2019高三数学文北师大版一轮教师用书：第1章 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件 11页

第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件 ‎ [考纲传真]　1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．‎ ‎(对应学生用书第3页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．命题 ‎ 可以判断真假，用文字或符号表述的语句叫做命题，其中判断为真的叫做真命题，判断为假的叫做假命题．‎ ‎2．四种命题及其相互关系 ‎ (1)四种命题间的相互关系 图121‎ ‎ (2)四种命题的真假关系 ‎ ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；‎ ‎ ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．‎ ‎3．充分条件与必要条件 ‎ (1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．‎ ‎ (2)如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．‎ ‎ (3)如果pD q，且qD p，则p是q的既不充分也不必要条件．‎ ‎[知识拓展]‎ ‎1．充分条件、必要条件的两个结论 ‎ (1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件；‎ ‎ (2)若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的充分不必要条件．‎ ‎2．充分条件、必要条件与集合的关系 p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B p是q的充分条件 A⊆B p是q的必要条件 B⊆A p是q的充分不必要条件 AB p是q的必要不充分条件 BA p是q的充要条件 A＝B ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)“x2＋2x－3<0”是命题．(　　)‎ ‎ (2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(　　)‎ ‎ (3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)‎ ‎ (4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(　　)‎ ‎ [解析]　(1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的．‎ ‎ (2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．‎ ‎ (3)正确．q是p的必要条件说明p⇒q，所以p是q的充分条件．‎ ‎ (4)正确．原命题与逆否命题是等价命题．‎ ‎ [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2．(教材改编)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(　　)‎ ‎ A．若α≠，则tan α≠1‎ ‎ B．若α＝，则tan α≠1‎ ‎ C．若tan α≠1，则α≠ ‎ D．若tan α≠1，则α＝ ‎ C　[“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则 綈p”，显然綈q：tan α≠1，綈p：α≠，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．]‎ ‎3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　)‎ ‎ A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ A　[a＝3时，A＝{1,3}，显然A⊆B．‎ ‎ 但A⊆B时，a＝2或3.‎ ‎ ∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．]‎ ‎4．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为(　　) 【导学号：00090004】‎ ‎ A．1　　　　 B．2 ‎ ‎ C．3　　　　 D．4‎ ‎ B　[原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．‎ ‎ 因此4个命题中有2个假命题．]‎ ‎5．(2017·天津高考)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　　)‎ ‎ A．充分而不必要条件 ‎ B．必要而不充分条件 ‎ C．充要条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 ‎ B　[∵2－x≥0，∴x≤2.‎ ‎ ∵|x－1|≤1，∴0≤x≤2.‎ ‎ ∵当x≤2时不一定有x≥0，当0≤x≤2时一定有x≤2，‎ ‎ ∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．‎ ‎ 故选B．]‎ ‎(对应学生用书第3页)‎ 四种命题的关系及其真假判断 ‎　(1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为(　　)‎ ‎ A．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题 ‎ B．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题 ‎ C．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题 ‎ D．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题 ‎ (2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)‎ ‎ A．真，假，真　 B．假，假，真 ‎ C．真，真，假 D．假，假，假 ‎ (1)C　(2)B　[(1)根据逆否命题的定义可以排除A，D，由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题．‎ ‎ (2)由共轭复数的性质，原命题为真命题，因此其逆否命题也为真命题．‎ ‎ 当z1＝1＋2i，z2＝2＋i时，显然|z1|＝|z2|，但z1与z2不共轭，所以逆命题为假命题，从而它的否命题亦为假命题．]‎ ‎ [规律方法]　1.已知原命题写出该命题的其他命题时，先要分清命题的条件与结论．特别注意的是，如果命题不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”的形式．‎ ‎ 2．给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．