高中数学选修2-2课时练习第二章 5 10页

‎§5　简单复合函数的求导法则 ‎[学习目标]‎ ‎1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．‎ ‎2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导．(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．‎ ‎[知识链接]‎ 复合函数求导应注意哪些问题？‎ 答　复合函数求导时应注意：函数是由哪两个函数复合而成的．中间变量应选择简单初等函数，判断一个函数是否是简单初等函数的标准是：存在求导公式则直接求导，弄清各分解函数中应对哪个变量求导，对一个函数的复合关系的分解予以足够的重视，要用换元的思想及基本初等函数的观点来理解复合关系，理解复合函数的概念．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量．‎ ‎2．简单复合函数的求导法则 若y＝f(u)，u＝φ(x)，则yx′＝yu′·ux′.‎ 特别地，当u＝ax＋b时，yx′＝a·yu′.‎ ‎3．求复合函数导数的步骤 求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：‎ ‎(1)适当选定中间变量，正确分解复合关系，即说明函数关系y＝f(u)，u＝g(x)；‎ ‎(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量求导，即先求yu′，再求ux′；‎ ‎(3)计算yu′·ux′，并把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数．‎ 整个过程可简记为分解——求导——回代．熟练以后，可以省略中间过程．‎ 要点一　复合函数的定义 例1　指出下列函数是怎样复合而成的：‎ ‎(1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；‎ ‎(3)y＝cos 3x.‎ 解　(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的．‎ ‎(2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的．‎ ‎(3)y＝cos 3x是由函数y＝cos u，u＝3x复合而成的．‎ 规律方法　分析函数的复合过程主要是设出中间变量u，分别找出y关于u的函数关系，u关于x的函数关系．‎ 跟踪演练1　指出下列函数由哪些函数复合而成：‎ ‎(1)y＝ln；(2)y＝esin x；(3)y＝cos(x＋1)．‎ 解　(1)y＝ln u，u＝；‎ ‎(2)y＝eu，u＝sin x；‎ ‎(3)y＝cos u，u＝x＋1.‎ 要点二　求复合函数的导数 例2　求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝ln(x＋2)；‎ ‎(2)y＝sin3 x.‎ 解　(1)y＝ln u，u＝x＋2，‎ ‎∴y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(x＋2)′＝·1＝.‎ ‎(2)y＝u3，u＝sin x，‎ ‎∴y′x＝y′u·u′x ‎＝(u3)′·(sin x)′‎ ‎＝3u2·cos x ‎＝3sin2xcos x，‎ 即y′＝3sin2xcos x.‎ 规律方法　应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：‎ ‎(1)中间变量的选取应是基本函数结构．‎ ‎(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导．‎ ‎(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．‎ ‎(4)善于把一部分表达式作为一个整体．‎ ‎(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤．‎ 跟踪演练2　求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝e2x＋1；‎ ‎(2)y＝(－2)2.‎ 解　(1)y＝eu，u＝2x＋1，‎ ‎∴y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.‎ ‎(2)法一　∵y＝(－2)2＝x－4＋4，‎ ‎∴y′＝x′－(4)′＋4′‎ ‎＝1－4× ＝1－.‎ 法二　令u＝－2，‎ 则y′x＝y′u·u′x＝2(－2)·(－2)′＝‎ ‎2(－2)＝1－.‎ 要点三　导数的应用 例3　求曲线y＝e2x＋1在点处的切线方程．‎ 解　∵y′＝e2x＋1·(2x＋1)′＝2e2x＋1，‎ ‎∴y′| ＝2，‎ ‎∴曲线y＝e2x＋1在点处的切线方程为 y－1＝2，‎ 即2x－y＋2＝0.‎ 规律方法　求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法．‎ 跟踪演练3　曲线y＝esin x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为 ‎，求直线l的方程．‎ 解　设u＝sin x，则y′＝(esin x)′＝(eu)′(sin x)′＝‎ cos xesin x，y′|x＝0＝1.‎ 则切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0‎ 若直线l与切线平行可设直线的l方程为x－y＋c＝0.‎ 两平行线间的距离d＝＝⇒c＝3或c＝－1.‎ 故直线l的方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0.‎ ‎1．函数y＝(3x－2)2的导数为(　　)‎ A．2(3x－2) B．6x C．6x(3x－2) D．6(3x－2)‎ 答案　D 解析　y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)．‎ ‎2．若函数y＝sin2x，则y′等于(　　)‎ A．sin 2x B．2sin x C．sin xcos x D．cos2x 答案　A 解析　y′＝2sin x·(sin x)′＝2sin x·cos x＝sin 2x.‎ ‎3．若y＝f(x2)，则y′等于(　　)‎ A．2xf′(x2) B．2xf′(x)‎ C．4x‎2f(x) D．f′(x2)‎ 答案　A 解析　设x2＝u，则y′＝f′(u)·ux′‎ ‎＝f′(x2)·(x2)′＝2xf′(x2)．‎ ‎4．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.