高一数学同步辅导教材(第2讲) 6页

高一数学同步辅导教材（第 2 讲） 一、本讲教学进度 1．3（P10-13） 二、本讲教学内容 1．交集 2．并集 三、重点，难点选讲 1．交集 （1）交集的定义 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合，叫做集合 A 与 B 的交集，同符号“A B”表示， 实际上“A B”是由所有集合 A 和集合 B 的公共元素所组成的集合，用集合的方法，可以表示为： A B= ., BxAxx  且 A B 也可以用韦恩图中的阴影部分表示如下： （2）交集的性质 （3）交集的定义、集合相等的定义和补集的定义，很容易证明：A A=A，A  = ，A B= B A， (A B) C=A (B C),A ( S A)= . 对 A = 证明如下：假设存在元素 ),(  Ax 则由交集定义，得 ,x 与空集中的定义矛盾， 所以集合 A 中不存在任何元素，即 A = 此外，还容易证明 A B= B 与 B A 等价，这个结论在解题时会用到. （3）交集与方程组，不等式组 求方程组的解集，即求方程组中每一个方程的解集的交集，求不等式组的解集，即求不等式组中每 一个不等式的解集的交集。 例 1． 已知集合 A= znnxx  ,12 ，B= zknxx  ,13 求 A B. 解 ：若 .32,1312 knkn  则 ∴ 的倍数必为k ，令 ),(2 zttk  则 .1613  tkx ∴  zttxxBA  ,16 例 2．已知      BAkBA 且,,4,2,1 2 ，求实数 k 的值. 解 ∵ ,4, ABA   ∴ .2,1, 222  kkAk 或即 ∴ 2,1  kk 或 例 3 已知集合 M=     2,64,2,3,4,2,2 222  NMaaaaNaa 且 ,求实数 a 的 的值. 解 ∵  2 NM ， ∴ ,2 N 若 .1,23  aa 这时    .11,3,2,3,1,2  NM 若 .0,222  aa 这时 ,2 a 不符合集合中元素的互异性。 若 .2,044,264 22  aaaaa 这时 M=   2,6,5,0,4,2 N BA BA ∴ .2,1  aa 或 例 4 已知 A=     BARxxxBpxxx 且,,0,02 ,求实数 P 的数值范围. 解 ： 由 , BA （1）若 .4 1,041, 2  ppA  （2）若 ,4 1,041, 2  ppA  此时应要求方程 02  pxx ，没有正根. 如方程有一零根， —负根. 则 如方程有两个负根或方程为 .1,0,0,0 2 21  xxxxxxp ， 则 001 0 21 21       pxx xxp ， ∴ .4 10  p 由（1），（2）知 .0pp的取值范围为 2 并集 （1）并集的定义 由所有．．属于集合 A 或．属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做集合 A 与 B 的并集，用符号“ "BA 表 示，实际上“ BA ”是由集合 A 和集合 B 中所有元素组成的集合，但集合 A 与集合 B 中的公共元素 在 BA 中只能出现一次。用集合的写法，可以表示为  BxAxxBA  或, . 应注意：这里“ BxAx  或, ”中“或”的意义包含三种情况：① ;, BxAx  但 ② ;, BxAx  但 ③ ., BxAx  且 部分表示如下可以用韦恩图中的阴影BA ： （2）并集的性质 由并集的定义、集合相等的定义及补集的定义，很容易证明： (),()(,,,  ACBACBAABBAAAAAA  S A)=S. 由交集和并集的定义，也容易证明： ).()(),()( BABBABAABA  此外，还容易证明： .等价与 BABBA  （3）并集与方程 方程 0)(0)(,0)()(  xgxfxgxf 的解集与方程是方程的所集 的解集的并集。 例 5．已知平面上的点集     ,,12),(,12),( BABAxyyxBxyyxA  和求 并说明它们的几何意义。 解： .12 ,12),(             xy xyyxBA 实际上直线 12:12: 21  xylxyl 和 互相平行， .21 没有公共点和ll  .12,12),(  xyxyyxBA 或 .21 llBA 和直线的几何意义是两条平行 A B 例 6．