2018届二轮复习坐标系与参数方程选考部分典型题型总结学案（全国通用） 9页

高三文科数学坐标系与参数方程选考部分典型题型总结 ‎1、极坐标与直角坐标互化公式： ‎2、常见的参数方程 ‎(1)直线的参数方程 若直线过(x0，y0)，α为直线的倾斜角，则直线的参数方程为(t为参数)，其中参数t的几何意义是直线上定点P0到动点P的有向线段P0P的数量，若动点P在定点P0的上方，则t>0；若动点P在定点P0的下方，则t<0；若动点P与定点P0重合，则t＝0.定点P0到动点P的距离是|P0P|＝|t|.‎ ‎(2)圆的参数方程 若圆心在点M0(x0，y0)，半径为r，则圆的参数方程为 (θ为参数)．‎ ‎(3)椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程为 (θ为参数)．‎ ‎(4)双曲线－＝1(a>0，b>0)的参数方程为 (θ为参数)．‎ ‎(5)抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为 (t为参数)．‎ 类型1、极坐标与直角坐标的互化、参数方程与直角坐标方程互化。‎ ‎1、在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．‎ ‎①写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；‎ ‎②设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程．‎ ‎2、将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.‎ ‎(1)写出C的参数方程；‎ ‎(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．‎ 类型2、转化为直角坐标系后求交点、距离、角度、面积等最值问题。‎ ‎3、已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．‎ ‎4、在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)写出⊙C的直角坐标方程；‎ ‎(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．‎ 类型3、极坐标系内直接求交点、距离、角度、面积等几何量。‎ 求解与极坐标有关的问题的主要方法 ‎(1)直接利用极坐标系求解，求解时可与数形结合思想结合使用；‎ ‎(2)转化为直角坐标系后，用直角坐标求解．‎ 使用后一种时应注意，若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．‎ ‎5、在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；‎ ‎(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．‎ 类型4、直线标准参数方程中参数的几何意义运用。‎ ‎6、已知圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l的参数方程为(t为参数)，点A的极坐标为，设直线l与圆C交于点P，Q.‎ ‎(1)写出圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)求|AP|·|AQ|的值．‎ ‎[来源:学&科&网]‎ ‎[来源:学科网ZXXK]‎ ‎[来源:Zxxk.Com]‎ ‎7、在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长（小心！本题直线不是标准参数方程）．‎ 类型5、参数方程中参数的运用，最常见的是圆的参数方程的参数运用（三角换元法也可见到用于圆锥曲线的一些问题中）。‎ ‎8、已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为，曲线C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin θ＝1.‎ ‎(1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l：(t为参数)距离的最小值．‎ 高三文科数学极参提纲参考答案：‎ ‎1、解：①∵ρcos＝1，‎ ‎∴ρcos θ·cos＋ρsin θ·sin＝1.‎ 又∴x＋y＝1，‎ 即曲线C的直角坐标方程为x＋y－2＝0.‎ 令y＝0，则x＝2；令x＝0，则y＝.‎ ‎∴M(2，0)，N.‎ ‎∴M的极坐标为(2，0)，N的极坐标为.‎ ‎②M，N连线的中点P的直角坐标为，‎ P的极角为θ＝.‎ ‎∴直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．‎ 注：极坐标下点的坐标表示不唯一．‎ ‎2、解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，经变换为C上点(x，y)，依题意，得 由x＋y＝1得x2＋＝1.‎ 即曲线C的方程为x2＋＝1.‎ 故C的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)由解得或 不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，于是所求直线方程为y－1＝.化为极坐标方程，并整理得 ‎2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，‎ 即ρ＝.‎ ‎3、解：(1)将消去参数t，化为普通方程为(x－4)2＋(y－5)2＝25，‎ 即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.‎ 将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.‎ 所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.‎ ‎(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.‎ 联立C1，C2的方程 解得或 所以C1与C2交点的极坐标分别为，.‎ ‎4、解：(1)由ρ＝2sin θ，得 ρ2＝2ρsin θ，‎ 从而有x2＋y2＝2y，‎ 所以x2＋(y－)2＝3.‎ ‎(2)设P，又C(0，)，‎ 则|PC|＝＝，‎ 故当t＝0时，|PC|取得最小值，‎ 此时，P点的直角坐标为(3，0)．[来源:学科网]‎ ‎5、解：(1)由知圆C1的极坐标方程为ρ＝2，圆C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.‎ 解得ρ＝2，θ＝±，‎ 故圆C1与圆C2的交点坐标为，.‎ 注：极坐标系下点的表示不唯一．‎ ‎(2)方法一：由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，)，(1，－)．‎ 故圆C1与C2的公共弦的参数方程为(－≤t≤)．‎ 方法二：将x＝1代入 得ρcos θ＝1，从而ρ＝.‎ 于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为 .‎ ‎6、解：(1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，‎ 所以ρ2＝2ρcos θ，‎ 将其转化成直角坐标方程为x2＋y2＝2x，‎ 即(x－1)2＋y2＝1.‎ ‎(2)由点A的极坐标得直角坐标为A.‎ 将直线l的参数方程(t为参数)代入圆C的直角坐标方程(x－1)2＋y2＝1，得t2－t－＝0.‎ 设t1，t2为方程t2－t－＝0的两个根，则t1t2＝－，‎ 所以|AP|·|AQ|＝|t1t2|＝.‎ ‎7、解：将直线l的参数方程化为(t为参数)‎ 代入抛物线方程y2＝4x，得＝4.‎ 解得t1＝0，t2＝－8.‎ 所以AB＝|t1－t2|＝8.‎ ‎8、解：(1)点P的直角坐标为(3，)．‎ 由ρ2＋2ρsin θ＝1，得x2＋y2＋2y＝1，即x2＋(y＋)2＝4，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为x2＋(y＋)2＝4.‎ ‎(2)曲线C的参数方程为 (θ为参数)，直线l的普通方程为x－2y－7＝0.‎ 设Q(2cos θ，－＋2sin θ)，‎ 则M，那么点M到直线l的距离为 d＝ ‎＝ ‎＝≥‎ ＝－1，‎ ‎∴点M到直线l的最小距离为－1.‎