【数学】2019届一轮复习人教A版立体几何（理科）学案 31页

专题四 立体几何（理 ）‎ ‎【高考考场实情】‎ 立体几何是高中数 的主干知识．课程标准下的高中数 教材螺旋式地安排了两部分内容：《数 2》（必修）；《数 》（选修2－1）——“空间几何体”、“点、直线、平面之间的位置关系”、“空间直角坐标系”和“空间向量与立体几何”.作为高考必考内容，立体几何主要考查 生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等.‎ 纵观2014~2017年新课标全国高考数 卷，从年份、卷号、题号、分值、问题的载体、考查的知识点与方法等几个方面，制成下面的表格，从中可以透视近五年立体几何的命题视角和考查方向.‎ 年份 卷别 选择题或填空题 解答题 ‎2014年 全国I卷 理12：三视图（求最长的棱长） : xx ]‎ 文8：三视图（判断几何体）‎ 理19：（1）证明线段相等；（2）求二面角的余弦值 文19：（1）证明线线垂直；（2）求三棱柱的高 全国II卷 理6/文6：三视图（毛坯体积比）‎ 理11：异面直线所成角的余弦值 文7：三棱锥的体积 理18：（1）证明线面平行；（2）已知二面角大小求三棱锥体积 文18（1）证明线面平行；（2）求点到面的距离 ‎2015年 全国I卷 理6/文6：米堆（圆锥的四分之一）的体积（数 文化）‎ 理11/文11：三视图（组合体，求球的半径）‎ 理18：（1）证明面面垂直；（2）求异面直线所成角的余弦值 文18（1）证明面面垂直；（2）求三棱锥的侧面积 全国II卷 理6/文6：三视图（体积比）‎ 理9/文9：球的表面积（球内接三棱锥问题）‎ 理19：（1）作图题；（2）求线面角的正弦值 文19：（1）作图题；（2）求几何体体积比 ‎2016年 全国I卷 理6/文7：三视图（求八分之七的球的表面积）‎ 理18：（1）证明面面垂直；（2）求二面角的余弦值 理11/文11：求异面直线所成角的正弦值 文18（1）证明中点问题；（2）作图并求四面体的体积 全国II卷 理6/文7：三视图（求组合体的表面积）‎ 理14：位置关系（符号语言）‎ 理19：（1）证明线面垂直；（2）求二面角的正弦值 文19：（1）证明线线垂直；（2）求五棱锥的体积 全国III卷 理9/文10：三视图（求平行六面体的表面积）‎ 理10/文11：与直三棱柱的上、下底面相切的球的体积 理19：（1）证明线面平行；（2）求线面角的正弦值 文19：（1）证明线面平行；（2）求四面体的体积 ‎2017年 全国I卷 理7：三视图（组合体）‎ 理16；三棱锥的体积的最大值 文6：线面平行 ‎ 文16：球的表面积（球内接三棱锥）‎ 理18：（1）证明面面垂直；（2）求二面角的余弦值 文18（1）证明面面垂直；（2）求四棱锥的侧面积 全国II卷 理4/文6：三视图（求体积）‎ 理10：异面直线所成角的余弦值 ‎ 文15：长方体的外接球的表面积 理19：（1）证明线面平行；（2）求二面角的余弦值 文18：（1）证明线面平行；（2）求四棱锥体积 ‎ 全国III卷[ : ]‎ 理8/文9：圆柱外接球 ‎ 文10：线线垂直 理16：线线所成角 理19：（1）证明面面垂直；（2）求二面角的余弦值 文19：（1）证明线线垂直；（2）求几何体的体积比 ‎【考查重点难点】‎ 从2014~2017年新课标全国高考数 卷汇总表可以看出，考查立体几何的题型题序相对稳定．试卷常常设置两道小题（大部分以选择题形式呈现，有时也以填空题的形式呈现），一道解答题，合计22分．小题一道相对容易、一道中等或中偏上难度（有时在压轴题的位置）；解答题一般在18或19题的位置，属中档题，难度不是太大.下面主要以全国高考数 卷为例，分析 生解答立体几何试题存在的问题，寻找解决问题的对策，并提出几点备考对策，供老师们高三复习参考.‎ ‎【存在问题分析】‎ ‎（一）识图、作图、用图能力弱 ‎【指点迷津】识图、作图、用图能力的培养，直接影响着空间象能力的形成. 生的识图、作图、用图能力弱，通常表现在不能正确地画出几何体的三视图、不会还原三视图或还原成错误的几何体、不会识别几何体中的空间点、线、面的位置关系、把握不清空间图形中的数量关系、不能恰当地利用变换处理图形、不会运用基本图形思考问题和解决问题、混淆展开和折叠前后图形中的变量与不变量等.‎ ‎【例1】(2013新课标II卷理7改编)‎ 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xy 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以 Ox平面为投影面，则得到的正视图可以为(　　).‎ ‎【解析】如图所示，该四面体在空间直角坐标系O－xy 的图像为右图，选A.‎ ‎【名师点睛】本题考查 生画直观图和利用直观图画三视图的基本技能，试题以空间直角坐标系为载体，并在指定的投影面画三视图，考查了空间想象能力和阅读理解能力，较好地体现了试题的新颖性. 