‎ 答案　2‎ 解析　由题意知y′|x＝0＝aeax|x＝0＝a＝2.‎ 求简单复合函数f(ax＋b)的导数 求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后再分别对y＝f(u)与u＝ax＋b分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝ax＋b的形式是关键．‎ 一、基础达标 ‎1．下列函数不是复合函数的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．y＝－x3－＋1 B．y＝cos C．y＝ D．y＝(2x＋3)4‎ 答案　A 解析　A中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数u＝x＋，y＝cos u的复合函数，C中的函数可看作函数u＝ln x，y＝的复合函数，D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数，故选A.‎ ‎2．函数y＝的导数是(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 答案　C 解析　y′＝′＝·(3x－1)′‎ ‎＝，故选C.‎ ‎3．函数y＝x2cos 2x的导数为(　　)‎ A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x 答案　B 解析　y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′‎ ‎＝2xcos 2x＋x2·(－2sin 2x)‎ ‎＝2xcos 2x－2x2sin 2x.‎ ‎4．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为(　　)‎ A．1 B．‎2 C．－1 D．－2‎ 答案　B 解析　设直线y＝x＋1切曲线y＝ln(x＋a)于点 ‎(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，又y′＝，‎ ‎∴y′|x＝x0＝＝1，‎ 即x0＋a＝1.又y0＝ln(x0＋a)，‎ ‎∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.‎ ‎5．函数y＝(2 015－8x)3的导数y′＝________.‎ 答案　－24(2 015－8x)2‎ 解析　y′＝3(2 015－8x)2×(2 015－8x)′‎ ‎＝3(2 015－8x)2×(－8)＝－24(2 015－8x)2.‎ ‎6．曲线y＝cos在x＝处切线的斜率为________．‎ 答案　－2‎ 解析　∵y′＝－2sin，‎ ‎∴切线的斜率k＝－2sin＝－2.‎ ‎7．求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝(1＋2x2)8；‎ ‎(2)y＝；‎ ‎(3)y＝sin 2x－cos 2x；‎ ‎(4)y＝cos x2.‎ 解　(1)设y＝u8，u＝1＋2x2，‎ ‎∴y′＝(u8)′(1＋2x2)′‎ ‎＝8u7·4x＝8(1＋2x2)7·4x ‎＝32x(1＋2x2)7.‎ ‎(2)设y＝，u＝1－x2，‎ 则y′＝′(1－x2)′‎ ‎＝·(－2x)‎ ‎＝x(1－x2) .‎ ‎(3)y′＝(sin 2x－cos 2x)′＝(sin 2x)′－(cos 2x)′‎ ‎＝2cos 2x＋2sin 2x ‎＝2sin (2x＋)．‎ ‎(4)设y＝cos u，u＝x2，‎ 则y′＝(cos u)′·(x2)′＝(－sin u)·2x ‎＝(－sin x2)·2x＝－2xsin x2.‎ 二、能力提升 ‎8．曲线y＝在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(　　)‎ A.e2 B．4e‎2 C．2e2 D．e2‎ 答案　D 解析　∵y′＝·，∴y′|x＝4＝e2.‎ ‎∴曲线在点(4，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－4)，‎ 切线与坐标轴的交点分别是(0，－e2)，(2,0)，‎ 则切线与坐标轴围成的三角形面积S＝|－e2||2|＝e2.‎ ‎9．若f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝________.‎ 答案　 解析　f′(x)＝[log3(x－1)]′＝，‎ ‎∴f′(2)＝.‎ ‎10．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.‎ 答案　1‎ 解析　f′(x)＝2(2x＋a)·2＝4(2x＋a)，f′(2)＝16＋‎4a＝20，∴a＝1.‎ ‎11．已知a>0，f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，l是曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线．求切线l的方程．‎ 解　f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，f(0)＝1.‎ ‎∴f′(x)＝2ax－2＋＝，‎ f′(0)＝－1，∴切点P的坐标为(0,1)，l的斜率为－1，‎ ‎∴切线l的方程为x＋y－1＝0.‎ ‎12．有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s＝s(t)＝‎ ‎5－.求函数在t＝ s时的导数，并解释它的实际意义．‎ 解　函数s＝5－可以看作函数s＝5－和x＝25－9t2的复合函数，其中x是中间变量．‎ 由导数公式表可得sx′＝－x－，xt′＝－18t.‎ 故由复合函数求导法则得st′＝sx′·xt′‎ ‎＝·(－18t)＝，‎ 将t＝代入s′(t)，得s′＝0.875 (m/s)．‎ 它表示当t＝ s时，梯子上端下滑的速度为 ‎0．‎875 m/s.‎ 三、探究与创新 ‎13．曲线y＝e2x·cos 3x在(0,1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程．‎ 解　y′＝(e2x)′·cos 3x＋e2x·(cos 3x)′‎ ‎＝2e2x·cos 3x－3e2x·sin 3x，‎ ‎∴y′|x＝0＝2.‎ ‎∴经过点(0,1)的切线方程为y－1＝2(x－0)，‎ 即y＝2x＋1.‎ 设适合题意的直线方程为y＝2x＋b，‎ 根据题意，得＝，‎ ‎∴b＝6或－4.‎ ‎∴适合题意的直线方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.‎