2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练47　利用空间向量求空间角 13页

课时分层训练(四十七)　利用空间向量求空间角 ‎(对应学生用书第291页)‎ A组　基础达标 一、选择题 ‎1．在正方体A1B1C1D1ABCD中，AC与B1D夹角的大小为(　　)‎ A.　　　 B. C. D． D　[建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为1，则A(0,0,0)，C(1,1,0)，B1(1,0,1)，D(0,1,0)．‎ ‎∴＝(1,1,0)，‎ ＝(－1,1，－1)，‎ ‎∵·＝1×(－1)＋1×1＋0×(－1)＝0，‎ ‎∴⊥，‎ ‎∴AC与B1D的夹角为.]‎ ‎2. (2017·西安调研)如图7720，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　)‎ 图7720‎ A. B．－ C. D．－ A　[不妨设CB＝1，则B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1＝(0,2,0)，B1(0,2,1)，∴＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)．‎ cos〈，〉＝＝＝.]‎ ‎3．(2017·郑州调研)在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1夹角的正弦值为(　　) ‎ ‎【导学号：79140255】‎ A. B． C. D． B　[设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则B(1,1,0)，B1(1,1,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，‎ 所以1＝(0,0,1)，＝(－1,1,0)，1＝(－1,0,1)．‎ 令平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝－x＋y＝0，n·1＝－x＋z＝0，令x＝1，可得n＝(1,1,1)，所以sin θ＝|cos〈n，1〉|＝＝.]‎ ‎4．已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1夹角的正弦值等于(　　)‎ A. B． C. D． A　[‎ 如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，则O(0,0,0)，B(，0,0)，A(0，－1,0)，B1(，0,2)，所以＝(，1,2)，由题知＝(－，0,0)为侧面ACC1A1的法向量．即sin θ＝＝.故选A.]‎ ‎5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为(　　) ‎ A. B． C. D． B　[以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0,0,1)，‎ E，D(0,1,0)，∴＝(0,1，－1)，＝.‎ 设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，‎ ‎∴有即 解得 ‎∴n1＝(1,2,2)．‎ ‎∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)．‎ ‎∴cos〈n1，n2〉＝＝，‎ 即所成的锐二面角的余弦值为.]‎ 二、填空题 ‎6．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1夹角的正弦值为________．‎ 　[‎ 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设n＝(x，y，z)为平面A1BC1的法向量，‎ 则n·＝0，n·＝0，‎ 即令z＝2，则y＝1，x＝2，‎ 于是n＝(2,1,2)，＝(0,2,0)．‎ 设所求线面角为α，则sin α＝|cos〈n，〉|＝.]‎ ‎7．如图7721所示，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为________．‎ 图7721‎ ‎60°　[∵＝＋＋，‎ ‎∴||＝ ‎＝ ‎＝＝2.‎ ‎∴·＝||·||·cos〈，〉＝－24.‎ ‎∴cos〈，〉＝－.‎ 又所求二面角与〈，〉互补，‎ ‎∴所求的二面角为60°.]‎ ‎8．在一直角坐标系中，已知A(－1,6)，B(3，－8)，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为________. ‎ ‎【导学号：79140256】‎ ‎2　[如图为折叠后的图形，其中作AC⊥CD，BD⊥CD，‎ 则AC＝6，BD＝8，CD＝4，‎ 两异面直线AC，BD夹角为60°.‎ 故由＝＋＋，‎ 得||2＝|＋＋|2＝68，‎ 所以||＝2.]‎ 三、解答题 ‎9．(2018·合肥一检)如图7722，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，AB＝AA1＝2A1B1＝2.‎ 图7722‎ ‎(1)若M为CD的中点，求证：AM⊥平面AA1B1B；‎ ‎(2)求直线DD1与平面A1BD夹角的正弦值．