生主要是对所画的直观图中的位置关系和数量关系的错误理解，以及画三视图时虚实不分导致失误.事实上,正确地理解直观图的含义、理解三视图的形成原理，并在解决问题过程中，将四面体放置在正方体中，问题就易于解决. * 7 ‎ ‎【例2】（2014年新课标I卷理12）‎ 如图， 格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）.‎ ‎. . . 6 . 4‎ ‎【解析】如图所示，该几何体为三棱锥，其中， ‎ ‎，故最长的棱的长度为，选C.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查三视图还原为几何体，以及三棱锥中的棱长比较与计算.试题对空间想象能力要求比较高. 生的主要错误在于对三视图感知不全面，无法将三视图还原为正确的几何体或是部分 生判断最长线段依赖直观错选B. 由三视图还原到空间几何体并不一定是唯一的，即使是唯一的，也需要有一个“组图”的过程，这是问题的难点所在. 解决问题关键在于首先要领会三视图的形成原理、厘清三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．其次要明确由三视图画出直观图的步骤和思考方法：‎ ‎1. 定底面：根据俯视图确定；‎ ‎2. 定棱及侧面：观察正视图和侧视图确定几何体的侧棱及侧面特征，调整实线、虚线对应棱的位置；‎ ‎3. 定形状：确定几何体的形状．本题“组图”过程如下图所示：‎ ‎【例3】（2013新课标Ⅰ卷理6） ‎ 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8‎ ‎ cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为_________.‎ ‎【解析】设球的半径为R，由题可知R，R－2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA为直角三角形，如图．BA＝4，OA＝R－2，OB＝R，‎ 由R2＝(R－2)2＋42，解得R＝5，则球的体积为.‎ ‎【名师点睛】球的问题是高考的常考点，主要在球与简单几何体的接与切的背景下，考查立体几何的相关问题，属中等偏易或中等的试题. 这类问题的解决的首要步骤也是关键点就是画出正确的直观图. 本题主要考查球的截面性质和球的体积等基础知识，在对具体实物的抽象和建模中，考查 生的阅读理解能力、空间想象能力、运算求解能力. 生错误的主要原因在于，没能抽象出正方体容器的上面（空的平面）与水深（高）关系的直观模型. 事实上，球的直观图的画法，已经暗示了解决球的问题的基本方法，如图所示：‎ ‎1. 找出问题中的两个关键截面，即水平截面以及与水平截面垂直的大圆面（轴截面），以此为框架，画出直观图，定出球心的位置；‎ ‎2. 将问题中的数量关系和位置关系转化到两个截面中.‎ 这样，问题往往就迎刃而解了.‎ 立何几何中，简单几何体的直观图，不仅仅是为了画的好看，更重要的是它能直观地反映出几何体的各种关系.在简单几何体的直观图中构造出问题的图形，在关键的截面（含底面）中思考数量关系和位置关系，是实现空间问题转化为平面问题的桥粱，这一定要引起我们的重视. ‎ ‎【例4】（2015新课标II卷理19）‎ 如图，长方体ABCD—A1B‎1C1D1中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E，F分别在A1B1，D‎1C1上，A1E = D‎1F = 4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.‎ ‎（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；下略 ‎【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形如图：‎ ‎【名师点睛】 本题通过几体何截面的确定（作图），考查空间线面的位置关系，考查推理论证能力和空间想象能力. 生的主要失误在于：其一是教 上的误区——不够重视，其二是思维的局限，忘了作图不仅可以通过定性的分析，也可以通过定量的计算辅助分析. 如本小题中点位置的确定，必须通过计算辅助，而G点的确定是通过线面的位置关系推理、化归，最后在平面上作出的. 它的依据是几何的公理、定理. 值得注意的是, 常识不能忘！点是线的交点，线是面的交线，在已知平面上移动直线，在垂面上画垂线！还有，立体几何的问题，多数可以理解为与作图相关，如证明线面平行，可以理解为在已知平面上作（找）一条直线与已知直线平行，而所作（找）的直线又可以看作为，过已知直线作一个平面与已知平面的交线. ‎ ‎【例5】（2016年新课标Ⅱ卷理19）‎ 如图，菱形的对角线与交于点， ，点分别在上，，交于点．