2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练17　定积分与微积分基本定理 6页

课时分层训练(十七)　定积分与微积分基本定理 ‎(对应学生用书第230页)‎ A组　基础达标 一、选择题 ‎1．定积分(2x＋ex)dx的值为(　　)‎ A．e＋2　　　　　　 B．e＋1‎ C．e D．e－1‎ C　[(2x＋ex)dx＝(x2＋ex) ＝1＋e1－1＝e.故选C.]‎ ‎2．由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为(　　)‎ A. B．1‎ C. D. D　[由题意知S＝cos x dx＝sin x＝－＝.]‎ ‎3．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为(　　) ‎ ‎【导学号：79140093】‎ A.g B．g C.g D．2g C　[由题意知电视塔高为gtdt＝gt2＝2g－g＝g.]‎ ‎4．定积分|x2－2x|dx＝(　　)‎ A．5 B．6‎ C．7 D．8‎ D　[∵|x2－2x|＝ ‎∴|x2－2x|dx＝(x2－2x)dx＋(－x2＋2x)dx ‎＝＋＝8.]‎ ‎5．(2018·合肥一检)在如图2121所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C的方程为x2－y＝0)的点的个数的估计值为(　　)‎ 图2121‎ A．5 000　　　　 B．6 667‎ C．7 500 D．7 854‎ B　[图中阴影部分的面积为(1－x2)dx＝＝，又正方形的面积为1，则10 000个点落入阴影部分个数估计为10 000×≈6 667，故选B.]‎ 二、填空题 ‎6．(2018·长沙模拟(二))若(x2＋sin x)dx＝18，则a＝________.‎ ‎3　[(x2＋sin x)dx＝＝a3＝18，解得a＝3.]‎ ‎7．设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10(单位：m)，已知F(x)＝x2＋1(单位：N)且和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________J.‎ ‎342　[变力F(x)＝x2＋1使质点M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10所做的功为W＝F(x)dx＝(x2＋1)dx＝＝342(J)．]‎ ‎8．(2017·洛阳统考)函数f(x)＝的图像与直线x＝1及x轴所围成的封闭图形的面积为________. ‎ ‎【导学号：79140094】‎ e－　[由题意知所求面积为(x＋1)dx＋exdx＝＋ex＝－＋(e－1)＝e－.]‎ 三、解答题 ‎9．计算下列定积分：‎ ‎(1)dx；‎ ‎(2)dx；‎ ‎(3)sindx.‎ ‎[解]　(1)原式＝＝－＝－ln 2；‎ ‎(2)由定积分的几何意义知，所求定积分是由x＝0，x＝2，y＝，以及x轴围成的图像的面积，即圆(x－1)2＋y2＝1的面积的一半，∴＝；‎ ‎(3)原式＝(sin x＋cos x)dx＝(－cos x＋sin x)＝－(－cos 0＋sin 0)＝2.‎ ‎10．求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．‎ ‎[解]　如图所示，由得交点A(1,1)．‎ 由得交点B(3，－1)．‎ 故所求面积 S＝dx＋dx ‎＝＋ ‎＝＋＋＝.‎ B组　能力提升 ‎11．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝(　　)‎ A．－1 B．－ C． D．1‎ B　[由题意知f(x)＝x2＋2f(x)dx，‎ 设m＝f(x)dx，∴f(x)＝x2＋2m，‎ f(x)dx＝(x2＋2m)dx＝ ‎＝＋2m＝m，∴m＝－.]‎ ‎12．(2017·河南百校联盟4月模拟)已知＋＝2，若φ∈，则(x2－2x)dx＝(　　)‎ A. B．－ C. D．－ C　[由＋＝2⇒sin φ＋cos φ＝2·sin φ·cos φ⇒sin＝sin 2φ，因为φ∈，所以φ＝，所以tan φ＝1，故(x2－2x)dx＝(x2－2x)dx＝＝.]‎ ‎13．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为______．‎ 　[f(x)dx＝(ax2＋c)dx＝＝a＋c＝f(x0)＝ax＋c，‎ 所以x＝，x0＝±.‎ 又因为0≤x0≤1，所以x0＝.]‎ ‎14．已知函数f(x)＝x3－x2＋x＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)＝x2围成的图形的面积. ‎ ‎【导学号：79140095】‎ ‎[解]　∵(1,2)为曲线f(x)＝x3－x2＋x＋1上的点，‎ 设过点(1,2)处的切线的斜率为k，∵f′(x)＝3x2－2x＋1，‎ 则k＝f′(1)＝2，‎ ‎∴过点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，‎ 即y＝2x.y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形如图．‎ 由可得交点A(2,4)，‎ ‎∴y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形的面积 S＝(2x－x2)dx＝＝4－＝.‎