2018-2019学年安徽省示范高中培优联盟高二上学期冬季联赛数学（理）试题 解析版 12页

高中培优联盟2018-2019学年高二上学期冬季联赛 数学（理）试题 ‎（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）‎ 考生注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎2.命题“若，则或”的否命题是（ ）‎ A.若，则或 ‎ B.若，则且 ‎ C.若，则且 ‎ D.若，则或 ‎3.已知直线平面，则（ ）‎ A.， B.， ‎ C.， D.，‎ ‎4.设，是两个非零向量，在方向上的投影为，则“”是“，夹角为钝角”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.若，则有（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎6.已知直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎7.如图，某三棱柱的正视图是边长为2的正方形，其上下底面为正三角形，则下列命题中一定成立的是（ ）‎ A.该三棱柱的表面积为 B.该三棱柱的体积为 C.该三棱柱的侧视图为矩形 D.该三棱柱有外接球 ‎8.已知实数，满足，则的最大值与最小值之和为（ ）‎ A.5 B. C.6 D.7‎ ‎9.已知直线与单位圆有唯一的公共点，角的终边在直线上，为坐标原点，则（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎10.若关于的方程在区间上有且只有一解，则正数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎11.已知定义在上的函数，满足，则函数的图象关于（ ）‎ A.直线对称 B.直线对称 ‎ C.原点对称 D.轴对称 ‎12.已知奇函数图象经过点，若矩形的顶点，在轴上，顶点，在函数的图象上，则矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值为（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.不等式的解集是________.‎ ‎14.已知向量，单位向量满足，则向量的坐标为________.‎ ‎15.已知等比数列中，前4项之和为，且，，成等差数列，则公比________.‎ ‎16.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，其中，则实数的取值范围是________.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.‎ ‎17.已知数列满足.‎ 求数列的通项公式；‎ 求数列的前项和.‎ ‎18.在中，，，的面积为.‎ 设为的中点，求的长度.‎ 求的值.‎ ‎19.已知函数.‎ 求的单调递减区间；‎ 先将图象上所有点的横坐标变为原来的（众坐标不变），再沿轴向右平移个单位长度，得到函数，若的图象关于直线对称，求的最小值.‎ ‎20.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体是一个“刍甍”，四边形为矩形，与都是正三角形，，.‎ 求证：面；‎ 求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎21.已知过点的动直线与圆交于，两点，线段中点的轨迹为曲线.‎ 求曲线的方程；‎ 若曲线的一条切线与圆交于，两点，若，求切线的坐标.‎ ‎22.已知函数，.‎ 求函数的值域；‎ 求函数的最大值.‎ 高中培优联盟2018-2019学年高二上学期冬季联赛 数学（理）试题参考答案 一、选择题 ‎1.【解析】选.解得，解得，.‎ ‎2.【解析】选.“若，则”的否命题为“若，则”，的否定为.‎ ‎3.【解析】选.直线平面，或，故选.‎ ‎4.【解析】选.，反向，即夹角为时也有，故应选必要不充分条件.‎ ‎5.【解析】选.由得，而是上的增函数.‎ 原不等式即，得，即.‎ ‎6.【解析】选.直线与圆有公共点，‎ 弦心距，且，解得.‎ ‎7.【解析】选.‎ 注意到，该三棱柱不一定为正三棱柱，有可能是斜三棱柱，于是只有其体积恒为.‎ ‎8.【解析】选.‎ 易知不等式组表示的平面区域是以，，为顶点的三角形，对于可行域内任一点，，不难知，因此则的最大值与最小值之和为.‎ ‎9.【解析】选.‎ 由题，直线与直线垂直，故，.‎ ‎10.【解析】选.，结合的图象知，‎ ‎，即，解得.‎ ‎11.【解析】选.‎ 由得，‎ 于是，函数的图象关于直线对称.‎ ‎12.【解析】选.由题，及得， ‎ 如图，不妨设，在轴上方不难知该旋转体为圆柱，半径，‎ 令，整理得，则，为这个一元二次方程的两个不等实根，‎ 于是圆柱的体积 ‎，当且仅当时等号成立.‎ 二、填空题 ‎13.【解析】. ‎ 不等式可化为，即，解得.‎ ‎14.【解析】或. ‎ 由不难知，‎ 设，由解得或.‎ ‎15.【解析】2或. ‎ 由题，，解得，即，解得或.‎ ‎16.【解析】.‎ 由题，与的图象有公共点，‎ 结合图象可知，图象与轴交点的众坐标，故.‎ 三、解答题 ‎17.【解析】：（1），，‎ 两式作差得：，，‎ 又符合上式，故.‎ ‎（2），‎ ‎.‎ ‎18.【解析】：（1）由的面积得， ‎ ‎，于是在中，由余弦定理：‎ 或.‎ ‎（2）法一：中，由余弦定理，或， ‎ 再由正弦定理，或.‎ 法二：由的面积，得或.‎ ‎19.【解析】：（1） ‎ ‎，‎ 由，‎ 得的单调递区间为.‎ ‎（2）由题，，‎ 的图象关于直线对称，，‎ 即，‎ ‎，，‎ 当时，的最小值为.‎ ‎20.【解析】：（1），面，面，‎ 面，又面面，‎ ‎，又面，面，‎ 所以面.‎ ‎（2）如图，延长棱至，使得，‎ 由题可知与皆为矩形，于是我们得到了直三棱柱，‎ 过作于，则面，‎ 在面内的摄影为，与平面所成角为，‎ 又，‎ 中，边长的高为，，‎ 故.‎ ‎21.【解析】：（1）法一：圆，圆心，‎ 由垂径定理知，即，‎ 于是的轨迹是以为直径端点的圆，‎ 所以曲线的方程为.‎ 法二：设动直线为，与圆联立，‎ 得：，‎ 由韦达定理，①，②，‎ 由①得，代入②式得：，‎ 又动直线斜率不存在时点坐标为满足以上式关系，‎ 故曲线的方程为.‎ ‎（2）设，先证曲线在点处的切线方程为，‎ 事实上，，点在上，‎ 又圆心到的距离，‎ 故为曲线的切线，‎ ‎，所以圆心到弦的距离 ‎，‎ ‎，解得或（舍），‎ 从而点的坐标为或.‎ ‎22.【解析】：（1），，‎ 法一：，且，‎ 故的值域为.‎ 法二：令，，‎ 则 ‎，，‎ 故的值域为.‎ ‎（2），‎ 令，则，‎ ‎，，‎ ‎①当时，，；‎ ‎②当时，二次函数的图象开口向上，且对称轴，‎ 于是在上单调递增，；‎ ‎③当时，二次函数的图象开口向下，且对称轴，‎ 若，即，则，‎ 若，即，则，‎ 若，即，则；‎ 综上，.‎ ‎ ‎