将沿折到位置，．‎ ‎（Ⅰ）证明：⊥平面；（Ⅱ）下略. ‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知得又由得故 因此，从而 由得 由得所以 于是 故.又因，所以.‎ ‎【名师点睛】本题属于翻折问题，考查线面垂直的证明，考查空间想象能力，考查推理论证能力. 在运动变化中探究几何性质，在变中探究不变，是对 生高层次思维能力的考查. 本题出错的原因为：一是在折叠过程中没有厘清“变量”和“不变量”，导致条件认识不清楚；二是推理的理由不充分，以想当然的方式代替必要的证明，如问题中的的证明. 事实上，解决翻折问题的关键：1. 弄清翻折前后保持不变的元素. 通常情况，若原图中的一部分仍在同一个半平面内，则组成这部分图形的元素保持着原有的数量和位置关系；2. 将不变的条件整合到空间图形中，形成条件确定的立体几何问题. * + ‎ ‎【例6】（2003年全国卷理12）‎ 一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ）‎ ‎（ A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】将四面体补成正方体，则正方体的棱长是1，正方体的对角线长为，则此球的表面积为：4π=3π，选A．‎ ‎【名师点睛】本题以球的四面体为载体，考查空间想象能力和运算求解能力. 生的解题是通过大圆轴截面计算，因运算的复杂性产生错误的. 在立体几何的 习中，我们不仅要 会读图、识图、作图，还要注意会用图，通过对图形重新构造和变换（割、补、拼等），在简单和新的几何体中考虑问题，使得问题更易于解决.‎ ‎（二）定义概念模糊不清 ‎【指点迷津】数 概念不仅仅是明晰研究对象，也是数 思考问题、解决问题的出发点. 立体几何中的概念、定义模糊不清主要表现为：1. 文本描述与几何体形状无法匹配，即看到概念的文本描述，头脑中无 法形成与之相应的几何体；2. 没考虑定义的限制条件，如各类角的取值范围，如很多 生就常常忘记异面直线所成的角的取值范围而导致解题结果错误等.‎ ‎【例7】（2008全国Ⅰ卷理16）‎ 等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于 ．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】设，作，则，为二面角的平面角.，结合等边三角形与正方形可知此四棱锥为正四棱锥，则 ‎, ‎ ‎,‎ 所以，‎ 故所成角的余弦值.‎ ‎【另解】以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，‎ 则点,,‎ 则,‎ 所以，‎ 故所成角的余弦值.‎ C .o. ‎ ‎【名师点睛】本题以四棱锥为载体，考查空间异面直线所成角的求解. 生在概念上的错误在表现在：1. 不能利用空间向量法求两异面直线所成的角；2. 建系求异面直线所成角用或计算时，对求出的向量夹角的余弦值为，没有用异面直线所成角的取值范围进行修正. 事实上，只要紧扣异面直线所成角的概念，利用向量的知识计算相关量，最后根据角的限制调整所求的值.‎ ‎（三）定理性质理解不透 ‎【指点迷津】定理性质理解不透，会导致推理论证欠严谨或思路不明. 生在使用定理进行推理时，往往表现出如下的错误：1. 定理条件掌握不全，如 生们在使用直线与平面平行的判定定理时，常常遗忘“已知直线一定要在平面外”这个关键的条件；2. 受初中平面定理的负迁移影响导致对立体几何相关定理的理解错误；3. 符号书写不规范.如直线与平面是包含与不包含的关系，却常写成是属于与不属于的关系等.‎ ‎【例8】（2015年江苏）‎ 如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，.‎ 求证：（I）；‎ ‎（II）.‎ ‎【解析】（I） ‎ ‎（II）‎ ‎【名师点睛】本题主要考查立体几何线面位置关系的证明，考察直线与平面平行，直线与平面垂直直线与直线垂直等基础知识. 与平面几何知识相结合考察 生的空间想象和推理论证能力. 生的主要错误在于：1. 遗漏等；2. 没有考虑到，侧面为正方形，因此得不到；3. 要证，考生无法找对哪条线垂直哪个面，推理的方向不对.事实上，规范、严谨的解题思路来自对立体几何相关定义、定理、和公理的准确理解，推理论证时，务必紧扣定理的条件，要避免“跳步”、“滥用符号”、“语言随意”和“以图代证”等；同时，采用执果索因的分析方法、知因索果的推理论证，引导 生会从已知条件中甄别推理需要的信息，将条件有效地运用到解题过程中去，否则不仅会失去部分的分数，甚至因逻辑的源由，完全失分都有可能的. ‎ ‎（四）建系的合理性欠思考 ‎【例9】（2015年新课标1卷理18）‎ 如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC. ‎ ‎（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC.