时，由(*)式，得5－2x≥3，∴x≤1.‎ 若2＜x＜3时，由(*)式知，解集为∅.‎ 若x≥3时，由(*)式，得2x－5≥3，∴x≥4.‎ 综上可知，f(x)≥3的解集是{x|x≥4或x≤1}. 4分 ‎(2)原不等式等价于|x－4|－|x－2|≥|x＋a|，(**)‎ 当1≤x≤2时，(**)式化为4－x－(2－x)≥|x＋a|，‎ 解得－2－a≤x≤2－A． 8分 由条件，[1,2]是f(x)≤|x－4|的解集的子集，‎ ‎∴－2－a≤1且2≤2－a，则－3≤a≤0，‎ 故满足条件的实数a的取值范围是[－3,0]. 10分 ‎4．(2018·福建六校联考)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≤6的解集；‎ ‎(2)若关于x的不等式f(x)－log2(a2－3a)＞2恒成立，求实数a的取值范围. ‎ ‎【导学号：00090379】‎ ‎[解]　(1)原不等式等价于或或 1分 解得＜x≤2或－≤x≤或－1≤x＜－， 3分 ‎∴不等式f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤2}. 4分 ‎(2)不等式f(x)－log2(a2－3a)＞2恒成立⇔log2(a2－3a)＋2＜f(x)恒成立⇔log2(a2－3a)＋2＜f(x)min成立，‎ ‎∵|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4， 6分 ‎∴f(x)的最小值为4，∴log2(a2－3a)＋2＜4， 7分 即 解得－1＜a＜0或3＜a＜4， 9分 ‎∴实数a的取值范围为(－1,0)∪(3,4). 10分 ‎5．(2018·肇庆模拟)已知函数f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋A．‎ ‎(1)当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；‎ ‎(2)若存在x∈R，使得f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)由f(x)≥g(x)，‎ 得|x＋1|≥2|x|，‎ 两边平方，并整理得(3x＋1)(x－1)≤0， 2分 解得－≤x≤1，‎ 所以原不等式的解集为. 4分 ‎(2)由f(x)≥g(x)，得|x＋1|≥2|x|＋a，‎ 即|x＋1|－2|x|≥A．‎ 令F(x)＝|x＋1|－2|x|，‎ 依题意可得F(x)max≥A． 5分 F(x)＝|x＋1|－2|x|＝ 7分 易得F(x)在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减， 9分 所以当x＝0时，F(x)取得最大值1.‎ 故a的取值范围是(－∞，1]. 10分 ‎6．(2017·郑州质检)已知函数f(x)＝|3x＋2|.‎ ‎(1)解不等式|x－1|＜f(x)；‎ ‎(2)已知m＋n＝1(m，n＞0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a＞0)恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)依题设，得|x－1|＜|3x＋2|，‎ 所以(x－1)2＜(3x＋2)2，则x＞－或x＜－，‎ 故原不等式的解集为.4分 ‎(2)因为m＋n＝1(m＞0，n＞0)，‎ 所以＋＝(m＋n)＝2＋＋≥4，‎ 当且仅当m＝n＝时，等号成立．‎ 令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|‎ ‎＝ 8分 则x＝－时，g(x)取得最大值＋a，‎ 要使不等式恒成立，只需g(x)max＝＋a≤4.‎ 解得a≤.‎ 又a＞0，因此0＜a≤. 10分