‎ ‎[解]　(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，连接AC，则△ACD为等边三角形，‎ 又∵M为CD的中点，∴AM⊥CD，‎ 由CD∥AB得AM⊥AB.‎ ‎∵AA1⊥底面ABCD，AM底面ABCD，‎ ‎∴AM⊥AA1，又∵AB∩AA1＝A，‎ ‎∴AM⊥平面AA1B1B.‎ ‎(2)∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，‎ AB＝AA1＝2A1B1＝2，‎ 得DM＝1，AM＝，∴∠AMD＝∠BAM＝90°，‎ 又∵AA1⊥底面ABCD，‎ ‎∴以点A为原点，分别以AB，AM，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，‎ A1(0,0,2)，B(2,0,0)，D(－1，，0)，D1，‎ ‎∴1＝，＝(－3，，0)，‎ ＝(2,0，－2)．‎ 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则有⇒ 令x＝1，则n＝(1，，1)．‎ ‎∴直线DD1与平面A1BD夹角θ的正弦值 sin θ＝|cos〈n，1〉|＝＝.‎ ‎10．(2017·江苏高考)如图7723，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°.‎ 图7723‎ ‎(1)求异面直线A1B与AC1夹角的余弦值；‎ ‎(2)求二面角BA1DA的正弦值．‎ ‎[解]　在平面ABCD内，过点A作AE⊥AD，交BC于点E.‎ 因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AE，AA1⊥AD.‎ 如图，以{，，}为正交基底，‎ 建立空间直角坐标系Axyz.‎ 因为AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°，‎ 则A(0,0,0)，B(，－1,0)，D(0,2,0)，E(，0,0)，‎ A1(0,0，)，C1(，1，)．‎ ‎(1)＝(，－1，－)，＝(，1，)，‎ 则cos〈，〉＝ ‎＝＝－，‎ 因此异面直线A1B与AC1夹角的余弦值为.‎ ‎(2)平面A1DA的一个法向量为＝(，0,0)．‎ 设m＝(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量，‎ 又＝(，－1，－)，＝(－，3,0)，‎ 则即 不妨取x＝3，则y＝，z＝2，‎ 所以m＝(3，，2)为平面BA1D的一个法向量．‎ 从而cos〈，m〉＝＝＝.‎ 设二面角BA1DA的大小为θ，则|cos θ|＝.‎ 因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝＝.‎ 因此二面角BA1DA的正弦值为.‎ B组　能力提升 ‎11．(2017·河南百校联盟联考)已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的各棱长均为2，∠A1AD＝60°，∠BAD＝90°，平面A1ADD1⊥平面ABCD，则直线BD1与平面ABCD夹角的正切值为(　　) ‎ ‎【导学号：79140257】‎ A. B． C. D． C　[取AD中点O，连接OA1，易证A1O⊥平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 得B(2，－1,0)，D1(0,2，)，＝(－2,3，)，平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，设BD1与平面ABCD的夹角为θ，∴sin θ＝＝，‎ ‎∴tan θ＝.]‎ ‎12．已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________．‎ 　[延长FE，CB相交于点G，连接AG，如图所示．‎ 设正方体的棱长为3，则GB＝BC＝3，作BH⊥AG于点H，连接EH，则∠EHB为所求二面角的平面角．‎ ‎∵BH＝，EB＝1，∴tan∠EHB＝＝.]‎ ‎13．(2017·全国卷Ⅱ)如图7724，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．‎ 图7724‎ ‎(1)证明：直线CE∥平面PAB；‎ ‎(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角MABD的余弦值. ‎ ‎【导学号：79140258】‎ ‎[解]　(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF.‎ 因为E是PD的中点，所以EF∥AD，EF＝AD.‎ 由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD，‎ 又BC＝AD，所以EFBC，‎ 四边形BCEF是平行四边形，CE∥BF.‎ 又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE∥平面PAB.‎ ‎(2)由已知得BA⊥AD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，)，＝(1,0，－)，＝(1,0,0)．‎ 设M(x，y，z)(0