‎ ‎（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）连结在菱形中，不妨设,由，可得，可得.又因为 在 在直角梯形中，由 ‎ ‎，∴EG⊥FG，∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC. ‎ ‎（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xy ，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E(1,0, )，F（－1,0，），‎ C（0，，0），∴. ‎ 故.‎ 所以直线AE与CF所成的角的余弦值为. ‎ ‎【名师点睛】本题主要考查立体几何的线面、面面位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力. 本题的 生的主要失误点：一是没有建好坐标系，被“图”‎ 迷惑了双眼，一下子盯住点B、D，把点B或点D视为空间直角坐标系的原点导致整题失分．二是因贪快，导致图形中的坐标系漏画，例如：如图建立空间直角坐标系，但图中是空的．三是空间直角坐标系建成左手系，而不是建成右手系．事实上，建立合理的坐标系是代数法解立体几题的关键. 建立坐标系就是构造（寻找）三线两两垂直，可分步处理，先找两线垂直或先找平面的垂线（在垂面上找，即通过线面、面面垂直寻找，即本题中的平面EFDB和垂线EB、DF），再移动位置定出原点的位置，这是基本功，一定要通过合理地训练，让 生过关. 当然，建系时证明三线两两垂直是不可缺少的. = ‎ ‎【解决问题对策】‎ ‎（一）重树图形观念 ‎【指点迷津】立体几何的研究对象是空间图形，重点研究的是空间图形的形状、大小及其相互关系，其主要特点是借助于图形进行推理，图形成了思维的重要载体，图形能帮我们直观地感受空间线线、线面、面面的位置关系，培养空间想能力．因此，我们重视图形观念的树立，正确地识别空间图形、合理地构建空间图形、灵活地运用空间图形，这是求解立体几何问题的关键之一. ‎ ‎【例1】（2015新课标2卷理9）已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为(　　)‎ ‎（A）36π （B）64π （C）144π （D） 256π ‎【解析】解答本题关键是 生能以A,B，O为所在的圆面为“衬托面”画出球与三棱锥结合的模型图，然后使用等体积思想，快速将体积的最值转化为求高的最值. ‎ ‎ 如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，解得，则球的表面积为，故选C．‎ ‎【例2】（2016年新课标Ⅱ卷理14）‎ 是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：‎ ① 如果，那么. ② 如果，那么.‎ ‎③ 如果，那么. ④ 如果，那么与 所成的角和与所成的角相等.其中正确的命题有 ． (填写所有正确命题的序号）‎ ‎【解析】在正方体或长方体模型中找线或画线与面，借助“直观感知，操作确认”，填②③④.‎ ‎【例3】（2017年新课标Ⅱ卷理4，文6）‎ 如图， 格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 （ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积，故该组合体的体积．故选B．‎ ‎【例4】（2016年新课标Ⅰ卷文18）‎ 如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.‎ ‎（I）证明G是AB的中点；‎ ‎（II）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由）,并求四面体PDEF的体积．‎ ‎【解析】（I）因为在平面内的正投影为,所以 因为在平面内的正投影为,所以 所以平面,故 又由已知可得,,从而是的中点. ‎ ‎（II）关键是读懂图形，平面平面平面平面 故在平面内,过点作的平行线交于点,即为在平面内的正投影.‎ 理由如下：由已知可得,,又,所以,因此平面,即点为在平面内的正投影.连接,因为在平面内的正投影为,所以是正三角形的中心.