已知集合     ,1,04,0 22  BArxxxBqpxxxA 且   的值求实数 rqpBA ,,,3,1,2 . 解：∵ ,1 BA ∴ .1 B ∴  1412 3,0  rr . ∴    .3,10342  xxxB ∵   .2,3,1,2 BBA  ∴ ,2 A ∵ ∴ ,1 A ∴方程 .1202 和的两根为 qpxx ∴ .21)2(,1)12(  qp ∴ 3,2,1  rqp 例 7．（ 1）已知全集      求6,5,4,5,4,3,6,5,4,3,2,1  BAU ,A ,B ( ()  A （ ,), BAB  ).( BA （2）已知全集     :.1,3, 求 xxBxxARu ： ,A (,B )A  （ B ）， ,BA  ).( BA 解 ：（ 1）  ,6,2,1 A  ,3,2,1 B （  .6,3,2,1)  B  ,5,4 BA  .6,3,2,1)(  BA （2）  ,3 xxA  ,1 xxB （ ()  A  .31)  xxB  ,3,1  xxxBA 或  31)(  xxBA 评价（1）由第（1）题可见，有 ()(  BA )A ( ),B 一般地，该等式对 任意的集合 、A、B 都能成立，并可以用韦恩图验证. （2）由第（2）题可见，有  )( BA ( )B ,一般地,该等式对任意的 集合 ,A,B,也成立,并可以用韦恩图验证. (3)上述两个公式也叫集合运算的摩根律,集运算还有分配 律:  )( CBA ( )BA )()()(),( CABACBACA  也可以用韦恩图验证. 例 8．已知集合     ABBAmxxxBcxxxA ,,06,06 22  且 B = 2 ，求实数 b,c,m 的值. 解：∵  ,2 BA ∴ B2 ∴ .5,06222  mm ∴    3,20652  xxxB ∵ ,BBA  ∴ .BA  又 ∵  2 BA ∴  2A ∴ 422,4)22(  Cb ∴ 5,4,4  mcb 例 9．已知全集    AU 且,5,4,3,2,1 （   (,2,1)  B  5,4)  BA , , BA 求 A，B. 解：∵ (A ∴  ,2,1)  B ∴ 1，2 .2,1, BA  且 ∵（  ,5,4)  BA BA 1, 2 3 5 U 4, ∴ .5,4,5,4 BA  且 由此知 1，2，4，5 ).( BA ∵ , BA ∴ )(3 BA 。 即 BA  3,3 且 ∴    .5,4,3,3,2,1  BA 评析：本题也可用韦恩图，并根据已知条件，逐步写出集合中的元素，从而求得集合 A 和 B. 例 10． 若用 n(A)表示有限集 A 的元素个数。 （1）已知 n(A)=20，n(B)=15,n(A B)=28,求 n(A B); (2)已知 n( BA )=4,n( BA )=18,n(A)=10,求 n(B). 解：（1）设 n( )=x,画出韦恩图. 由图及 n(A)=20,n(B)=15,知左边一块应填上 20-x,右边一块应填上 15-x. ∵n 28)(  BA , ∴(20-x)+x+(15-x)=28. ∴x=7,即 n )( BA =7. (2)设集合 B 中不属于 A 的元素有 x 个，画出韦恩图. 由 n =4,中间一块应填上 4. 由 n(A)=10,左边一块应填上 10-4=6. ∵n )( BA =18, ∴6+4+x=18, x=8. ∴n(B)=4+8=12. 评析：一般地，有 n )( BA =n(A)+n(B)-n ,可以用韦恩图验证此等式。在遇到具体问题时 不必记这个式子，只要画出韦恩图，用上述例 10 的方法，适当设未知数，并根据已知条件就可以求出结 果. 练 习 一选择题 1．设集合 A=      ,2 3 2 1,,21,        xyyxBxyyx 则 BA 是（ ） A．（ 1，-1） B. 1,1  C.   11  yyxx D.   1,1  A B X20-X 15-X 10-4=6 A 4 X B 2．设全集 U=    NcbaMdcba ,,,,,,,  =   ,,,,, dcaPdb  则（ ） A．P= )( NM  B.P=（ )NM  C． )( PMN  D. N （ )PM  3．已知集合      2,0,02 22  NMqxxxNpxxxM 且 ， 则 qp, 的值为. （ ） A． 2,3  qp B。 