高中数学选修2-2课时练习第三章 2_2（二） 15页

‎2.2　最大值、最小值问题(二)‎ ‎[学习目标]‎ ‎1．了解导数在解决实际问题中的作用．‎ ‎2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．‎ ‎[知识链接]‎ 如何利用函数的最值解决优化问题(最大利润等问题)?‎ 答　解决优化问题的方法很多，如：判别式法、基本不等式法、线性规划方法及利用二次函数的性质等等．不少优化问题，可以化为求函数最值问题，导数是解这类问题的有效工具．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．‎ ‎2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．‎ ‎3．解决优化问题的基本思路是 上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 要点一　用料最省问题 例1　有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸‎40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距‎50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米‎3a元和‎5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？‎ 解　‎ 如图，由题意知，只有点C位于线段AD上某一适当位置时，才能使总费用最省，设点C距点D为x km，则BC＝＝，又设总的水管费用为y元，依题意有y＝‎3a(50－x)＋‎5a(020时，q′>0，∴当v＝20时，q取得最小值，‎ 即速度为‎20海里/时时，航行‎1海里所需费用总和最小．‎ 要点二　面积、容积的最值问题 例2　‎ 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 ‎000 cm2，四周空白的宽度为‎10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为‎5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？‎ 解　设广告的高和宽分别为x cm，y cm，‎ 则每栏的高和宽分别为x－‎20 cm， cm，‎ 其中x>20，y>25.‎ 两栏面积之和为2(x－20)·＝18 000，‎ 由此得y＝＋25.‎ 广告的面积S＝xy＝x＝＋25x，‎ ‎∴S′＝＋25＝＋25.‎ 令S′>0得x>140，令S′<0得200)；固定部分为a元．‎ ‎(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；‎ ‎(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？‎ 解　(1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为，全程运输成本为 y＝a·＋bv2·＝s，‎ ‎∴所求函数及其定义域为y＝s，v∈(0，c]‎ ‎(2)由题意s、a、b、v均为正数．‎ y′＝s＝0得v＝ .但v∈(0，c]．‎ ‎①若≤c，则当v＝ 时，全程运输成本y最小；‎ ‎②若 >c，则v∈(0，c]，‎ 此时y′<0，即y在(0，c]上为减函数．‎ 所以当v＝c时，y最小．‎ 综上可知，为使全程运输成本y最小，‎ 当 ≤c时，行驶速度v＝ ；‎ 当 >c时，行驶速度v＝c.‎ 规律方法　正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解题的主要思路．另外需注意：‎ ‎①合理选择变量，正确给出函数关系式．‎ ‎②与实际问题相联系．‎ ‎③必要时注意分类讨论思想的应用．‎ 跟踪演练3　已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为p＝25－q.求产量q为何值时，利润L最大？‎ 解　收入R＝q·p＝q＝25q－q2，‎ 利润L＝R－C＝－(100＋4q)‎ ‎ ＝－q2＋21q－100(00)．‎ ‎∴S′＝(x3－4V)．令S′＝0，得x＝.‎ ‎3．在边长为‎60 cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？‎ 解　设箱底边长为x cm，则箱高h＝ cm，箱子容积V(x)＝x2h＝(0＜x＜60)．‎ V′(x)＝60x－x2令V′(x)＝60x－x2＝0，‎ 解得x＝0(舍去)或x＝40，并求得V(40)＝16 000.‎ 由题意知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，最大值是16 ‎000 cm3.‎ 答　当x＝‎40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16 ‎000 cm3.‎ ‎4．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(00，h(x)是增函数，‎ 所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．‎ 因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．‎ 答　汽车以‎80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为‎11.25升．‎ ‎1．解有关函数最大值、最小值的实际问题，在分析问题中的各个变量之间的关系的基础上，列出合乎题意的函数关系式，并确定函数的定义域．注意所求得的结果一定符合问题的实际意义．‎ ‎2．利用导数解决生活中的优化问题时，有时会遇到在定义域内只有一个点使f′(x)＝0，如果函数在该点取得极大(小)值，极值就是函数的最大(小)值，因此在求有关实际问题的最值时，一般不考虑端点.