‎ 由（I）知,是的中点,所以在上,故 由题设可得平面,平面,所以,因此 由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且,可得 在等腰直角三角形中,可得 所以四面体的体积 ‎（二）构建认知结构 ‎【指点迷津】把立几知识 络生成知识树形图，把树形图画在笔记本上，真真切切形成自己可以随取随用的知识树、知识 ，便于在解答问题时引起条件反射，并联系到相应的数 概念、公式、公理、判定定理和性质定理，运用恰当的方法解题．立体几何的解题过程就是逻辑推理的过程，也是不断进行代数运算、几何直观的过程.[ : |xx| ]‎ 如点、线、平面之间的位置关系的知识结构图：‎ 对 生而言，还应将下面第五点中的解题方法融入其中，才能形成良好的认知结构.‎ ‎（三）领悟两种互化 ‎【指点迷津】1. 数 语言的相互转化. 线线、线面、面面的判定定理和性质定理的文字语言、符号语言、图形语言的相互转化，是证明空间平行（垂直）的前提. 如我们常把“面面平行（垂直）问题”转化为“线面平行（垂直）问题”，再转化为“线线平行（垂直）问题”．在解决平行（垂直）关系的判定时，一般遵循从“低维”向“高维”的转化；而应用性质定理时，其顺序则正好相反．2. 空间与平面的相互转化.空间问题平面化是解决立体几何问题的基本策略，不能仅是当成一句口号，要将它落实到对立体几何的定义、定理中，应用到求解立体几何问题中，这是我们研究和解决立何几何问题的思维模式.上述的两种转化，也体现了数 习对立统一的辩证思维，它可以帮助 生 会数 地阅读、理解、交流，进而更深刻地理解立体几何问题，并 会解决问题.‎ ‎【例5】（2016年新课标1卷理18）‎ 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是．‎ ‎（I）证明：平面ABEF平面EFDC；‎ ‎（II）求二面角E-BC-A的余弦值．‎ ‎【解析】（I）由已知可得，，所以平面．又平面，故平面平面．‎ ‎（II）过作，垂足为，由（I）知平面．以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系．由（I）知为二面角的平面角，故，则，，可得，，，．‎ 由已知，，所以平面．又平面平面，故，．由，可得平面，因此BE⊥EF，BE⊥EC，所以为二面角的平面角，．从而可得．所以，，，．设是平面的法向量，则，即，所以可取．设是平面的法向量，则，同理可取．则．故二面角的余弦值为．‎ ‎【名师点睛】上述证明用到了六个线面平行与垂直的判定定理和性质定理及其相互转化，以及蕴涵证题过程中空间与平面的相互转化的思维策略. // .. ‎ ‎（四）分析与综合并用 ‎【指点迷津】分析法与综合法是数 的基本思维方式之一，必须要遵循的，它有助于推理论证能力的培养.事实上，求解立何几何问题中，在观察图形并弄清条件和结论的基础上，我们要两头并进，常常需要进行这样的追问：1. 由条件想性质：“由条件可以得到什么”，如题目中有直线与平面平行或垂直、平面与平面平。行或垂直这样的条件，可以联想这种位置关系的性质定理是什么？能得到什么？需要添加什么样的辅助线（或面）？这样一想，有时解题思路会很快在头脑中形成.2. 由结论想判定：“结论需要什么条件才能成立”‎ 如果题目要证直线与平面平行或垂直、平面与平面平行或垂直这样的结论，可以联想这种位置关系的判定定理是什么？根据这个判定定理，结合已知条件，定理中哪些条件已经有了？还需要什么条件？需要添加什么样的辅助线或辅助面？‎ ‎【例6】(2008全国大纲卷文18)‎ 四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．‎ ‎（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）略．‎ ‎【解析】条件中给出面面垂直，则由面面垂直的性质定理可知，可以在其中一个平面内作（找）一条直线与交线垂直，同时还能由线面垂直得到线面垂直，结合条件，故过A点可引中垂线.而结论要求（Ⅰ）证，可设想其中一直线垂直于过另一直线的垂线，两头一对接，思路就产生了.‎ ‎（Ⅰ）取中点，连接交于点，，，‎ 又面平面，平面，．‎ 与相似，‎ ‎，即，平面，．‎ ‎（五）活用求解方法 ‎ ‎【指点迷津】1. 一般来说，解决立体几何问题的方法包括传统法与向量法. 用传统法解决问题时，能够看清问题的实质，但面对复杂的问题时，有难度，需要较强的空间想象能力和逻辑思维能力；用向量法解决立体问题，具有模式可遵循，体现了它的优势. 具体解决问题时，要具体分析，灵活选用，才能提高解决问题的能力.2. 重视对典型问题求解的基本思想方法的掌握，做到应用自如，形成技巧.如有关多面体的三视图问题，常构造“长方体”或“‎ 正方体”，即可轻松破解此类问题．以球为背景的多面体或旋转体与其切接问题，常需利用“优美直角三角形”或构造长方体给予解决．求不规则的几何体的体积常用“割补法”和“等体积变换法”等．常用向量法求空间角：求异面直线所成的角就是先求出两异面直线的方向向量，再求出这两向量的夹角的余弦值的绝对值，即为该两异面所成角的余弦值．