数学理卷·2017届陕西省西安市长安区第一中学大学区高三第三次联考（2017 12页

‎ 长安一中2014级大学区联考 数学（理）试题 ‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 若（是虚数单位），则的共轭复数为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知全集，集合，，则 （ ）‎ A. [1，2] B. [1，2) C. (1，2] D. (1，2)‎ ‎3. 某校开设类选修课2门，类选修课3门，一位同学从中选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 （ ）‎ A. 3种 B. 6种 C. 9种 D. 18种 ‎ ‎4. 设，则二项式的展开式中的系数为 （ ）‎ A. 40 B. C. 80 D. ‎ ‎5. 已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是 （ ）‎ ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6. 某几何体的三视图如图所示，此几何体的体积是 （ ） ‎ ‎ A. ‎ ‎ B. ‎ C. ‎ ‎ D. ‎ ‎7. 将函数的图像分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图像的对称轴重合，则的最小值为 （ ）‎ ‎ A. 3 B. C. 6 D. ‎ ‎8. 若等比数列的前项和，则 （ ）‎ ‎ A. 4 B. 12 C. 24 D. 36‎ ‎9. 一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为，则空白处应填入的 条件是 （ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎10. 在数列中，则 （ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知双曲线的左、右焦点分别是，过的直线交双曲线的右支于两点，若，且，则该双曲线的离心率为 （ ）‎ ‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎12.已知函数函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是 （ ）‎ ‎ A. [，3） B. [，] C. [，3) D .[,1)‎ 第II卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ 13. ‎ 若实数满足，则的取值范围是.‎ 14. ‎ 已知向量满足，且，则向量与的夹角为 .‎ 13. ‎ 已知过点的直线与椭圆相交于两点，若点是的中点，则直线的方程为.‎ ‎16.如图，是可导函数，直线：是曲线在处的切线，令，是的导函数，则 ‎ ‎ .‎ 三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）‎ ‎（一）必考题（共5小题，每小题12分，共60分）‎ ‎17. (本小题满分12分)‎ 已知锐角中内角所对边的边长分别为，满足 ‎，且.‎ ‎(1)求角的值；‎ ‎(2)设函数，且图像上相邻两最高点间的距离为，求的取值范围.‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 如图，三棱台中，底面是以为斜边的直角三角形，‎ 底面，，分别为的中点.‎ ‎(1)求证：直线∥平面;‎ ‎(2)若，求二面角的余弦值. ‎ 19. ‎(本小题满分12分)‎ 某园林基地培育了一种新观赏植物，经过了一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度（单位：厘米）作为样本（样本容量为）进行统计，按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分组做出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在[50,60),[90,100]的数据).‎ ‎（1）求样本容量和频率分布直方图中的 ‎（2）在选取的样本中，从高度在80厘米以上（含80厘米）的植株中随机抽取3株，设随机变量表示所抽取的3株高度在 [80,90) 内的株数，求随机变量的分布列及数学期望.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知抛物线的标准方程为，为抛物线上一动点，为其对称轴上一点，直线与抛物线的另一个交点为.当为抛物线的焦点且直线与其对称轴垂直时，的面积为.‎ ‎(1)求抛物线的标准方程.‎ ‎(2)记，若值与点的位置无关，则称此时的点为“稳定点”，试求出所有的“稳定点”，若没有，请说明理由.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ (1) 求的单调区间和极值点；‎ (2) 是否存在实数，使得函数有三个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎（二）选考题（共10分.请考生在第22-23两题中任选一道作答，如果多选，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号）‎ ‎22. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为（为参数，），‎ 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ (1) 若极坐标为的点在曲线上，求曲线与曲线的交点坐标；‎ ‎(2)若点的坐标为，且曲线与曲线交于两点，求.‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知，，，函数的最小值为4.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求的最小值.‎ 理数答案 一、选择题（共12小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分，共60分）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C D C D A C D B A C A A 二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 14. ‎ ‎15. 16. 0‎ 三、解答题（共70分，要求写出主要的证明、解答过程）‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 解：(1)因为，由余弦定理知，所以， （2分）‎ 又因为，则由正弦定理得， （4分）‎ 所以，所以. （6分）‎ ‎(2)‎ 由已知，则， （9分）‎ 因为，由于，所以，‎ ‎.于是. （12分）‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ ‎(1)证明：如图，连接，，‎ 设，连接，‎ 在三棱台中，，‎ 为的中点，可得∥，，‎ 所以四边形是平行四边形，则为的中点，‎ 又是的中点，所以∥，又平面，‎ 平面，所以∥平面. （5分）‎ (2) 解：如图，连接，，平面与平面所成角的正弦值即为二面角的余弦值，‎ 以，的反向延长线，所在直线分别 为轴建立空间直角坐标系，‎ 设，则，，，，可得，， (7分)‎ 设平面的法向量为，则有 得平面的一个法向量为，易知平面 的一个法向量为，，即二面角的余弦值为. （12分）‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 解：(1)由题意可知，样本容量 ‎，‎ ‎. （4分）‎ ‎(2)由题意可知，高度在[80,90)内的株数为5，高度在[90,100]内的株数为2，‎ 共7株.抽取的3株中高度在[80,90)内的株数的可能取值为 ‎1,2,3，则 （5分）‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎. （8分）‎ ‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎（10分）‎ ‎3‎ 故. ‎ ‎ （12分）‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 解：(1)因为当为抛物线的焦点且直线与其对称轴垂直时，的 面积为.所以，，解得.‎ 所以抛物线的标准方程为. （4分）‎ (2) 设，，直线的方程为，‎ 联立 化为，‎ ‎.由对称性，不妨设.‎ i)当时，∵，∴同号.‎ 又，‎ ‎∴，‎ 不论取何值时，值与点位置关系有关，即此时的点不为“稳定点”. （8‎ 分）‎ ‎ ii)当时，∵，∴异号.‎ 又，所以，‎ ‎∴仅当时，即时，与无关，此时即为抛物线的焦点，‎ 因此仅有抛物线对称轴上焦点一个“稳定点”. （12分）‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 解：(1)，‎ 由，得；，得，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增.‎ 所以的极小值点为. （5分）‎ (2) 假设存在实数，使得函数有三个不同的零点，‎ 即方程有三个不等实根.‎ 令，，‎ 由，得或；‎ 由，得，‎ 所以在上单调递增，上单调递减，‎ 上单调递增，所以的极大值为，的极小值为. （9分）‎ 要使方程有三个不等实根，则函数的图像与轴 要有3个交点.根据的图像可知必须满足 解得.‎ 所以存在实数，使得方程有三个不等实根，‎ 实数的取值范围是. （12分）‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 (1) 点对应的直角坐标为，‎ 由曲线的参数方程知：曲线是过点的直线，故曲线的方程为.‎ 而曲线的直角坐标方程为，联立得 解得：故交点坐标分别为. （4分）‎ ‎(2)由判断知：在直线上，将代入方程得：，设点对应的参数分别为，‎ 则，，而，所以. （10分） ‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 解：(1)因为 当且仅当时，等号成立.‎ 又，，所以，‎ 所以的最小值为.‎ 又已知的最小值为4，所以. （5分）‎ (2) 由(1)知，由柯西不等式得，‎ 所以.‎ 当且仅当，即，，时等号成立.‎ 所以的最小值为. （10分）‎