‎ ‎ 3．由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假．‎ ‎[变式训练1]　(1)某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是(　　)‎ ‎ A．不拥有的人们会幸福 ‎ B．幸福的人们不都拥有 ‎ C．拥有的人们不幸福 ‎ D．不拥有的人们不幸福 ‎ (2)原命题为“若＜an，n∈N*，则{an}为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)‎ ‎ A．真，真，真 B．假，假，真 ‎ C．真，真，假 D．假，假，假 ‎ (1)D　(2)A　[(1)等价命题即为逆否命题，故选D．‎ ‎ (2)由＜an，得an＋an＋1＜2an，即an＋1＜an.‎ ‎ 所以当＜an时，必有an＋1＜an，‎ ‎ 则{an}是递减数列．‎ ‎ 反之，若{an}是递减数列，必有an＋1＜an，‎ ‎ 从而有＜an.‎ ‎ 所以原命题及其逆命题均为真命题，从而其否命题及其逆否命题也均是真命题．]‎ 充分条件与必要条件的判断 ‎　(1)(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的(　　)‎ ‎ A．充分而不必要条件 ‎ B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 ‎ (2)设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的(　　)‎ ‎ A．充分不必要条件 ‎ B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 ‎ (1)A　(2)A　[(1)法一：由题意知|m|≠0，|n|≠0.‎ ‎ 设m与n的夹角为θ.‎ ‎ 若存在负数λ，使得m＝λn，‎ ‎ 则m与n反向共线，θ＝180°，‎ ‎ ∴m·n＝|m||n|cos θ＝－|m||n|<0.‎ ‎ 当90°<θ<180°时，m·n<0，此时不存在负数λ，使得m＝λn.‎ ‎ 故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．‎ ‎ 故选A．‎ ‎ 法二：∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.‎ ‎ ∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.‎ ‎ 反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0⇔cos〈m，n〉<0⇔〈m，n〉∈，‎ ‎ 当〈m，n〉∈时，m，n不共线．‎ ‎ 故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．‎ ‎ 故选A．‎ ‎ (2)|x－2|＜1⇔1＜x＜3.‎ ‎ 由于{x|1＜x＜2}是{x|1＜x＜3}的真子集，‎ ‎ 所以“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的充分不必要条件．]‎ ‎ [规律方法]　充分条件、必要条件的三种判断方法 ‎ (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．‎ ‎ (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．‎ ‎ (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．‎ ‎[变式训练2]　(1)(2018·九江十校联考)已知函数f(x)＝则“x＝0”是“f(x)＝1”的(　　)‎ ‎ 【导学号：00090005】‎ ‎ A．充要条件 ‎ B．充分不必要条件 ‎ C．必要不充分条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 ‎ (2)(2018·东北三省四市联考)设a，b均为实数，则“a＞|b|”是“a3＞b3”的 ‎(　　)‎ ‎ A．充分不必要条件 ‎ B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 ‎ (1)B　(2)A　[(1)若x＝0，则f(x)＝1，‎ ‎ 若f(x)＝1，则ex＝1或ln(－x)＝1，解得x＝0或x＝－e.‎ ‎ 故“x＝0”是“f(x)＝1”的充分不必要条件，故选B．‎ ‎ (2)a＞|b|能推出a＞b，进而得a3＞b3；当a3＞b3时，有a＞b，但若b＜a＜0，则a＞|b|不成立，所以“a＞|b|”是“a3＞b3”的充分不必要条件，故选A．]‎ 充分条件、必要条件的应用 ‎　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．‎ ‎ [解]　由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，‎ ‎ ∴P＝{x|－2≤x≤10}．‎ ‎ ∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P，‎ ‎ ∴∴0≤m≤3.‎ ‎ 综上，可知0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．‎ ‎[母题探究1]　本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．‎ ‎ [解]　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．‎ ‎ 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，‎ ‎ ∴ ‎ ∴ ‎ 这样的m不存在．‎ ‎[母题探究2]　本例条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．‎ ‎ [解]　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．‎ ‎ ∵綈P是綈S的必要不充分条件，‎ ‎ ∴P是S的充分不必要条件，‎ ‎ ∴P⇒S且SDP，‎ ‎ ∴[－2,10][1－m,1＋m]，‎ ‎ ∴或 ‎ ∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．‎ ‎ [规律方法]　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：‎ ‎ (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．‎ ‎ (2)要注意区间端点值的检验．‎ ‎[变式训练3]　(1)(2017·长沙模拟)已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．‎ ‎ (2)方程ax2＋2x＋1＝0(a∈R，a为常数)的解集只有一个负实根的充要条件是________．‎ ‎ (1)(0,3)　(2)a≤0或a＝1　[(1)令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0