2,3  qp C。 2,3  qp D。 2,3  qp . 4．已知集合 p=   ,,,1 axxQxx  且 P Q= 实数 ，则实数 a 的取值范围为（ ） A．a=1 B.a 1 c.a 1 D.a .1 5.设全集 U=R，集合     0)( )(,0)(,0)(  xg xfxgxNxfxM 则方程 的解集是（ ）. A． M B. ( )N C. (M )N D. NM  6.设全集为 U，非空集合 A，B 满足 A B U，则（ ）. A．A B= B.( A) B= C.A ( B)= D.( A) ( B)= 二、填空题 7．已知集合 A= ,21  xx B= ,30 xx 则 A B=_________,A B=___________. 8．满足 A B= 1,0 的集合 A，B 共有__________对. 9．已知全集 U=R，集合 A= ,2xx B= ,0782  xxx 则（ A） （ B） =________________. 10．已知集合 S= 的正奇数不大于10 ，A  S，B= S，且 A （ SB）= 3,1 ， （ SA） B= ,9 （A B）= ,7,5 则 A=___________,B=_____________. 三、解答题 11．已知集合 A= ,02  xxx B= ,0422  xaxx 且 A B=B，求实数 a 的取值范围。 12．设全集 M= ,01242  xxx 集合 A= ,042 xx B= ,0432  xxx 求 B， （A B）。 13．设集合 M= ,062  xxx N= ,2 axaxxx  全集 U=R，若 M N， 求实数 a 的取值范围. 14．已知 A= ,01)1( 2  axxax B= ,01272  xxx C= )2)(1(  xxx ,0)3( x 若 A B= , A C=C，求实数 a 的值. 答案+提示 [答案] 一、1．D 2.A 3.B 4.D 5.B 6.C 二、7.  31,20  xxxx 8. 9 9. 1xx 10.   9,3,1 三、11．a 4 1 12. B= ,64,12  xxx 或 B=（ BA ） ,12  xx 或 62  x 13.-3 2 a 14.a=1,a=2,或 a= 2 3 . [提示] 一、6．若 ,Ax 则由 A  B 知 (,  xBx  B）， ∴ x A  ( B).若 x A， 则显然有 x A （ B）. ∴ A ( B）= ,也可以由韦恩图验证. 二、8．若 A= ，则 B= ;1,0 若 A= ,0 则 B= 1 ，或 B= 若 A= ，则 B= 或 B= 若 A= 则 B= ，或 B= 或 B= ，或 B=  1,0 . 9．∵A （ S B）= ,3,1 ∴1，3A，且 1，3B ∵ （ A） B= 9 ，∴ 9 A，且 9 B， ∵ （A B）= 7,5 ， ∴5，7 （A B），即，5，7 A，且 5，7 B，∵S= 9,7,5,3,1 ，∴A= B= 或用韦恩图求解. 三、11．A= ，∵A B=B， ∴B= A. 若 B= ，则 4 1,0164  aa . 若 B= 0 ，则 0 2 -0+4=0，a . 若 B= ,1 则 a·1 2 -2·1+4=0,a=-2, -2 0422  xx ,  ,1,2.1,2,022  Bxxx 不合. 若 B= ,1,0        104 102 a a ， a . ∴ 4 1a . 12．U= .62  xx A= 22  xx ,B= 41  xx ,A B= 21  xx . 13．M= ,23  xx M= .2,3  xxx 或 N：( 0)1)(  xax . (1)若 ,1a N= axxx  或,1 ，∵ NM  , ∴ a ,2 ∴ 21  a . (2)若 a=1, N=R, RM  . ∴a=1 (3)若 a 1,  1,  xaxxN 或 , ∵ NM  , ∴ a 3 , ∴-3 1 a . ∴ 23  a . 14. B= ,4,3 C= ,3,2,1 ∵A: 0]1)1)[(1(  xax . ∴ 1 A . ∵ A B= , A C=C, 即 A C . ∴ A= 1 ,或 A= 2,1 . 若 A= ，a-1=0, 或 11 1 a ，∴a=1, 或 a=2. 若 A= 2,1 ， 21 1 a ， a= 2 3 . ∴a=1 , a=2, 或 a= .