求线面所成角就是求出该直线的方向向量与该平面的法向量，再利用两向量的夹角的余弦值的绝对值，即可得到线面所成角的正弦值．求二面角就是求出两个平面的法向量，再求出这两向量的夹角的余弦值，判断空间几何体的特征，从而得空间二面角的大小，注意这三种角的取值范围与所成角公式的区别点．对不易直接求点面距离的问题，通过构造三棱锥，把问题转化为求三棱锥的高，再利用等体积法，转化为易求的三棱锥的高的体积，通过方程思想，即可求出三棱锥的高，从而得到所求的点面距离．‎ ‎【例7】（2017年新课标Ⅱ卷理19）‎ 如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点．‎ ‎（I）证明：直线平面PAB；‎ ‎（II）略 ‎【解析】1.要证线面平行，根据直线与平面平行的判定定理，需要在平面PAB中找一条直线与直线平行；2. 要证线面平行，根据面面平行的性质定理，需要过直线作一个与平面PAB平行的平面；3. 通过向量运算解决平行问题.‎ 解法1（作相交截面） 如图1，过沿作截面，交平面于，证.‎ 解法2（作平行截面）如图2，过作平行于平面的截面， 交 于，证，.‎ 解法3（空间向量）由 ‎ .知直线平面PAB.‎ ‎ 【名师点评】空间向量是解决立体几何的一个新工具，处理立体几何问题往往可以省去许多不必要的麻烦，其突出的特点是以算代证．‎ ‎（六）规范解题过程 ‎【指点迷津】在平时的立体几何的考试训练中，加强审题能力（读题与观图），强化立体几何解题的规范性训练，同时加强逻辑表达能力的训练，并提升运算求解能力（如空间的点的坐标、向量的坐标，以及法向量的计算一定不要出错）．加强规范化训练是提高成绩的保证，立体几何解答题的证明过程要做到“步步有理有据”，要分清主次，要理清哪些步骤是必须写的（如建立空间直角坐标系方面，不被“图”迷惑了双眼，需找准或盯准两两垂直的“三只脚”．建立空间直角坐标系，既要注意建成右手系，还需注意图形的画与标注），即得分点，哪些步骤是可以在演草纸上演算的，只有“精”写过程，才能节约时间，答题过程也才能简捷、清晰．当然“精”写过程是建立在写全步骤的基础之上的，任何的“跳步”书写都容易产生歧义，都是要失分的．除了步骤要写“精”以外，结果还要做“对”．“会而不对”的现象是很常见的，这也是制约“得分”的“致命点”．在训练之后，应尽可能的及时订正，从根源上找到错因所在，适时总结知识上存在的不足, 真正做到审题到位，思维全，下笔准，答题快．‎ ‎【新题好题训练】‎ ‎1．已知底面是正方形的直四棱柱的外接球的表面积为，且，则与底面所成角的正切值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎2．在三棱锥中，，，，，，且三棱锥的外接球的表面积为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴三棱锥的外接球是以，，为棱的长方体的外接球，长方体的对角线为外接球的直径.‎ ‎∵三棱锥的外接球的表面积为 ‎∴外接球的半径为，即.‎ ‎∴，即.‎ 故选B.‎ 点睛：本题考查了有关球的组合体问题，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，球心与截面圆心的连线垂直截面，同时球的半径，小圆的半径和球心到截面的距离满足勾股定理，求得球的半径，即可求解求得表面积与体积． 20 ‎ ‎3．甲、乙两个几何体的三视图如图所示（单位相同），记甲、乙两个几何体的体积分别为，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎∴‎ 故选D.‎ 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查 生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查 生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.‎ ‎4．设直三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是40π，AB=AC=AA1，∠BAC=120°，则此直三棱柱的高是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设三角形BAC边长为，则三角形BAC外接圆半径为，因为 所以 即直三棱柱的高是.‎ ‎5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由三视图可知,该几何体是由半个圆柱和一个三棱锥构成,故体积为 ‎.‎ ‎6．如图，在四棱锥中，，且.