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、基础达标 ‎1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为(　　)‎ A．4 B．‎6 C．4.5 D．8‎ 答案　A 解析　设底面边长为x，高为h，‎ 则V(x)＝x2·h＝256，∴h＝，‎ ‎∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·＝x2＋，‎ ‎∴S′(x)＝2x－.‎ 令S′(x)＝0，解得x＝8，∴h＝＝4.‎ ‎2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为(　　)‎ A．0.016 2 B．0.032 ‎4 C．0.024 3 D．0.048 6‎ 答案　B 解析　依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x∈(0,0.048 6)．‎ 所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3(00；‎ 当0.032 40，‎ ‎∴r＝是其唯一的极值点．‎ ‎∴当r＝时，V取得最大值，最大值为3π.‎ ‎4．用边长为‎120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为(　　)‎ A．120 ‎000 cm3 B．128 ‎000 cm3‎ C．150 ‎000 cm3 D．158 ‎000 cm3‎ 答案　B 解析　设水箱底边长为x cm，则水箱高h＝60－(cm)．‎ 水箱容积V＝V(x)＝x2h＝60x2－ (00.‎ 求导数，得S′(x)＝2－.‎ 令S′(x)＝2－＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)．‎ 于是宽为＝＝8.‎ 当x∈(0,16)时，S′(x)<0；‎ 当x∈(16，＋∞)时，S′(x)>0.‎ 因此，x＝16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点．‎ 所以，当版心高为16 dm，宽为8 dm时，能使四周空白面积最小．‎ 二、能力提升 ‎8．把长为‎12 cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是(　　)‎ A. cm2 B．‎4 cm2‎ C．3 cm2 D．2 cm2‎ 答案　D 解析　设一个正三角形的边长为x cm，则另一个正三角形的边长为(4－x)cm，则这两个正三角形的面积之和为S＝x2＋(4－x)2＝[(x－2)2＋4]≥2(cm2)，故选D.‎ ‎9．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是(　　)‎ A．150 B．‎200 C．250 D．300‎ 答案　D 解析　由题意得，总利润 P(x)＝ 令P′(x)＝0，得x＝300，故选D.‎ ‎10.‎ 为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为‎2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料‎60平方米，问当a＝________，b＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)．‎ 答案　6　3‎ 解析　设y为流出的水中杂质的质量分数，则y＝，其中k(k>0)为比例系数．依题意，即所求的a，b值使y值最小，根据题设，4b＋2ab＋‎2a＝60(a>0，b>0)得b＝.于是y＝＝＝(00，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值．‎ 此时n＝－1＝－1＝9.‎ 故需新建9个桥墩才能使y最小．‎ ‎12．一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为‎20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为‎100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？‎ 解　设速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.‎ 则总费用f(x)＝(kx3＋200)·＝a(kx2＋)．‎ 由已知条件，得40＝k·203，∴k＝，‎ ‎∴f(x)＝a(0＜x＜100)．‎ 令f′(x)＝＝0，得x＝10.‎ 当00.‎ ‎∴当x＝10时，f(x)有最小值，‎ 即速度为‎10 km/h时，总费用最少．‎ 三、探究与创新 ‎13．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l ‎≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．‎ ‎(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；‎ ‎(2)求该容器的建造费用最小时的r.‎ 解　(1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr‎2l＋πr3，‎ 又V＝，故l＝＝－＝.‎ 由于l≥2r，因此03，所以c－2>0.‎ 当r3－＝0时，r＝.令＝m，则m>0，‎ 所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)．‎ ‎①当0时，令y′＝0，得r＝m.‎ 当r∈(0，m)时，y′<0；当r∈(m,2]时，y′>0，‎ 所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．‎ ‎②当m≥2，即3时，建造费用最小时r＝.‎