数学（理）卷·2018届河南省漯河高中高三上学期第三次模拟考试（期中）（2017 10页

漯河高中2017—2018学年（上）高三第三次模拟考试 数学试题（理）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知集合，则的子集共有 （ ）‎ A．2个 B．4个 C．5个 D．8个 ‎3.在不等式组表示的平面区域内任取一个点，则 的概率为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 正项等比数列中的是函数的极值点，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．与的值有关 ‎5.已知长方体的全面积为，十二条棱长度之和为，则这个长方体的一条对角线长为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.若是第三象限角，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7. 若是奇函数，且是的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 设函数，若在上的值域为，其中，且，则 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9. 如图所示，在边长为1的正方形组成的格中，画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10. 设分别是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于两点，‎ 若，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 已知函数，若，且，则（ ）‎ A． B． C． D．随值变化 ‎12. 设，则中，正数的个数是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.平面直角坐标系中，，若曲线上存在一点，使，则称曲线为“合作曲线”，有下列曲线①；②；③；④；⑤，‎ 其中“合作曲线”是 ．（填写所有满足条件的序号）‎ ‎14.已知是定义在上的偶函数，令，若是的等差数列，则 ．‎ ‎15.已知圆与曲线有唯一的公共点，且公共点的横坐标为，‎ 若，则 ．‎ ‎16. 已知椭圆是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于 点，则的取值范围是 ．（用表示）‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 数列的前项和为，且对任意正整数都有.‎ ‎（1）求证：为等比数列；‎ ‎（2）若，且，求数列的前项和.‎ ‎18. 已知是的三个内角，若向量，且.‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）求的最大值.‎ ‎19.如图，四边形和四边形均是直角梯形， 二面角是直二面角，.‎ ‎（1）证明：在平面上，一定存在过点的直线与直线平行；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆，如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）若，求证：直线过定点.‎ ‎21.已知函数为常数），曲线在与轴的交点 处的切线斜率为.‎ ‎（1）求的值及函数的单调区间；‎ ‎（2）若，且，试证明：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.在极坐标系中，圆的极坐标方程为，若以极点为原点，极轴所在的直线为轴建立平面直角坐标系.‎ ‎（1）求圆的参数方程；‎ ‎（2）在直线坐标系中，点是圆上的动点，试求的最大值，并求出此时点的直角坐标.‎ ‎23.若关于的不等式的解集为，记实数的最大值为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若正实数满足，求的最小值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: AACCC 6-10: BCCAA 11、A 12：D 二、填空题 ‎ ‎13. ①③④ 14. 4034 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）证：当时，，因为，解得，，‎ 当时，，‎ 所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）知，时，，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎18.解：（1）由已知得,‎ 即,‎ 故，‎ 整理得，‎ 即.‎ ‎（2）因为 ‎，‎ 因为为三角形内角，，‎ 所以，所以，‎ 当且仅当时取等号，‎ 故，所以的最大值为.‎ ‎19.解：（1）证明：由已知得平面平面，‎ 所以平面，同理可得平面，‎ 又,所以平面平面,‎ 设平面平面，则过点，‎ 因为平面平面，平面平面，‎ ‎ 平面平面，‎ ‎ 所以，即在平面上一定存在过点的直线，使得.‎ ‎（2）因为平面平面,平面平面,‎ 又，所以，所以平面，‎ 因为平面，所以，‎ 因为,所以，‎ 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，‎ 如图，由已知得,‎ 所以,‎ 设平面的法向量为，则，‎ 不妨设，则，‎ 不妨取平面的一个法向量为，‎ 所以，‎ 由于二面角为锐角，因此二面角的余弦值为.‎ ‎20.解：（1）设直线 的方程为，由题意，，‎ 由方程组，得，‎ 由题意，所以，‎ 设，‎ 由根与系数的关系得，所以，‎ 由于为线段的中点，因此，‎ 此时，所以所在直线的方程为，‎ 又由题意知，令，得，即，‎ 所以，当且仅当时上式等号成立，‎ 此时由得，因此当且时，取最小值.‎ ‎（2）证明：由（1）知所在直线的方程为， ‎ 将其代入椭圆的方程，并由，解得，‎ 又，‎ 由距离公式及得 ‎，，‎ ‎，‎ 由，得，‎ 因此直线的方程为，所以直线恒过定点.‎ ‎21.解：（1）由，得，‎ 因为曲线在与轴的焦点A处的切线斜率为，‎ 所以，所以，‎ 所以，‎ 由，得，‎ 由，得，‎ 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎（2）证明:设，所以，‎ ‎，‎ 令 ‎ 所以，‎ 当且仅当时，等号成立，‎ 所以在上单调递增，‎ 又，所以当时，，‎ 即，所以，‎ 又因为，所以，‎ 由于，所以，‎ 因为，由（1）知函数在区间上单调递增，‎ 所以，即.‎ ‎22.解：（1）因为，所以，‎ 即为圆的直角坐标方程，‎ 所以圆的参数方程为为参数）.‎ ‎（2）设，得，‎ 代入，整理得，‎ 则关于的方程必有实数根，所以，‎ 化简得，解得，即的最大值为，‎ 将代入方程得，‎ 解得，代入，得，‎ 故的最大值为时，点的直角坐标为.‎ ‎23.解：（1）因为，所以，‎ 又因为，所以，‎ 从而实数的最大值.‎ ‎（2）因为 ‎ ‎，‎ 所以，从而，‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 所以的最小值为.‎