‎ ‎(Ⅰ)证明：平面平面；‎ ‎(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】①见解析；② .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由,可证明，进而证出面面垂直；‎ ‎（2）取的重点，建立如图所示的空间直角坐标系，令,则，则 ‎ ‎ ‎，求出两个面的法向量，即可利用向量夹角公式求出.‎ ‎②取的重点，建立如图所示的空间直角坐标系，令,则，则 ‎ 所以　‎ 令平面的法向量为，则有所以 ‎ 令平面的法向量为，则有所以，‎ 则，故二面角的余弦值为 ‎ ‎7．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为平行四边形，，. ‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）之长为；（2）二面角的余弦值为.‎ ‎，即可所求之长． （2）求出平面的法向量，，平面的法向量，‎ ‎，即可得二面角的平面角的余弦值．‎ 试题解析：（Ⅰ）如图，过点作于垂足．‎ ‎∵平面平面，‎ ‎∴平面．‎ 过点在平面内作，交于点，‎ 建立以为坐标原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系，‎ ‎∵，，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，，，‎ ‎， ‎ ‎∴. ‎ ‎（Ⅱ）设平面的法向量，‎ 而，‎ 由及可得，‎ ‎ 可取， ‎ ‎8．在矩形中，，，为线段的中点，如图1，沿将折起至，使，如图2所示．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知条件证明出平面，根据面面垂直的判定定理证明出平面平面；（2）取BE的中点为,以为坐标原点，以过点且平行于的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，设平面的法向量为，平面的法向量为，由线面垂直的性质定理，分别求出的坐标，求出二面角的余弦值。‎ 试题解析：‎ ‎（2）解：取中点，连接，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵平面平面，∴平面．‎ 以为坐标原点，以过点且平行于的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则，，，，，‎ ‎，，，．‎ 设平面的法向量为，平面的法向量为，‎ 由可得；‎ 由可得；‎ 则，由图形知二面角的平面角为钝二面角，‎ 所以二面角的余弦值为．‎ ‎9．如下图,四梭锥中,⊥底面,‎ ‎ ,为线段上一点，,为的中点.‎ ‎(I)证明:平面；‎ ‎(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) 见解析.（Ⅱ） .‎ 详解： (Ⅰ)由己知得,‎ 取的中点,连接由为中点知 又故,四边形为平行四边形，于是..‎ 因为平面,平面，所以平面.‎ ‎（Ⅱ）取的中点,连结,由得,从而,‎ 且 以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系，‎ 由题意知，,‎ ‎.‎ 设 为平面的法向量，‎ 则，即，可取 故直线 与平面所成角的正弦值为 点睛：求直线与平面所成角一般有两种方法，一是几何法，找作证指求.二是向量法，利用空间向量求.本题由于有⊥底面,所以方便建立空间直角坐标系，所以用向量法比较合适. · 1 ‎ ‎10．如图，四边形中，，，，，，分别在，上，，现将四边形沿折起，使平面平面.‎ ‎（Ⅰ）若，在折叠后的线段上是否存在一点，且，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；‎ ‎（Ⅱ）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）在存在一点，且，使平面.‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）折叠后，连结，得，进而得平面，再由，，得到平面平面，进而得平面，即可得到结论；‎ ‎（Ⅱ）根据题意得时，取是最大值，再由（Ⅰ）可以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求得平面和 的的法向量，利用向量的夹角公式即可求解二面角的余弦值.‎ ‎（Ⅱ）设，所以，，‎ 故 所以当时，取是最大值.‎ 由（Ⅰ）可以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则 ‎，，，，所以，，，，设平面的法向量，‎ 则即 令，则，，则，‎ 设平面的法向量，‎ 则即 令，则，，则 所以.‎ 所以二面角的余弦值为